2023年广东省惠州市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年广东省惠州市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的

I.已知集合∕={0,1},8={x∣∕≤4},则∕∩8=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x∣0≤x<2}D.{x∣0≤x≤2}

2.如图，在复平面内，复数zι,Z2对应的向量分别是θλOB,则复数久对应的点位于（）

Z2

C.第三象限D.第四象限

3.要得到函数y=sin（Zr+的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）

TrTr

A.向左平移二单位B.向右平移;单位

44

Tl∏

C.向右平移二单位D.向左平移力单位

OO

4.屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立

者和代表作者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等.某校于2022年6月

第一个周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求

每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（）

A.ɪB.ɪC.J—D.ʒ-

24126

第1页共23页

22

5.过双曲线C三-工_=1（。>0,ft>0）的焦点且斜率不为0的直线交C于4B两点,

2,2

ab

。为中点，若kf∙ki=L则C的离心率为（）

κABKOD2

A.√6B.2C.√3D.ʌʃθ-

2

6∙若2cos2（a?）=l+cos2a，则tan2a的值为（）

A.jβ-B.近C.-√3D.√3

33

7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,尸为圆。上任一点，若屈=X靛+y正，

则2x+2y的最大值为（）

IInxI>X〉O

8.已知函数f（χ）=],若方程/（x）=*-1有且仅有三个实数解，则

x2+2x-l,X40

实数“的取值范围为（）

A.O<a<lB.0<a<2C.a>lD.a>2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

（多选）9.若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10

天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数

据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（）

A.平均数为2,中位数为3

B.平均数为1,方差大于0.5

C.平均数为2,众数为2

D.平均数为2,方差为3

第2页共23页

(多选)10∙已知函数/(x)=4Sin(ωx+φ)(4>0,ω>0,∣φ|的部分图象如

图所示，则下列结论正确的是()

⅛Γ

兀

A∙f(x)=2cos(2x^z-)

B.满足/(x)>1的X的取值范围为(%π,⅛π+A)(Λ∈Z)

C.将函数/(x)的图象向右平移三个单位长度，得到图象的一条对称轴*W

123

D.函数/(x)与g(X)=-2cos2x的图象关于直线X=B对称

(多选)11.二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学大师莱布

尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法

kk10

构造数列：ΣE≡^n=ak.2+ak.1∙2^+--+a0∙2-其中防虫。，D册=0，1，2,…,

k),记氏=αo+m+∙∙∙+αr-i+以.如3=1X21+lX2°,⅛3=1+1=2,则下列结论正确的有

()

A.Z>9=3B.b2n~~bn

C.⅛2w+3=氏+1D.⅛8∕r+5=人4〃+3

(多选)12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限-0>0),劳累程度7

(0<7,<l),劳动动机<(1<*<5)相关,并建立了数学模型E=IO-IoT∙Z√°W.已知

甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的有()

A.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

B.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

C.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高

D.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若/(X)=g(x)∙ln(X2-1)为奇函数，则g(X)的表达式可以为g(x)=

14.若(1-©)8展开式中第6项的系数为1792,则实数。的值为.

第3页共23页

15.已知动点尸到点Z(1,0)的距离是到点8(1,3)的距离的2倍，记尸点的轨迹为C,

直线y=fcr+l交C于M,N两点,0(1,4),若AQMN的面积为2,则实数4的值为.

16.某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为

一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该

17.（10分）在AZBC中，角4,B,C的对边分别为0,b,c,b=2acosAcosC+2ccos2A.

（1）求角出

（2）若α=4,求c-26的取值范围.

18.(12分)当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为

了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在

内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如表：

关卡X123456

平均过关时间y(单位：5078124121137352

秒)

66

,

计算得到一些统计量的值为：EUi=28.5)∑xiui=106.05其中，的="处

i=lɪi=l11

(1)若用模型y=αefcγ拟合N与X的关系，根据提供的数据，求出V与X的经验回归方

程；

(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一

关，否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面

3关能在平均时间内通过的概率均为刍，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”

5

的分布列和数学期望.

