2024年高考总复习数学：函数的零点与方程的根

2024版新高考新教材版高考总复习数学3.5

函数的零点与方程的根

考点函数的零点

2-|x|,x<2,

1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=；函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)

,(x-2)2,x>2,

的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

(\x-2|+1,x>0,

答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=、2/c函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数

产f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.

由图可知函数y二f(x)与y=g(x)的图象有2个交点所以函数y二f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.

2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=Zlo曲x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+oo)

答案C.丫⑴=6-logJ=6>0,f⑵=3-10822=2〉0，(4)=沁824=|-2<0,二.包含小)零点的区间是(2,4),

故选C.

3.(2011课标,10,5分)在下列区间中，函数f(x)=e*+4x-3的零点所在的区间为()

G。.(辅

答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=e*与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=e'+4x-3

的零点一定落在区间(0怖)内，又｛》=%-2<0,《习=五-1>0.故选C.

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评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题.

L

4.(2。16山东文,15,5分)已知函数f(x)=g_2mx+的:其中畋若存在实数>使得关于x的

方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

答案(3,+oo)

解析f(x)的图象如图所示,

若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需dm-mym,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.

方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.

评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.

5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=

(x2+(4a-3)x+3a,x<0,

(a>0,且aWD在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)=2~1恰有两个不相等

boga(x+1)+1,X>0

的实数解，则a的取值范围是.

4a-3八

0<a<解得在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|

(3a>1,

与y=25的图象，如图所示.

YY

方程If(X)I=2彳恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2行的图象恰有两个交点，则需满足

3a<2,得a号综上可知,

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4a-3

0<；<1,缺少条件是失分的一个原因；

{3a>1,

(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决

这类问题常用的方法.

评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想，将方程解的个数问题转化为两

个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函数£&)=£"-若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的

,x>a.

取值范围是.

答案(-8,0)U(1,+8)

解析当a<0时，若x£(a,+8),则f(x)=x2,当b£(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是

Xi=-V^>

当OWaWl时,f(x)的图象如图所示，

易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.

当a>l时，f(x)的图象如图所示，

综上,(-00,0)U(1,+oo).

2X—a,x<1,

7.(2015北京理，14,5分)设函数f(x);

4(%—a)(x—2d),x>1.

①若a=l,则f(x)的最小值为;

②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是.

答案①T②L，l)U[2,+8)

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2X-1x<1

(岭_；)(x_'2),x",其大致图象如图所示:

由图可知f(x)的最小值为T.

②当aWO时,显然函数f(x)无零点；

当0<a<1时，易知f(x)在(-8,1)上有一个零点，要使f(x)恰有2个零点，则当xM1时，f(x)有且只有一个

零点,结合图象可知,2aM1,即ag,则六a〈l;

当a»l时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x》l时，f(x)有2个零点，

则要使f(X)恰有2个零点，则需要「6)在(-8,1)上无零点则2-aWO,即42.

综上可知,满足条件的a的取值范围是段,1)1^2,+8).

8.(2015湖北文13,5分)函数£6)=2$5xsin(x+的零点个数为.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x；函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与ykx?图象的交点

个数,在同一坐标系中画出yFsin2x与y2=x?的图象如图所示：

由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.

9.(2021北京，15,5分)已知/(x)=|lgxhtv-2,给出下列四个结论:

①若仁0,则/(X)有两个零点；

②弘<0,使得f(x)有一个零点；

③弘<0,使得/Or)有三个零点；

④弘乂),使得/(x)有三个零点.

以上正确结论的序号是.

答案①②④

解析令/(x)=|lgx|-fo-2=0,得|lgx|=心'+2,

令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,

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所以/W的零点个数即函数g(x)与/>(x)图象的交点个数.

当后=0时，如图a,g(x)与Mx)的图象有两个交点，则/(X)有两个零点,故①正确；

当Q0时，如图b,存在〃(x)=垢+2的图象与函数g(x)=lgxCr>l)的图象相切，此时(x)与g(x)的图象有两

个交点，当04<公时,g(x)与Mx)的图象有三个交点,则/(x)有三个零点，故④正确；

当k<0时,如图c,g(x)与〃(x)的图象最多有两个交点,g(x)与/i(x)相切时有一个交点,如图d,故②正确,③

不正确.

综上,正确结论的序号为①②④.

图a

01

图b

解题指导：由/(%)=0得|lgx\=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=履+2,则/(x)零点个数转化为g(x)与〃(x)图象的交点

个数,再利用图象解决问题.

