2023-2024学年天津市五所重点学校高一年级下册期中联考数学模拟试题

2023-2024学年天津市五校高一下册期中联考数学模拟试题

一、选择题(本题共9小题，每小题4分，共36分)

1.已知0—1)z=3-ι,其中i为虚数单位，则忖=()

A.√5B.5C.2D.√2

【正确答案】A

【分析】应用复数除法求得复数z=2+i,再求其模.

3-i(3-i)(l+i)4+2i`..

【详解】由Z==~—r-=2+1-故目lr

1-1(l-ι)(l÷ι)211

故选：A

2.已知向量Q=(-3,2),B=(Lx),若a〃B，则X=()

3232

A.-B.—C.----D.----

2323

【正确答案】D

【分析】根据向量的平行的坐标表示，即可求解.

2

【详解】因为£〃B，则—3x=2,得％=—

故选：D

3.已知B是夹角为60。的单位向量，则囚一2可=()

A.7B.13C.√7D.√13

【正确答案】C

【分析】对表达式直接平方，结合数量积的运算进行求解.

【详解】∣31—2万(=(31—2行『=9万2—12万石+4户=9—12xlxlXCoS60°+4=7,于是

∣35-2⅛∣=√7.

故选：C

4.已知a、6为两条不同的直线，口、/为两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若a∕∕b,bua,则a∕∕a

B.若aua,bu/3,a∕∕b,则a〃Q

C若a〃夕，aua,则a/R

D.若a///?,aua,buβ,则a∕∕b

【正确答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.

【详解】对于A：若a∕∕b,bua,则a//a或aua,故A错误；

对于B：若aua,buβ,a∕∕b,则a〃夕或a与夕相交，故B错误；

对于C：若aHβ,aua,则。///?,故C正确；

对于D：若a〃夕，aua,bu/,则a∕∕b或。与b异面，故D错误.

故选：C.

5.在“8C中，已知SirL4=2sin(4+C)cosC,那么一8。一定是()

A等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【正确答案】C

【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到b=C,进而得到“BC

为等腰三角形.

【详解】因为SirL4=2sin(4+C)cosC,sin(4+C)=sin8,

所以SirL4=2sinBcosC,

所以由正弦定理和余弦定理得4=26>"-+”一。一,

2ab

化简得∕>2=c2,所以b=c,所以。为等腰三角形.

故选：C

6.已知h=2同，若Z与5的夹角为120。，则涕―Z在Z上的投影向量为（）

-3-1-→

ʌ-3-3QB.--aC.--aD.3α

【正确答案】B

【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求2B-Z在［上的投影向量.

【详解】2$-々在Z上的投影向量为12B-αIcos(26-a,β)∙-,

'/⑷

一一一一一一2

2bya2aa

∖2b-a∖cθs(2h-a,a)=(~f=±~-,

—*——*2—ɔ—•2

-左一■豆/耳石

rrK1L∣⅛Aι⅛∏÷ι2Q∙6—Q-∣ci∣~cos120°—∣tz|~-3-

所以，2b—4在Q上的投影向更为---=^-----a—------------------TT------------------a=—a.

∣α∣21«|22

故选：B

7.在“8C中，内角A,B,C所对的边为。，b,c,若。=4,6=4百，A=-,则角8的大

6

小为()

ππ一2兀2ππ

A.—B.—或——C.——D.—

33336

【正确答案】B

【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角8的大小.

【详解】由，一=—竺，则Sin6=2当且=3,而8e（0,π）,故5=二或0,

smAsinBa233

显然，所得角5均满足O<Z+B<兀.

故选：B

8.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）

π

D.

~τΓπ^2

【正确答案】C

【分析】设正方体的棱长为0,则外接球的直径为正方体的体对角线，从而可得球的半径，利用公式

求出两者的表面积后可得它们的比值.

【详解】设正方体的棱长为“，外接球的半径为R,则2&=小，

故球的表面积为4兀&=πX(2&『=3万",而正方体的表面积为6片,

故正方体与这个球的表面积之比为ɪ-=-

3πa'π

故选：C.

本题考查正方体和其外接球的表面积的计算，注意弄清楚球的半径与正方体的棱长的关系，本题属于

基础题.

TT--•2—-且满足"=加%+,方，

9.如图，在“8C中，ABAC=-,AD=—AB,P为CD上一息

332

若西=2,西=3,则网的值为（）

A府Rʌ/iɜ√13√13

A.7o«------Ir.-----Ln/.-----

234

【正确答案】B

【分析】由C,P,。三点共线，结合向量的线性运算将万用就,而表示，根据共线的条件得出参数

值加，然后对等式NR=加就+工方两边同时平方即可.