参考公式：对于一组数据(*,%)(i=l,2,3,-),其经验回归直线y=bχ+软的斜率

第4页共23页

n

*∑x1iy14-nxy

=14A

i

和截距的最小二乘估计分别为b=⅛---------------,a=y-b^∙

b2-2

〉,xi-nx

i=l

19.(12分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S“aɪɔɪ,当"22时，S；=anSn-a£

(1)求S,:

Onrι

(2)设数列｛2_｝的前〃项和为G，若λτ4(/+9)∙2恒成立，求人的取值范围.

Snn

20.(12分)如图，在平面五边形为88中，△孙。为正三角形，AD/∕BC,ZDAB=90°

且NO=∕8=28C=2.将ARIO沿ZO翻折成如图所示的四棱锥尸-ZBCr),使得

PC=√7∙F,。分别为43,CE的中点.

PE2

22r~

21.(12分)已知椭圆C：=1(a>⅛>0)的离心率为丝，其左、右焦点分别为,

2,2ɪ2

ab乙

F2,T为椭圆C上任意一点，4TQF2面积的最大值为L

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知/(O,1),过点(0,的直线/与椭圆C交于不同的两点/，M直线

NN与X轴的交点分别为P,。，证明：以尸。为直径的圆过定点.

22.(12分)己知函数/(x)=aeκ-In(x+l)(α∈R).

(1)证明：当α>0时，函数/(x)存在唯一的极值点；

(2)若不等式/(x)NCOS(〃-1)恒成立，求〃的取值范围.

第5页共23页

2023年广东省惠州市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的

2

1.已知集合4={0,1},B={x∖x^4}f则力∩5=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x∣0≤x<2}D.{x∣0≤x≤2}

解：由8中不等式变形得：(x-2)(x+2)WO,

解得：-2WxW2,即8=[-2,2],

∖'A={O,1},

.∙.∕C8={0,1}.

故选：A.

2如图’在复平面内‘复数Z”Z2对应的向量分别是次强则复咤对应的点位于()

C.第三象限D.第四象限

解：由题意可知Zi=-2-3Z2=i.

.£1-2T(-2T)i

=-∖+2i,

"z2ii∙i

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复数包对应的点位于第二象限.

Z2

故选：B.

3.要得到函数V=Sin(2x+≡)的图象，只要将函数y=sin2x的图象()

TrTl

A.向左平移;单位B.向右平移;单位

44

C.向右平移3单位D.向左平移g单位

OO

解：由于函数y=sin⑵+/)=sin2(X+*,

Ttτr

故只要将函数y=sin2x的图象相左平移3单位，即可得到函数y=sin(2x+%的图象,

故选：D.

4.屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立

者和代表作者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等.某校于2022年6月

第一个周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求

每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为()

A.ɪB.3C.ɪD.ɪ

24126

解：该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为A：=24,

周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为A：-ʌɜ-A⅛Λ2=14,

则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为工鱼=」_.

2412

故选：C.

22

5.过双曲线Cɪ--^-=1(α>0,b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于48两点,

2,2

ab

。为/3中点，若kf∙ki=L,则C的离心率为()

κABKOD2

A.√6B.2C.√3D.近

2

22

解：双曲线C：2--2-=1(a>0,b>0),A(x∣,y∖),B(X2,")，。为NB中点，

2,2'

ab

是双曲线上关于原点对称的两点，点Ta2,")(X2≠±xi)也在双曲线上,

2212L2L2

ΓI∣X_y_i2bz22∖mu2bz22∖2b,22\

田-y二导，y=—(x-a)，贝Jyl=—(x1-a)*y2=­(x2-a)，

abaaa

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.,,V2^ylV2+yl

--kAβkθD=———-,———-

x2^xlx2+xl

6∙若2cos2(α4)=l+cos2α，则tan2a的值为()

□

A.jZΣB.近C.-√3D.√3

33

解：由于Zcos2(α∙^-)=l+cos2α，整理得2cos2(αq-)-l=cos2α，

OO

所以COS(2a/：)=CoS2a，

故^-Sin2a=-^^co≡2ɑ-,

整理得tan2Cl=√ξ∙

故选：D.

