第八章 静电场(2011)

皮托管（测量流体流速的仪器,常称流速计.）沿CB流线应用伯努利方程由于O、C两点很近,则有沿OA流线应用伯努利方程（驻点）当测液体流速时,比多管如图(a)放置.

由于hA≈hB,则其中A由于U形管中注有密度为ρ’的液体,此时有PA-PB=ρ’gh,则B处气体的流速为（b）测气体的流速时,皮多管如图(b)放置.A

由于hA≈hB,则电磁学（Electromagnetism）▲电磁学研究电磁运动和电磁相互作用的基本规律

电场和磁场的相互联系；

电磁场对电荷、电流的作用；

电磁场对物质的各种效应。

电荷、电流产生电场和磁场的规律；

▲处理电磁学问题的基本观点和方法着眼于场的分布（一般）归纳假设▲电磁学的教学内容：

静电学（真空、介质、导体）

稳恒电流

稳恒电流的磁场（真空、介质）

电磁感应

电磁场与电磁波

对象：弥散于空间的电磁场，

方法：

观点：电磁作用是“场”的作用基本实验规律综合的普遍规律（个别）第八章静电场8-1电荷的量子化

电荷守恒定律

8-2库仑定律8-3电场和电场强度8-4电场强度通量高斯定理

8-5静电场的环路定理电势能8-6电势8-7等势面电势梯度电荷是物质的一种基本属性

1.电荷有两种

2.电荷量子化任何物质的带电量只能是某个基元电荷e的整数倍.即1986年推荐值：e=1.6021773310-19C8-1电荷的量子化

电荷守恒定律夸克带有分数电荷：±(1/3)e;±(2/3)e夸克理论：强子（如质子、中子、介子等）由夸克构成3.电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内,正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.4.电荷是相对论不变量8-2库仑定律(1785年）真空中,两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它们的电量q1和q2的乘积成正比,与它们之间的距离的平方成反比,作用力的方向沿着它们的连线,同号电荷相斥,异号电荷相吸.单位矢量SI制:q1q2式中k=9×109Nm2/C21.内容及数学表示真空介电常数或真空电容率2.说明适用范围：真空

静止点电荷

有效作用范围：10-15米至107米库仑力遵守牛顿第三定律

3.静电力的叠加原理作用在q0上的总静电力为qi单独存在时q0受力FnF3F2F1FPqoqnq1q2q3放宽条件：施力电荷须静止，受力电荷静止或运动均可。电荷电场电荷一、电场静电场——相对于观察者静止的电荷产生的电场电场对场中电荷施以电场力作用。8-3电场和电场强度电场的两个重要性质：力学性质：能量性质：电场对电荷有作功的本领。实物物质场电场中某点处的电场强度,等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向.（试验电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响）：场源电荷：试验电荷二、电场强度(electricfieldstrength)从“力”的角度描述场中各点场的强弱与方向是空间坐标的一个矢量函数静电场特点:电场分布不随时间变化单位电荷在电场中受力三、点电荷电场强度由场源为点电荷：+Q-Q四、电场强度叠加原理所受合力点电荷对的作用力故处电场强度FnF3F2F1FPqoqnq1q2q3场源电荷为点电荷系

电场强度叠加原理场源电荷连续分布电荷体分布电荷面分布电荷线分布场源电荷为点电荷系

五、电偶极子的电场强度（离散分布电荷的电场）①求电偶极子延长线上的场强分布（偶极矩）

等量异号点电荷组成系统，当讨论的场点的距离r远大于两电荷间距

l

时，称这一带电系统----电偶极子。----电偶极子的极轴定义电偶极矩①求电偶极子延长线上的场强分布由于或O②求电偶极子中垂线上的场强分布：B点总场强为或由于延长线上：方向:

为与

or

的夹角③求任一点的场强：-q+qMα中垂线上：延长线上：O当

=0，即场点落在的延长线上，有当

=/2，即场点落在的中垂线上，有与方向一致；场强大小与偶极矩

p成正比；与距离

r的三次方成反比2.1.

电偶极子延长线上的场强分布：电偶极子中垂线上的场强分布：任一点的场强：讨论与方向相反；+-3.电偶极矩在均匀电场中所受力矩yxo六、电荷连续分布时场强的计算设电荷的线密度为ap.例1.

均匀带电直线周围电场分布.统一变量1)当p

点落在带电直线的中垂线上,则只剩下2)当带电直线为长时,即

10,

2

讨论yxoap.例

2

求均匀带电圆环轴线上的场,已知解：在圆环上任取电荷元由对称性分析知垂直x轴的场强为0（2）（3）讨论(1)若x>>R

，则过渡到点电荷的场强公式均匀带电圆环轴线上的场强分布例3

均匀带电圆面，半径为R，电荷面密度为σ,

求圆面轴线上任一点P的电场强度。解：由例2相当一点电荷。

8-4电场强度通量高斯定理

类比流线--电场线

流量--电通量

通量（流量）流速场---流线环量无源场有源场无旋场有旋场电场线的特性

1）始于正电荷,止于负电荷(或来自无限远,终止于无限远).