2

——►—►1——►2——►3—►——►——►—►3——►

【详解】AP=mAC+-AB,又AD=-4B=—AD=4B,即ZP=m∕C+-AS,

2324

31—1—.1—

由C,P,。三点共线可知，m+-=∖,即加=一，故∕P=-∕C+―/8.

4442

■,■?..兀

由题知，^AC=4,∑5"=9'AC-AB=2×3×cos-=3.

将上式两边平方可得，AP2=—AC2+-AB2+-ABAC=-,即|"I=姮.

16444II2

故选：B

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

10.若复数Z满足z+(3+4i)=l,则Z的虚部是

【正确答案】-4

【分析】应用复数的减法运算求复数，即可确定其虚部.

【详解】由题设Z=I-(3+4i)=-2-4i,故虚部为一4∙

故-4

11.已知圆锥的底面半径为2,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为.

【正确答案】迪"##8其

33

【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的

母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为，•，高为〃，

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以2πr=π∕,又r=2,

所以圆锥的母线长∕=2r=4,所以圆锥的高〃=，/2_尸=2百,

所以圆锥的体积P='mΛ⅛=迪»，

33

故答案为.号赵■乃

3

12.若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆锥

的高的比为.

Q

【正确答案】一##8:3

3

【分析】设圆柱的底面半径为R,高为九，圆锥的底面半径为，高为〃2,结合题意得到∕∙=2H,

结合圆柱和圆锥的体积公式，求得TL的值，即可求解.

fh

【详解】设圆柱的底面圆的半径为R,高为九，圆锥的底面圆的半径为〃，高为人2，

因为圆柱和圆锥的底面周长之比为;，可得理=O=L,所以厂=2R,

22πrr2

22

πRht3ΛΛ13R2%3%C

又因为圆柱的体积是圆锥体积的2倍，可得］兀7力=Rr=赤A=NT=2,

3π,2

A8-8

解得TL1=Z,即圆柱的高与圆锥的高的比为一.

h133

Q

故答案为・-

3

13.在C中，α,b,c分别为内角4氏C所对的边，若/=+6,J=p则-8C的面

积是.

【正确答案】舅1##：6

22

【分析】根据题意求得C?+/-/=2α—6,再由余弦定理列出方程求得be=6,结合三角形的面

积公式，即可求解.

【详解】因为/=(C-bp+6,可得/=C?+/一2bc+6,^c2+b2-a2=2hc-6,

又因为力=1，由余弦定理可得CoSA=C-+b--a-=2bc二6=J_,解得/^=6,

32hc2bc2

所以^ABC的面积为S=LbCSin/=IX6xsin百=，.

2232

故地

2

14.一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32。

方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为J历海里，则灯塔与轮船原来的距离为

海里.

【正确答案】2

【分析】如图，设Z为轮船原来的位置，8为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在“3C

中利用余弦定理求解即可.

【详解】如图，设4为轮船原来的位置，8为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，

由题意知Z6=18χW=3,BC=M，ZBAC=180o-32°-28°=120°.

60

由余弦定理得BC2AB2+AC2-IAB-ACcosABAC‹

所以19=9+NC2+3NC,化简得/C2+3NC—I。=。,

解得4C=2或4。=一5(舍去),

所以灯塔与轮船原来的距离为2海里,

故2.

15.如图，在平面四边形ZBCQ中，ABlBC,ADLCD,NBAD=120。,4B=4D=1.若点

E为边CO上的动点(不与C、。重合)，则琢.丽的取值范围为.

【分析】设诙=%比(0<4<l),根据条件找出Z)C=BC=G,I诙卜血，且诙与刀的

夹角为30°，E与益的夹角为60°，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出

EA-EB=fDA-DE)-iED+DA+AB),然后表示为关于4的二次函数，通过求二次函数的最小值

即可解决问题∙

【详解】延长CD,加交于点”，因为4B1BC,AD1CD,NB4D=120°,所以NBCZ)=60'，

ZDHA=30°>

在RtAZZV∕中，NDHA=3«，AD=\,所以AH=2,DH=小,

在Rta8C”中，KHB=30°，BH=3,所以C7∕=2√J,8C=√J,

所以Z)C=BC=百，不妨设方=4皮(0<2<l),贝”瓦卜&,且瓦与法的夹角为30。，

刀与刀的夹角为60°，

则或.丽=®-码•(而+E+珂

=DA-ED+DA∙DA+DA∙AB一DE∙ED-DE∙DA-DE∙AB

=0+∣Λ4∣2+∣Λ4∣-∣7s∣cos600+3Λ2-0-∣∕5^∣∙∣AS∣COS300

=[+-+3λ2-0-yβλ×-=3λ2--λ+-，

2222

设/⑶=3/[2_?+：,(0<Λ<l)t

3

所以~2[时，/(2).=3x(』]2_2x，+3二可

几二一百二I、7m,nUJ24216

2

/(Λ)<∕(l)=3×l-i×l+^=3,

则以•丽的范围是当3).