7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,尸为圆。上任一点，若点=X瓦+y正,

则2x+2y的最大值为（）

A.ɪB.2C.AD.1

33

解：以0为坐标原点，过0平行于的直线为X轴建立如图所示的平面直角坐标系,

由已知可得/（-1,-恒），8（1,-恒），C（0,RΣ）,

333

第8页共23页

点P在以。为圆心，2近为半径的圆上,

3

所以可设P(sinθ),

则屈=(2V‰θ+ι,

osAB=(2,0),AC=(1.√3).

333

由屈屈正，可得邛

=X+y2x+y=£osO+l,'二,sinθ+2^^,

ð33

.，.2x+2y-cosθ+l+-^-sinθ+-⅛-=.‰in+

3333T)f

.∙.当e=2L时，2x+2y的最大值为&.

63

故选：A.

8〜已知函数{IInXI,X>0

f(x)=kι,MO若方程/(x)="-1有且仅有三个实数解，则

实数。的取值范围为()

A.OVQVlB.0<a<2C.a>lD.a>2

解：作出函数/G)的图象如图:

依题意方程/(x)=αχ-1有且仅有三个实数解，即y=∕(x)与N="-1有且仅有三个

第9页共23页

交点，因为y="x-1必过(0,-1),且/(0)=-1,

若αW0时，方程/(x)="χ-1不可能有三个实数解，则必有α>0,

当直线y=oχ-1与y=/〃x在x>l时相切时，设切点坐标为(X0，ʃo)(则/(X)=!，

即f'(X∩)ɔ-ɪ--贝!|切线方程为N-B)=-ɪ-(X-X0)，BPy--^-*x+yo-1--^-∙x+lnxo

UX。xOxOxO

-1,

；切线方程为y=αχ-1,二α=-L且加XO-I=-1,则xo=l,所以α=l,

xO

即当α>0时，y=∕(x)与y=αχ-1在(O,+∞)上有且仅有一个交点，

要使方程/(x)=«x-1有且仅有三个的实数解，

则当XWo时，f(X)-X2+2X-1与y=αx-1有两个交点，设直线y=αx-1与/(x)=

/+2χ-l切于点(0,-1),此时，(X)=2x+2,则/(O)=2,即α=2,

所以0<a<2.

故选:B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

(多选)9.若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10

天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数

据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是()

A.平均数为2,中位数为3

B.平均数为1,方差大于0.5

C.平均数为2,众数为2

D.平均数为2,方差为3

解：对于4因10个数的平均数为2,中位数为3,将10个数从小到大排列，设后面4

个数从小到大依次为“，b,c,d,显然有而α+6+c+d≤14,则”的最

大值为5,4符合条件；

对于8,平均数为1,方差大于0.5,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,

0,0,0,0,0,0,0,10,其平均数为1,方差大于0.5,8不符合；

对于C,平均数为2,众数为2,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,0,

2,2,2,2,2,2,8,其平均数为2,众数为2,C不符合；

对于。，设连续10天的数据为犷i∈N*,iW10,因平均数为2,方差为3,

第IO页共23页

1io

则有」_y(X-2)2=3>于是得(Xi-2)2≤30,而Xi∈N,i∈N*,iW10,因此x,W7,

1。金1

氾N*,z≤10,。符合条件.

故选：AD.

