2022-2023学年宁夏银川重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年宁夏银川重点中学高一(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设｛前,孩｝是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

A.国+石和百一瓦B.3可一4孩和6百一8五

C.瓦(+可和2否•+石D.温和瓦(+石

2.已知向量五=(一2,1),3=(—3,—4)，则2五一方等于()

A.(-1,6)B.(1,6)C.(-1,-2)D.(1,-2)

3.已知M(-2,7),N(Io,-2),点P是线段MN上的点，且丽=一2而，则点P的坐标是()

A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D,(2,4)

4.海上有相距10海里的4与B两个小岛，从4岛望另外一个C岛和B岛成60。的视角，从B岛望

C岛和4岛成75。的视角，则B与C之间的距离是()

A.IOIT海里B.竺P海里C.5，区海里D.5√%海里

5.在△4BC中，角A的角平分线交BC于点D,且AB=4,AC=2,则而等于()

A.∣ΛC+∣ΛβB.∣½B-∣4CC.^ACABD.^AC+^AB

6.定义：I五XbI=I五∣∙∣B∣∙sinθ>其中。为向量五与方的夹角>若|五|=2,∣K∣=5>α-K=

—6,则I五XBI等于()

A.-8B.8C.-8或8D.6

7.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若元=4宿+〃前，则4+〃=()

C.⅛D.2

O

8.如图，已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

且匕=2,从+¢2一cι2=be,若BC边上的中线40=√^7,则BC

的长为()

A.2y∏

B.2√^6

C.2y∏.

D.3√^2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.在下列结论中，正确的结论为（）

A.五〃&且Inl=I司是五=方的必要不充分条件

B.五〃石且Inl=IEl是方=石的既不充分也不必要条件

C.五与加方向相同且I五I=IBI是五=石的充要条件

D.五与方方向相反或I为I≠IBI是五片方的充分不必要条件

10.在△4BC中，内角4,B,C所对的边分别为α,b,c.下列各组条件中使得△4BC有唯一

一解的是（）

A.Q=3,b=4,A=30oB.Q=3,b=4,cosB=-

C・Q=3,b=4,C=30oD,α=3,b=4,B=30o

11.（多选）已知M为△ABC的重心，。为BC的中点，则下列等式成立的是（）

A.∖^MA∖=∖^MB∖=∖^MC∖B.^MA+MB+^MC=G

C.BM=∣≡+^BDD.S△MBC=∣S∆ABC

12.已知向量五=（1,2）,b=（jn,l）（m<O）,且向量方满足b•0+方）=3,则（）

A.∖b∖=y∏.

B.（2α+K）∕∕（α+2h）

C.向量2五一方与五一2E的夹角为今

D.向量方在向量至上的投影向量的模为？

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量五=（1,3）,3=（3,4），若0—2石）J.@一五），则4=.

14.已知向量五工的夹角为150。,I五I=2,|方I=/3，则I五一23|=.

15.在AZBC中，已知4=120。,BC=Q^,AB=2，则AC=.

16.平行四边形ABCO中，I四I=6,I万I=4,若点M,N满足：BM=3MC，DN=2NC，

则祠∙NM=.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题10.0分)

设落B是不共线的两个非零向量.

(I)若瓦？=2^+3,曲=3五一反D?=五+3方，求证：A,B,C三点共线；

(2)若9方一Zc方与k3一4方共线，求实数A的值.

18.(本小题12.0分)

已知荏=(-1,3),BC=(3,m))CD=(l,n))且同〃前.

(1)求实数n的值；

(2)若前1前，求实数m的值.

19.(本小题12.0分)

设△4BC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,舟=一警.

2b+ccosC

(1)求4的大小；

(2)若a=7,sinC=2sinB,求b,C的值.

20.(本小题12.0分)

如图，在△4BC中，∆BAC=120°,48=AC=4,点。在线段8C上，且团=4前.求:

(I)AD的长；

(2)zD4C的余弦值.

21.（本小题12.0分）

如图所示，⅛∆ΛBCφ,^AB=a,^AC=b,^BE=2EC,AC=3AD.

B

O

C

AD

(1)试用向量乙方来表示前,荏；

(2)若AE交BC于点O,求桨及瞿的值.

OEOD

22.(本小题12.0分)

为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，

原来的健身区域^ABC近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示(长度已按一定比例尺进

行缩小)，你能否运用所学知识解决下面两个问题.