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3.5函数的零点与方程的根

五年高考

考点函数的零点

1.(2020天津,9,5分，难)已知函数f(x尸1:若函数g(x尸f(x)-|kxJ2x|(keR)恰有4个零点，则k的取值范围

是()

A.(-8,一加(2e,+8)

一加(0,2>②

C.(-OC,0)U(0,2A/2)

D.(-OO,0)U(2V2,+OO)

答案D

：2折OWx<1,1

2.(2019天津文,8,5分，难)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=zx+a(a£R)恰有两个互异的实

数解，则a的取值范围为()

Z539

C/U

I-91---］u{l}

X4.4D.44

答案D

3.(2021北京,15,5分，中)己知函数f(x尸|lgx卜kx-2,给出下列四个结论:

①当k=0吐f(x)恰有2个零点；

②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点；

③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;

④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②④

4.(2019江苏,14,5分，中)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇

__________(k(x+2),0<%<1,

函数.当x£(0,2］时,f(x)=Jl—(%-l)2,g(x)={1其中k>0.若在区间(0,9］上，关于x的方程

Vx工2,

f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

答案［I-T)

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5.(2022天津,15,5分，难)设aWR,对任意实数x,用f(x)表示冈-2,x2-ax+3a-5中的较小者.若函数f(x)至少有3个

零点，则a的取值范围为.

答案[10,+oo)

三年模拟

一、单项选择题

1.(2023广东广州二模，中)已知函数f(x尸x3-3x+b,且f(x)+f(-x)=4恒成立，若h(x)J?2r-2恰好有1个零

(.Z—OX,X>Q

点,则实数a的取值范围为()

A.S-2)B.[i,l]

C.(-«,-2)u[i1)D.[-2,1)

答案C

2.(2023云南曲靖二模，中)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意的实数x都有f<x)+f(x)=^^(e是自然

对数的底数)，且f(0尸1,若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个实数根,则实数m的取值范围是()

A.”1}B.(-e^0]U@

C.(-e2,0]D.(-e2,0)

答案B

3.新情境(2023山东日照二模，中)对于给定的正整数n(n22),定义在区间[0,n]上的函数y=f(x)满足:当0<x<l时

f(x)=-x?+2x,且对任意的xe[l,n],都有f(x)=f(x-l)+l.若与n有关的实数％使得方程f(x)=knx在区间上

有且仅有一个实数解，则关于x的方程f(x)=k,>x的实数解的个数为()

A.nB.2n-1C.n+ID.2n+1

答案B

4.(2022江苏南通如皋中学联考,7,中)已知函数f(x尸卜2+2X,X-°'若关于x的方程f2(x)-(k+l)xf(x)+kx2=0

(-|2x-l|+l,x>0,

有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为()

A•(词B.[i,l)u(l,2)

C.(0,l)U(l,2)D.(2,+oo)

答案B

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5.(2022广东汕头一模,8,中)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当xC［0,2］时，

(2*-l,0Wx<1,*

f(x)=|„.IT.v,若关于x的方程mln|x|=f(x)至少有8个实数解,则实数m的取值范围是()

(/sinX/x<xsn,

A［-iH6-0)u(0,舟

B［喘得

c•(喘,。)u(o喘)

D(焉,白)

答案B

6.新定义(2023山东荷泽一模，难)定义在实数集R上的函数y=f(x),如果mxoeR,使得f(xo)=xo,则称xo为函数f(x)

的不动点.给定函数f(x)=cosx,g(x)=sinx,已知函数f(x),f(g(x)),g(f(x))在(0,1)上均存在唯•不动点，分别记为

Xl,X2,X34lJ()

A.X3>X|>X2B.X2>X3>X|

C.X2>X|>X3D.X3>X2>X1

答案C

7.(2022广东中念中学模拟，难)已知a>l,xi,X2,X3为函数f(x尸a*・x2的零点,xi〈X2〈X3,下列结论中错误的是

()

A.xi>-1

B.若2X2=XI+X3,则,=V2+1

C.X14-X2<0

2

D.a的取值范围是(1,次)

答案C

二、多项选择题

8.(2022湖南新高考教学教研联盟联考(一),11,中)已知函数f(x)=x|x-a|,其中a为实数，则()

A.函数f(x)有两个不同零点0和a

B.若对于任意两个不同的实数XI,X2,都有告变式>0,则a=0

x2-xl

C.若f(x)在［0,1］上单调递增，则a<0或a>2

D.若f(x)=l有三个不同的实数根，则a>2

答案BCD

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9.(2022湖北十堰丹江口一中模拟，中)已知函数取尸>3设函数g(x)=f2(x)-(2t+1)f(x)+t?+t,则

下列说法正确的是()

A.若g(x)有4个零点，则3<t<4

B.存在实数t,使得g(x)有5个零点

C.当g(X)有6个零点时,记零点分别为Xl,X2,X3,X4,X5,X6,且XI<X2<X3<X4<X5<X6,则2A+2与+2与+2X"=8

D.对任意t<0,g(x)恒有2个零点

答案BC

10.新考法Q023湖北武汉华中师大附中一模,10,中)已知函数Rx)嗡-10x(x>l),g