(多选)10.已知函数/(X)=∕sin(ωx+φ)(J>0,ω>0,Iφ∣<i的部分图象如

图所示，则下列结论正确的是()

兀

A∙f(x)=2cos(2x一Z-)

o

B.满足/(x)>1的X的取值范围为(⅛π,⅛π+A)(Λ∈Z)

C.将函数∕∙(x)的图象向右平移型个单位长度，得到图象的一条对称轴X=ɪ

12x3

D.函数/(x)与g(x)=-2CoS2x的图象关于直线(寸称

解：根据函数/(x)=ZSin(ωx+φ)(Z>0,ω>0,∣φ|的部分图象，可得”

=2,

竺=3+2L,.∙.3=2∙

ω1212

再结合五点法作图，可得2X(-工)+φ=0,.∙.φ=2L,

126

故/(x)=2Sin(2x+-L-)=2COS(H-2x)=2COS(2x--ɪ),故/正确.

633

/■(x)>1,即Sin(2X+2L)>A,.∙.2lcπ+-<2x+-<2∕m+^L,⅛∈Z,

62666

求得HC<X<⅛TΓ+N,⅛∈Z,可得X的取值范围为(⅛π,Kt+2L)(Λ∈Z),故5正确：

33

将函数/(x)的图象向右平移.个单位长度，可得函数y=2sin2x的图象，

令x=JL,求得了=愿，不是最值，得到图象的一条对称轴肯定不是x=2L,故C错

33

误；

V/(x)=2sin(2X+-2L.)=2COS(2X-W-),∙∖∕'(2兀--S)=2cos(AΞL-2x--2L.)

63333

=-2cos2x=g(x),

第11页共23页

故函数/(x)与g(x)=-2cos2x的图象关于直线χ一^J⅛称，故。正确，

故选：ABD.

(多选)IL二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学大师莱布

尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法

kk10

构造数列：ι≡⅛^n=ak∙2÷ak.1∙2^+∙-+a0*2^其中冰®ɪ)G=0,1，2,…,

k),记加=αo+m+…+这一i+四.如3=1X2∣+lX2°,⅛3=I+1=2,则下列结论正确的有

()

A.庆=3B.bin=bn

C.b2n+3=b∏^^ɪD.bs∏+5=64〃+3

解：对于Z选项：9=1×23+0×22+0×21÷1X2°,故加=1+0+0+1=2,故4选项错误；

wkk1

对于B选项：n=alζ2+ak.1∙2^+∙4∙+a∣-∣•20，所以为=或+袱ι+…+的，

贝"2n=a∣ζ-2*1+Η卜］•2卜+…+a。•2"°X2°,所以历"=""+"h…+”。+°=""，

故B选项正确；

对于C选项：ri=%•2卜+八一1・2^-1+…+a0•2“所以力?=。的四-1+…+。。，

k11k1+12

2n+3=ak-2^+a^1∙2+-+(a0+l)∙2×°-

所以⅛2w+3=四+α%-1+…÷6f0÷1+1=bn+2≠bn+1,

故。选项错误；

kk10,

对于D选项：n=alζ*2÷ak_1∙2-+∙∙∙+a0*2所以为=四+袱-1+…+的，

fc3k+23+120

8n+5=(ak∙2"+a1^1∙2+-→a0-2)×2+0×2'+l×2,

故bSn+5—dk+ak-I÷"'+oo+1+0+1—bn+2»

同理b4n+3=ak+ak-1+'"+<70÷l+l+0=⅛,∣+2,

故∕‰+5=b4"+3,故D选项正确；

故选：BD.