(1)若CD与BD的长度和为12,当NBDC=I20。时，求扩建的区域△BCD的面积最大值；

(2)若最终敲定方案为CD=4,BD=8,求扩建后四边形ABDC面积S的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：对于4•・•瓦(+瓦和瓦:-右不是共线向量，二可以作为基底，

对于B,∙.∙3百-4孩=；(6可-8瓦)，.∙.是共线向量，.∙.不可以作为基底，

对于C,5+石和2瓦+石不是共线向量，.•.可以作为基底，

对于C,•••可和瓦•+孩不是共线向量，；.可以作为基底.

故选：B.

利用平面向量基本定理，依次判断四个选项中的向量是否共线，即可得到答案.

本题考查了平面向量基本定理，基底的理解与应用，解题的关键是判断两个向量是否共线，属于

基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为五=(-2,1),E=(—3,—4)，所以2五一E=2(—2,1)—(一3,—4)=(—1,6)，

故选：A.

利用向量的坐标加减运算求解即可.

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

3.【答案】D

【解析】解：。设P(X,y),则丽=(IO-X,-2-y),PM=(-2-x,7-y).

——>——>flθ-X=-2(—2-x)(x=2

∙∙∙PN=-2PM,”_2_y=_2(7-y)，"y=4

•••。点的坐标为(2,4),故选D

先写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则他们的坐标对应相等.

本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，他们的坐标相等.

4.【答案】D

【解析】解：海上有相距10海里的4与B两个小岛，从4岛望另外一个C岛和B岛成60。的视角，从B

岛望C岛和4岛成75。的视角，可知4=60。，B=75°,4B=IO海里.

.∙.ZC=180°-60°-75°=45°

根据正弦定理得照=券

,ABsinA10√-3LΓ~7

・•・BnzC=∙.-=≡×-=5√6,

SinCrτ2,

2

故选：D.

先根据41和4B求出/C,进而根据正弦定理求得BC.

本题主要考查了正弦定理在实际中的应用.三角形的解法，属中档题.

5.【答案】D

【解析】解：在AABC中，角”的角平分线交BC于点D,且AB=4,AC=2t

所以NsO=∆BAD1

所以由正弦定理得4BBD4C_DC

SinzjIDBsin∑BAD's∖n∆ADCSinZe4。'

又因为sin4BAO=sintθ,SinNAOB=Sin乙40C,

所以黑=箓，即霏=*=[=2,

DUZzCZ√GAerN

所以而=荏+前=荏+|而=荏+|函一荏）=W四+1幅

即而=|前+3^

故选：D.

利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.

本题考查平面向量相关知识，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意可得2X5CoSe=-6,解得cos。=一|,再由0≤J≤兀可得sin8=£

—>__→4-

二IaXbl=Iabl∙IbI∙sinθ=2x5x^=8,

故选8.

由五不=-6求出cos。的值，进而得到sin。的值,再由I五XBl=I五I•|方|∙s讥。运算求得结果.

本题主要考查两个向量的数量积的定义，求出S讥是解题的关键，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基

本定理，属于基础题.

根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出威=荏+;万,前=而-四，代入前=

a初+〃前并进行向量的数乘运算便可得出丞j=Gt-〃)南+©+〃)而，而尼=南+而,

这样根据平面向量基本定理即可得出关于九〃的方程组，解出九〃便可得出;I+4的值.

【解答】

解：AC=AB+AD>AM=AB+^BM=AB+^AD,BD=AD-AB;

・•.AC=λAM+μRD

1_

=λ(AB+'硒+μ(AD-AB)

—(A-/1)AB+(,+4)AD;

M-M=I

・・.由平面向量基本定理得：bɪ;

匕+4=1

解得A=∣,μ=ɪ;

ɔ,5

4〃—ɜ*

故选:B.

8.【答案】A

【解析】解：在△4CD中，由余弦定理得：τlC2=AD2+CD2-2AD∙CD-cos∆ADC,

乙

即22=(≡)2+(C)2_2y∕~7×≤×cos∆ADC=上+7—y∏acosADC，①

在AABO中，由余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos∆ADB,

c2=φ2+(<7)2-2<7X∣cos(π-∆ADC)=?+7+CaCoS(ADC，②

由①②相加整理得：c2=∣α2÷10,③

又•・•4+c2—α2=2c,(4)

由③④解得：c=4,Q=2y∏3∙

故选：A.

在A"D和AABD中，利用余弦定理建立方程，求解即可.