在没有电荷的地方不会中断。

2）电场线不相交.3）静电场电场线不闭合.

1）曲线上每一点切线方向为该点电场方向,2）通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小.规定一、电场线研究的通量，源头在哪里？尾闾(汇)在何处？几种电荷分布的电场线图+++++++++--------------二、电场强度通量（电通量）1、电通量的定义：通过电场中某一曲面电场线条数,

用Φe表示。2、电通量的计算公式：均匀电场，dS

法线方向与电场强度方向成

角电场不均匀，S为任意曲面2).通过有限大曲面S的电通量

e1).通过面元dS的电通量为电通量的基本定义式规定：法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。简称为外法线方向为正某处

1<900通量为正(穿出)某处

2>900通量为负(穿入)<0>03).通过闭合曲面S的电通量

1

2几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数真空中,通过任一闭合曲面的电通量,等于该曲面包围的电荷的代数和除以.（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）要明确：1）高斯面上的与那些电荷有关？2）哪些电荷对闭合曲面的有贡献？1.内容：三、高斯定理2.推证：高斯定理库仑定律电场强度叠加原理证明:如图,以点电荷的中心作半径为r的球面.+q1).通过包围点电荷q

的同心球面S

的电场通量等于所得结论与r无关,说明通过对以点电荷q为中心的任意球面的电通量都相等。对两个无限接近的球面，通过它们的电通量都相同，Sq2).通过包围点电荷

q

的任意闭合曲面的电通量为对两个无限接近的球面，通过它们的电通量都相同，说明电场线在无电荷处连续S’’以q为球心在任意S闭合曲面内外取同心球面S’和S”通过S”和S’的电场通量相同为所以通过S的电通量为S’3).通过不包围点电荷任意闭合曲面S的电通量为零.S电场线在无电荷处连续进入与穿出S面的电场线数量相同4).多个点电荷电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和（自己证）:由场叠加原理和上述2)，3)结论可得(S内)Sq*静电场高斯定理的微分形式电荷连续分布时:可得:据:矢量场的奥—高公式称的散度静电场是有源场结论：(S内)S立体角定义：

d=dS/r2dSr

d

单位：球面度(sr)r附:教材中证明高斯定理引用了立体角的概念一个锥面所围成的空间部分称为“立体角”。

1）高斯面上的电场强度为所有面内外电荷的总电场强度.2）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.讨论3)源于库仑定律高于库仑定律4）高斯定律的微分形式库仑定律只适用于静电场,而高斯定律不仅适用于静电场,也适用于运动电荷和变化电场a、q>0，则，电场线穿出闭合曲面故+q为静电场的源头。b、q<0，则，电场线穿进闭合曲面，终止于-q,故-q为静电场的尾闾(汇）。电场线起始于正电荷，终止于负电荷，静电场是有源场.(S内)S四、利用高斯定理求静电场的分布利用高斯定理求解较为方便

常见的电荷(电场)分布的对称性：

球对称轴对称

面对称

均匀带电的球体球面(点电荷)无限长:圆柱体圆柱面带电直线无限大:平板平面当电荷(电场)分布具有某种对称性情况下应用高斯定理求场强的要点:（1）分析的对称性；（2）选取合适的高斯面，需通过待求的区域；让S上待求处，且E等大，使得其余处必须有原则：例3

均匀带电无限长细棒电荷线密度为

,求其场强分布.通过P点作以细棒为轴的圆柱面半径为

r,长为

l,设棒带正电荷,电荷线密度为

,因为场的分布是轴对称的S1S2++++++++++++++++PS3该高斯面电通量为:

据高斯定理:解：rP点

E的方向垂直于轴线向外（或向内—带负电时）结论:无限长带电直线附近r

处的场强大小为例4.

均匀带电无限大平面薄板的电荷面密度

e,

求其场强分布设

e>0,场是面对称的,做柱形高斯面.侧面垂直与带电面.由高斯定理得:

解：

eEE均匀带电无限大平面的电场分布---匀强场

eEE例5、计算两无限大均匀带等量异号电荷平面的场强分布。

-

+BA解：EAEB平面之间：平面之外：例6.

求均匀带电的球面内外的电场分布。已知球面半径为R,带电总量为

Q.解：选同心球面为高斯面。球面内：球面外：由高斯定理结果表明：均匀带电球面外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的场强均为零。场强分布在R处不连续。球面内：球面外：

R解：（1）球外某点的场强例7、求均匀带电球体内、外的场强。（已知球体半径为R

，带电量为Q

，电荷密度为

）r(

r≥R)

R（2）求球体内一点的场强r（r<R）rER(

r≥R)例8

如图，在一电荷体密度为

的均匀带电球体中，挖出一个以

O`为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的位置矢量用表示。试证球形空腔内的电场是均匀电场，表达式为。证明：P点的场强：OO'S1S2P

8-5静电场的环路定理电势能点电荷电场：

一、静电场力是保守力静电场是保守场.