(多选)12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累程度T

(0<T<l),劳动动机b(l<b<5)相关，并建立了数学模型E=机-Ior坨-0」".已知

甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的有()

A.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

第12页共23页

B.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

C.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高

D.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

解：设甲与乙的工人工作效率后，Ei,工作年限门，废,劳累程度Ti,Ti,劳动动机加,

bi,

b1

对于A1，ri=。，E1>E2,b1<b2>0<记<1,

ΛE1-£2=10(T2∙⅛2~0.14A*2^T∖b∖-0.14∏)>0,Tz,bi-0.14r2≥Γι∙b∖-0.14∏,

T^b10.14r1bɪQ.14rx>x

τ

ib2-0.14r2%

所以乃>八，即甲比乙劳累程度弱，故/错误；

对于8,b∖=bz,E∖>Eι,r1<r2,

ΛE1-Eι=∖Q(T2,⅛2-0.14r2~T∖b∖-0.14r∣)>0,T2bi-QΛ4∏'>T∖b∖-0.14∏

...”〉互竺！严4出一）〉

Tlb2-0.14r2回J

所以乃>八，即甲比乙劳累程度弱，故8正确.

对于C,TI=T2,r↑>∏,b∖>bι,

：.1>b2-0.14>⅛ι-0.14>0,bi-0.l4r2>⅛ι-O.I4r2>⅛ι-0.14∏,

,

贝IJEl-E2=10-IOTTbι-0.14r∣-(IO-IOTVb2-0.14r2)=107∣(⅛2-0.14r2-b∖-

0.14∏)>0,

.∙.E↑>E2,即甲比乙工作效率高，故C正确；

对于。，b∖=b2,rι>r2,T↑<T2,∖<b<5,0<b2-0.14<l,

.*.⅛2^0.14r2>⅛l-0.14r∣,72>7"ι>0,

,

则El-E2=10-IOTYb∖-0.14∏-(10-10T2∙⅛2^0.14r2)=IO(T2∙b2-0.14r2-T∖

-b∖-0.14∏)>0,

.∙.Eι>E2,即甲比乙工作效率高，故。正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若f(x)—g(x)'In(x2-1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(X)—x.

第13页共23页

解：因为/(x)—g(x)'In(x2-1)为奇函数，

所以/(-x)—g(-x)In(x2-1)=-f(x)--g(x),In(X2-1),

所以g(-x)--g(x)，

故g(x)为奇函数，

故符合题意的g(x)=X(答案不唯一).

故答案为：X(答案不唯一).

14.若(1-ox)8展开式中第6项的系数为1792,则实数。的值为-2.

解：由已知可得c；(-a)5=1792,

解得a--2.

故答案为：-2.

15.已知动点P到点/(1,0)的距离是到点8(1,3)的距离的2倍，记P点的轨迹为C,

直线y=fcv+l交C于M,N两点，。(1,4),若40〃N的面积为2,则实数Z的值为_

7或1.

解：设尸(x,y),由知动点尸到点/(1,0)的距离是到点8(1,3)的距离的2倍，

■《(XT)。/=2,化简整理得(x-1)2+(J?_4)2=4,

V((χ-l)2+(y-3)2

故动点尸的轨迹是以(1,4)为圆心，2为半径的圆，故。为圆心，

；△QMN的面积为2,；.1∖PM∖∙∣P7√∣sinNMPN=2,

所以NMPN=90°,

所以可得点Q到直线y=fcr+l的距离为√5,

.•」号少LL=解得上=-7或左=1.

故答案为：-7或1.

16.某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为

一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该

内切球的表面积为12π,三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为—√元

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解：依题意，如图，过侧棱的中点作正三棱柱的截面,

则球心为AMVG的中心,

因为MN=6,所以AMVG内切圆的半径r=0H=工而'-HM=V3,

33

即内切球的半径区=a，所以内切球的表面积S=4πR2=i2π,

又正三棱柱的高AAI=2R=2Λ∕*

所以ClHw)H=2F，

O

所以AO=√OM2+AM2=√(2√3)2+(√3)2=√15'

所以/到球面上的点的距离最小值为ACI-R=任-√3;

故答案为：12m√I5-√3∙

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17.(10分)在445C中，角4,B,C的对边分别为〃，b,c,b=2acosAcosC+2ccos2√4.

(1)求角4

(2)若α=4,求c-26的取值范围.