本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解:因为有〃方且IZl=I石I,所以五=方或五=—a所以N〃方且I五I=IEl是H=I的必

要不充分条件，故A正确，B错误；

C,因为其与石方向相同且I五I=I石|,所以五=a则五与方方向相同且I五I=131是胃=3的充要条件，

故C正确；

D,若五与方方向相反或|则≠∣B∣,则五≠E,若五≠E,贝展与方方向不同或IkI力|方|，

即由五大石得不至循与方方向相反或I可≠∖b∖>

所以五与方方向相反或Ial≠IBI是豆的充分不必要条件，正确.

故选：ACD.

根据向量共线、向量相等的概念结合充分条件、必要条件逐项判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据相等向量或相反向量的定义进行判断是解决本题

的关键，是中档题.

IO.【答案】BCD

【解析】解：由正弦定理得SinB=蛆M=透=巳

a33

由匕>。得8>4故B为锐角或钝角，A不符合题意;

由CoS8=I得SiTIB4bsinA4sinA

5=a=3

所以Si加4=|,

由Q<b得4VB,故A只能为锐角，符合题意；

由余弦定理得，C2=a2+b2-2abcosC=9+15-2x3x4x?=24—12门，

所以C=3√~2—∖Γ~^,

由a<b得4VB,A有一解，C唯一确定，符合题意；

由正弦定理得SinB=典4sinA1

3=2,

所以

SiTL4=O

由。<6得4<8,4唯一确定，符合题意.

故选：BCD.

由已知结合正弦定理及余弦定理及三角形大边对大角分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算法则，重心的性质，属于中档题.

利用重心的性质，再结合平面向量的线性运算法则进行判断即可.

【解答】

解：4,∙.∙M为AABC的重心，未必为该三角形的外心，

二不一定有I加I=I而I=I流故A错误，

B,∙.∙M为AABC的重心，。为BC的中点，.∙.R0=2和，

∙.∙Mβ+MC=2ΛW=-ΛL4>∙∙∙MΛ+MB+MC=O)故B正确，

C,∙.∙M为△力BC的重心，：.两=：(瓦？+就)=g而+|前，故C错误,

D,∙∙∙M为AABC的重心，.∙.丽=：初，:SABMC=；SAABc，故。正确.

故选：BD.

12.【答案】AC

【解析】解：由已知可得五+石=(m+1,3)，

因为B∙α+E)=3，

所以τn(m+1)+3=3,

解得m=-1或Tn=0,

又因为?n<0,

所以m=-1,

所以E=(T1),

对于4选项，Ibl=ʌ/(-1)2÷I2=y∣~2，

故4选项正确；

对于B选项,2α+h=(‰5),α+2b=(-1,4)»

由于1×4≠-1×5,

所以2五+3与五+2至不平行，

故B选项错误；

对于C选项，2α-6=(3,3)，a-2b=(3,0).

所以COS〈2Z一瓦为一23〉==峥，

又〈2ɑ—b,3—2b)∈(0,τr)>

所以〈2万一九五一29)=：,

故。选项正确;

向量五在3方向上的投影向量为翳.ɪɪjð,

对于D选项,

所以向量方在向量石上的投影向量的模为?,

故。选项错误.

故选：AC.

由方∙m+W=3得方=(-L1)，对于4C选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；对于B选项,

需•需即为向量五在方向上的投影向量,

利用两向量平行满足的条件进行判断；对于。选项,B从

而可以求模长.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量模长公式和夹角公式，属中档题.

13.【答案】\

【解析】解：∙∙∙α=(1,3),b=(3,4)-

.∙.a-λb=(l-3λ,3-4λ).b-a=(2,1).

•••(a-λb)1(ð-ɑ),

.∙.(α-Λfa)∙(K-o)=0,

.∙.-IOA=-5,

故答案为:ɪ

先求出五一;和方一五的坐标，根据向量垂直数量积为0解出;I即可.

本题主要考查向量垂直的性质，是基础题.

14.【答案】

【解析】解：因为向量五,石的夹角为150。，IɑI=2,1KI=√~^3>

所以位一29)2=a2-4a-b+4b2=22-4×2×O×cosl50o+4×(O)2=28,

所以I五一2了|=2<7.

故答案为：2^Γ~^.

利于向量数量积的运算法则求Iα-2h∣2,进而求解I五-2b∖.

本题考查平面向量数量积的性质，属基础题.