q0由P1

点

P2

点，q的电场力的所做的功----点电荷电场力作功只与试验电荷始末位置有关，而与其运动路径无关。----静电场力移动单位正电荷作功与路径无关，仅与被移动电荷的始末位置有关由上式得任意点电荷系的电场：或者：电场强度的线积分与积分路径无关，

从P1P2电场强度的线积分为对任意静电场，电场强度的线积分（静电场力移动单位正电荷做功）均与路径无关，仅与始末位置有关静电场的保守性以上每一项为各场源点电荷单独存在时电场强度的线积分，均与积分路径无关结论：仅与起点P1和终点P2的位置有关二、静电场的环路定理单位正电荷沿闭合路径acbda

移动一周，电场力所作的功为对任意静电场，电场强度的线积分（静电场力移动单位正电荷做功）均与路径无关，仅与始末位置有关静电场的保守性即有环路定理的微分形式：说明静电场是无旋场结论:静电场是有源无旋场根据矢量场的斯托克斯公式静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分(沿任一闭合路径的环流)恒等于零。——静电场环路定理说明静电场是有源场称的旋度即有（积分形式）三、电势能保守力做功等于势能增量的负值将q0从ab电场力做功Wa----系统在a点电势能Wb

----系统在b点电势能相对量,系统量。令Wb

=0----b点为电势能参考点静电势能是属于电荷q0和场源所共有的也叫电荷之间的相互作用能。8-6电势静电场的保守性P1与P2两点的电势差（任意路径）若规定P0为电势零点，则P点电势定义式（任意路径）一、电势----电势U可引入电势差的概念。定义电势差存在由场点位置所决定的标量函数1.电势零点选择方法：2.电势是相对的,电势差是绝对的.3.已知静电场的电势分布，可计算电场力所做的功及电势能.说明通常对有限大带电体，选无限远处为电势零点实用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等处为电势零点对无限大带电体，选有限远处为电势零点电势能以无限远为参考点，选择沿矢径r的路径方向。二、电势的计算电势叠加原理

1.点电荷电场的电势分布即点电荷电场的电势

球对称标量有正负qp点电荷电场的电势分布2.点电荷系电场的电势分布场源电荷：点电荷系(q1,q2,…qn

)（有限大小）令U0rq>0q<03.电荷连续分布电场的电势分布电势叠加原理电势的计算注意两个积分的区别前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点若已知在积分路径上函数表达式例8

有均匀带电Q的细圆环，环半径为a，试求通过环心且与环面垂直轴线上距环心为x的一点的电势。求：++++++++++已知：解：分割求和。YZXOQ讨论

++++++++++YZXOQ例9

求均匀带电球面电场的电势分布。设球面带电Q，球半径为R。++++++++以无限远为参考点。a1）球面外：Rb2）球面内：有人说:因E内=0所以U内

=0（对不对？）等同点电荷的电势分布（电量集中在球心）【解】分段，积分也要分段）（Er

例10.

求两同心均匀带电球面电场中的电势布。两球半径分别为R1、R2,带电总量分别为q1和q2。解：R1R2o

q1q2ROQrR

空间电势相等的点所构成的面称为等势面..8-7等势面电势梯度一、等势面等势面的性质:等势面与电场线处处正交规定：电场中任相邻的两等势面之间的电势差为常量。点电荷的电场线与等势面电偶极子的电场线和等势面等量正电荷的电场线和等势面+++++++++平行板电容器的电场线与等势面由规定：场中任相邻的两等势面之间的电势差为常量。可以看出：3）场强越大的地方，等势面越密。2）场强总是从高电势沿变化最快的方向指向低电势。二、电势梯度ba

──的负方向导数等势面法向单位矢量，以电势升高的方向为正方向。电势U在方向上的变化率的负值等于场强在方向上的分量。大小:等于电势在该点最大的空间变化率；方向:沿等势面法向，指向电势增加最快的方向。直角坐标系中：定义电势梯度数学上，若某一标量对某一方向有最大变化率（称为方向导数最大），则定义此最大变化率为该标量的梯度。即“场强等于电势梯度矢量的负值”。负号表示场强方向沿电势降低的方向。电场强度与电势的关系概括如下：积分关系：----由场强求电势微分关系：----由电势求场强利用算符真空中静电场小结一.线索（基本定律、定理）：电场从受力的角度描述从功能的角度描述定量描述力能形象描述电场线等势面UP1）相互垂直2）电场线密等势面也密E二.基本物理量之间的关系：三.求静电场的方法：静电场可以用电场强度来描述，静电场也可以用电势来描述。1.求2.求场强叠加法高斯定理法电势梯度法电势叠加法场强积分法ïïïïîïïïïíì===·=¥òåò。），（（零点要同）；叠加法：；分段，积分也要分段）（，场强积分法：

04dd0)()(0UpeUUUU求

.2UqiiPPprqElErrr四、几种典型电荷分布的点电荷（？）均匀带电球面（？）均匀带电球体（？）均匀带电无限长直线（？）均匀带电无限大平面（？）第8章结束例11

正电荷均匀分布在半径为R的球形体积中,电荷体密度为

，求球内a点处和球外b点处的电势差。Oabrarb球内距球心r