解：(1)有因为b=2acosACOSC+2CCoS24，

由正弦定理=b=C得,

sinAsinBsinC

siaβ=2sinAcosAcosC+2sinCcos2√4=2cosJ(sinJcosC+sinCcosJ)=2cos4sin5,

VJ,B,。为44SC的内角，

：.BW(0,π),.∙.sin^≠0,

2cosJ=l,∙*∙cosA=^^^,*∙*^∈(0，五)，∙*∙A=-^-

23

（2）解：由正弦定理得a=8禽,

si∏A3

所以c-2b=9（sinC-2sinB）=0^[sin（兀2sinB]

OðO

=8^3zV33.x∏JT

-—o--CoSB-^sinB）=8（COSBCOS-^--COSBSin

J4乙OO

Jr

所以C-2b=8CoS（B÷■鼠>

因为BC（0,等），所以B弓∈（子，兀），

所以cos（B+；）∈（-l>ɪ）,所以C-2∕）∈（8,4）.

18.（12分）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为

了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在

内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如表：

关卡X123456

平均过关时间y（单位：5078124121137352

秒）

66

计算得到一些统计量的值为：Xuι=28.5，∑x1u1=106,05＞其中，ui=lnyi.

i=lɪi=lɪɪ

（1）若用模型y=。*'拟合V与X的关系，根据提供的数据，求出N与X的经验回归方

程；

（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一

关，否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面

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3关能在平均时间内通过的概率均为刍，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”

5

的分布列和数学期望.

二A4

参考公式：对于一组数据(为，W)(i=l,2,3,•••),其经验回归直线y=bχ+a的斜率

n

-∑1^nxy

_411**

和截距的最小二乘估计分别为b---------------,a=y_b-

b2-2

〉,Xi-nx

i=l

解：(1)对y=α*x两边同时取对数，则例y=⅛x+历〃，

—1-I61

XJX(1+2+3+4+5+6)=3.5,u=7~∑Ui=T∙X28.5=4.75，

1

60i=ιO

6

∑X∙=12+22+32+42+52+62=9V

i=l

6____

Xχiui,^θχu

则;=%-----------=106,05-6X3.5X4.75=0,除

Ex/91-6X3.52

i=l

xu=bT+lna,即4∙75=°.36X3.5+加“'

所以历0=3.49,所以α=e±49.

所以，y关于X的经验回归方程为y=e°∙36x+3∙49.

(2)由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5,1,9,12,

贝UP(X=5)4,P(X=7)=4×⅜⅛,P(X=9)=⅛)2×⅜-⅛,

DDOZODD1^0

P(X=12)=(∣)3⅛

所以X的分布列为:

X57912

Pɪ41664

25^125^125

所以E(X)=5X(+7X4+9X鲁+12X品=9∙416∙

19.(12分)已知数列｛总的前〃项和为S,,,aɪɔl,当心2时，S∩=anSn-an∙

（1）求S,;

第17页共23页

n∏jl

（2）设数列邑｝的前〃项和为Tn,若入T4（/+9）∙2恒成立，求人的取值范围•

Snn

解：（1）当“22时,sn=ansn^an,

所以，$2=(s-S)e-(S-S

0nɔn-l,dnkdnðn-l,

整理得：S∣lStl∖-Sn.1^S11,即_=ɪ,

SnSkI

所以数列｛」_｝是以JO=J^=2为首项，1为公差的等差数列•

SnSIaI

所以」_=+1，即S^ɪ.

n

Sn%n+l

n

(2)由(1)知，£=(n+ι).2.

Sn

Λ7;=2×2+3×22+∙∙∙+(M+1)∙2n,①

Λ27⅛=2×22+3×23-+W∙2W+(W÷1)∙2Λ+1,②

23rt

①-②得，-%=2X2+(2+2∙∙∙+2)-(π+l)∙2"+I=2+2*-(π+i).

2-1

9w+1.

κ11

，Tn=