15.【答案】3

【解析】解：设角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

由题意可得4=120。，a=√19,c=2,

结合余弦定理，可得19=Z√+4-2xbx2xcosl20o,即炉+2b-15=0,

解得b=3或b=-5(舍去)，

所以ZC=3.

故答案为：3.

利用余弦定理得到关于b的方程，解方程即可求得b的值.

本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

16.【答案】9

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

用四，而表示出丽7，NM，再进行计算.

【解答】

解：∙.∙^BM=3MC>^DN=2^NC,N

1111

福

一

和

-C万C

・--=-==

：-33--4Fc-4-

NCM

M33

-彳

B-8C--

4-4

.∙.AM=AB+BM=AB+^AD>^NM=近+^^^^一―,

A

CM=^AB-^AD.

34

.-.AM-NM=(AB+^AD)■(∣AB-:而)=∣Aβ2-^-AD'=ɪ×36-ɪ×16=9.

4'34z3Io3Io

故答案为：9.

17.【答案】解：(I)因为荏=而一函=(3五一W-(2五+W=五一五，

AC=OC-OB=(a+3b)-(2a+b')=-a+2b,

所以前=-AB>

所以而与前共线，且有公共点4

所以力，B,C三点共线；

(2)因为9方一k方与统一43共线，

所以存在实数4,使得ZcZ—=4(9五—∕cB),

因为之与石不共线，所以一，

(-4--kλ

解得2=±∣,k—+6,

所以实数k的值为±6.

【解析】(1)要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.

(2)由共线性质求出参数即可.

本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

18.【答案】解:由题意知而=(-1,3)，BC=(3,m).CD=(l,n)>

所以而=AB+^BC+^CD=(3,3+m+τι)>

；

(1)因为前〃就.所以而=4就，即｛3+;1M>bn,解得n=一3

(2)因为尼=荏+元=(2,3+m),βD=βC+CD=(4,m-3).又近1丽，

所以而•前=0，即8+(3+τH)(Tn-3)=0,解得τn=±l.

【解析】本题考查了向量平行和垂直的性质运用，关键是明确坐标关系，属于基础题.

(1)由已知得到向量而，利用向量平行即可求出小

(2)求出前，前的坐标，由向量垂直，数量积为。即可求出m∙

19.【答案】解：(1)因为七=一警，所以(2b+c)cosA=-αcosC,

-

4Ot^CCUSKJ

由正弦定理得(2s出B+sinC')cosA=-SinAcosC,

所以2sinBCoSA=-SinAcosC-SinCcosA=-Sin(A+C)=-sinB,

显然SinB。0,所以有2cos∕=—1,得cos4=—

因为角4为△力BC内角，所以4=零

(2)sinC=2sinB,由正弦定理可知C=26,

由⑴可知4=手因为Q=7,由余弦定理可得M=/)2+-2bccos∕,

所以有49=b2+4b2-4h2×(-ɪ)=7b2,解得b=>J~7,c=2b=2√^π7∙

【解析】(1)先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；

(2)先利用正弦定理找到边b,C的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.

本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)设荏=五，AC=b,

则而=AB+BD

1

=

4-βc

31

+

=4-4-

=⅛+∣K,

44

所以I而∣2=近2

1

T2

a+

4-

923T1

--Q-+2X一Qb+

161616

Q31

—×16+2×-×4×4×cosl20o+—×16

16IoIo

=7,

故4。=>J~7∙,

(2)设NZMC=8,则。为向量而与前的夹角.

因为COSe=受空

∖AD∖∖AC∖

(∣a+∣g)∙g

一›Λ7×4

_犷+字石

4C

=∣×16+∣×4×4×(-∣)

-4∕^7-

所以COSND力C=-今

【解析】(1)利用同和就表示同，然后利用平面向量数量积的运算律计算可得;

(2)利用平面向量数量积直接计算即可.

本题考查了平面向量的运算，平面向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)∙.∙AB=a,AC^b,BE=2EClAC=3ΛD>

.-.JD=AD-AB=^AC-AB=^b-a,

AE=AB+BE=AB+IBC=AB+l(AC-AB)=IAB+IAC=^a+lb↑

⑵∙.∙40、E三点共线，.∙.存在实数九使得而=4荏=4(五+IE)=W方+勺丸

∙∙∙。、。三点共线，：.存在实数“，使得丽=〃前，.∙.而一荏=〃丽，

可得而=南+〃前=五+〃(一行+颉)=(1—〃)"软，

ʌ+yb-(1-μ)a+^b,