故答案为.洌

C

三、解答题(本大题共4小题，共60分)

16.已知α=(4,3),B=(-1,2).

(1)求［与B夹角的余弦值;

(2)^(a-λb)1(2«+^),求实数九的值;

(3)若NW=2Z-B，^BC=a+mhy且A、B、。三点共线，求加的值.

【正确答案】(1)2叵

25

⑵T

9

(3)」

2

【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算和夹角公式即可得出；

(2)依题意可得(a-aB)∙(22+3=o,根据数量积的运算律得到方程，解得即可；

(3)首先求出荏，就的坐标，依题意可得数〃刀，根据向量共线的坐标表示计算可得.

【小问1详解】

∙.∙Z=(4,3),^=(-1,2).

∙,∙5∙⅛=-l×4+3×2=2>同=J4。+3?—5>W=J(—1)-+2?=y∣5-

/_r∖a-b22√5

丽=Rr石•

【小问2详解】

•••(3-花)-L(2a+B),

.-.(α-Λ6)∙(2a+⅛)=0,

即252+(l-2λ)α∙⅛-Λ62=2∣α∣2+(l-2λ)a∙⅛-Λ∣⅛∣2=2×25+(l-2λ)×2-5Λ=0,

52

整理得92=52,解得4=一.

9

【小问3详解】

因为方=2%-B=2(4,3)-(-l,2)=(9,4),

BC=α+∕n6=(4,3)+w(-l,2)=(4-w,3+2w),

因为A、8、C三点共线，

所以死〃刀,即9(3+2加)=4(4一加)，解得wj=-g.

17.在非等腰ΔA5C中，a,b,C分别是三个内角A,B,C的对边，且α=3,c=4,C=2A.

(ɪ)求COSZ的值；

(2)求△/5C的周长；

(3)求COS24+的值.

k6√

2

【正确答案】(1)COSZ=一

3

28

(2)—

3

小√3+4√5

18

34

【分析】（1）由正弦定理得——二——,根据C=2力，解得cos∕∙

sinAsinC

1A

（2）由余弦定理/=〃+/—2Z?CCOS/，建立方程b1——⅛+7=0,根据。，h,。互不相等，

求得力，即可求出周长.

（3）由cos∕=2,得SinN=或，应用二倍角的三角函数求得sin2∕,cos2Z,应用两角和差的三

33

（兀

角函数求COs[2τ4+-

【小问1详解】

L

在“8C中，由正弦定理‘r=-J=——，a=3,c=4,

SinJSmBSinC

可得二一=^^,

sinAsinC

3434

因为C=2∕,所以-----=------，即-----=------------,

sinAsin2JsinA2sin/cos4

2

显然sin4wθ,解得cos/=—.

3

【小问2详解】

在△?IBC中，由余弦定理/=^+c2-2bccosA，

得^b+7=0,解得6=3或6=1.

33

7

由已知。，b,。互不相等，所以b=—,

3

728

所以=。+6+。=3+4+—=—.

“K33

【小问3详解】

因为CoSZ=∣∙,所以SinZ=Jl-Co以/=正,

所以sin2/=2sin/cosA=——>COS2/-2cos2A-1=--,

99

LL1、I（c∕兀）c/兀∙c∕∙兀（1I√34√516+4五

Wr以cos2AH—I=cos2Acos—sin2?ISin———×------------×—=

I6J66（9j29218

18.如图：在正方体ZBcD-44ClA中ZB=2,〃为。A的中点.

(1)求三棱锥M-NBC的体积;

（2）求证：//平面ZMC；

（3）若N为CG的中点，求证：平面力MC//平面BNR.

2

【正确答案】（1）I

（2）证明见解析（3）证明见解析

【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；

（2）根据线面平行的判定进行证明；

（3）根据面面平行的的判定进行证明.

【小问1详解】

1112

显然，平面于是％BC=-XMDXSXIX-

W/8C,tri~zAid_3a“∕iBD∖-C=-32X2X2=-3.

【小问2详解】

D\CI

设ZCnBD=。，连接OM,

・••在正方体NBCD-44G。中，四边形ZBC。是正方形，二0是8。中点,

•••M是DDl的中点，；.OM//BDi,

∙.∙BR<Z平面AMC,OMU平面AMC,

：.BDlH平面AMCx

【小问3详解】

QN为Cq的中点，例为OA的中点，

.∖CN//DlM,:.CN=D1M,

.∙.四边形CNz）也为平行四