2024年高考数学一轮复习讲义：第12讲函数的图像

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第12讲函数的图像（精讲）

题型目录一览

①作函数的图像

②函数图像的辨

识

③函数图像的应

用

一、知识点梳理

i.利用描点法作函数的图象

描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点'连线，具体为：

⑴①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、

最值等）.（2）列表（找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等）.（3）描点'

连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

y=f(x)+k

上所＞0）

________移，单位

右移---------

-

"白鼠）g°）

提醒：“左加右减”欠针对X本身，与X的系数无关，“上加下减”指的是在/（X）整体上加减.

（2）对称变换

关于X钟对掷＞y=_/（x）的图象；

①y=/（x）的图象

.关于理岖寸称＞y=/（—X）的图象；

②y=/（x）的图象

③y=/(x)的图象一关于原点对称_>y=-/(-X)的图象；

@y=a\a>0且存1)的图象关于直线>=%对称呼=iogd(a>0且"1)的图象.

(3)伸缩变换

①y=/(x)的图象

a>\,横坐标缩短为原来的，纵坐标不变

---------------------------,-------------->■y=f(ax)的图象；

0<«<1,横坐标伸长为原来的：倍，纵坐标不变

②y=/(x)的图象

«>1,纵坐标伸长为原来的。倍，横坐标不变

»y=q〃x)的图象.

OVaVl,纵坐标缩短为原来的。倍，横坐标不变

(4)翻转变换

x轴下方部分翻折到上方

①y=/(x)的图象”=/(划的图象;

X轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

②y=/(x)的图象»y=/(|x|)的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

【常用结论】

1.函数图象自身的轴对称

(1)/(—x)=/(x)u函数y=/(x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y=/(x)的图象关于x=a对称弓(a+x)=/(a—x)<<(x)=/(2a—x)守(一x)=/(2a+x)；

(3)若函数y=/(x)的定义域为R,且有/(a+x)=/3—x),则函数y=/(x)的图象关于直线芋

对称.

2.函数图象自身的中心对称

(1)/(—x)=—f(x)u函数y=/(x)的图象关于原点对称；

(2)函数y=/(x)的图象关于(a,0)对称弓(a+x)=—/(a—x)弓(x)=—/(2«—%)<=/(—JC)=­/(2a

+九)；

(3)函数y=/(x)的图象关于点(a,份成中心对称弓(a+x)=2〃一/Xa—x)弓(x)=2Z?—/(2a—x).

3.两个函数图象之间的对称关系

b-a

⑴函数y=/(a+x)与y=/(b—x)的图象关于直线尸-y-对称(由a+x=/?—x得对称轴方程)；

(2)函数y=/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称;

(3)函数y=/(x)与y=2b-/(—x)的图象关于点(0,加对称；

(4)函数y=/(x)与y=28—/侬-x)的图象关于点3,份对称.

二、题型分类精讲

刷真题明导向

一、单选题

1.(2022.全国.统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是()

2sinx

D-

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设=则”1)=0,故排除B;

设=,当时，0<cosx<l,

所以〃(司=2誓〈生41,故排除c；

X+1X+1

设g(x户骡f，贝电⑶二需〉。，故排除D.

故选：A.

2.(2021•浙江•统考高考真题)已知函数f(x)=d+!，g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

4

y

B.y=/(x)_g*)_；

A.y=+

4

C.y=fMg(x)D.

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=,f(x)+g(x)-；=x2+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=/(x)-g(x)-l=x2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

\}.贝！］/=2xsin%+(x2+；卜osx,

对于C,y=f(x)g(x)=\X2+—sinx

4)

当x=f时，了=3、坐+[2+j]x号>0,与图象不符，排除C.

422I164J2

故选：D.

x3,x.O,

3.(2020♦天津•统考高考真题)已知函数/。)=若函数g(x)=y(x)-收一2.(keR)恰有4个

-x,x<0.

零点，则Z的取值范围是()

A.-：)U(26+8)B.隈0,2近)

C.(-00,0)1(0,2立)D.(-00,0)(2屁+oo)

【答案】D

【分析】由g(0)=0,结合已知，将问题转化为丫=1"-2|与6(x)=曾有3个不同交点，分％=0,%<0,%>0

|x|

三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意至Ug(O)=O,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I履-2|=皆恰有3个实根

\x\

即可，

令〃。)=誓，即y=|履-2|与人《=誓的图象有3个不同交点.

\x\|x|

Ed7/、/W[JX>0

因为〃(x)=(y=

凶[1,x<0

/Yr)

当A=0时，此时y=2,如图1,y=2与爪x)=F一有1个不同交点，不满足题意;

\x\

当Z<0时，如图2,此时y=l丘-21与〃(幻=誓恒有3个不同交点，满足题意；

|x|

当X>0时，如图3,当丫=依-2与)♦=/相切时，联立方程得/一船+2=0,

令A=0得二_8=0,解得％=2应(负值舍去)，所以k>2立.

综上，％的取值范围为(-oo,0)(272,+00).

图1图2

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

题型一作函数的图像

至策略方法作函数图象的两种常用方法

当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉

的基本函数时，就可根据这些函数的特征

直接法描出图象的关键点，进而直接作出图象.含

绝对值的函数，可去掉绝对值，转化为分段

函数

若函数图象可由某个基本函数的图象经过

图象

平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象

变换法

变换作出，但要注意变换顺序

【典例1］已知/（》）=尸_2"

4

3

2

-4-3-2-101234x

-1

-2

-3

-4

（1）画函数y=f（x）的图象；

（2）若直线V=a与y=f（x）的图象有4个不同的交点，求实数〃的取值范围以及所有交点横坐标之和.

【答案】（1）图象见解析；（2）0<«<1；4.

x2-2x,x>2^x<0

【分析】（1）由题得函数/（x）=[7+2工。。<2'再画图;

（2）利用数形结合分析得。的取值范围，再利用对称性求出所有交点横坐标之和.

【详解】

二函数的图象如图所示

(1)由题得函数/(幻=

(2)当x=l时，/(%)=1.

因为直线与y=/(x)的图象有4个不同的交点,

所以0<”1.

设四个交点依次为A3,C,

所以=2,4+%=2,，4+/+/+%=4.

所以所有交点横坐标之和为4.

【点睛】本题主要考查函数的图象的画法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

【题型训练】

一、解答题

1.(1)画函数〃x)=,-2x|的图象，并写出单调增区间；

(2)函数尸(x)=/(x)-。有两个零点，求〃的取值范围.

【答案】(1)图象见解析，增区间为(0,1),(2,+8)；(2)a>l或a=0.

【解析】(D利用函数图象的翻折变换可得〃x)的图象，根据图象可得其增区间.

(2)考虑直线V=a与y=/(x)的图象有两个交点即可得到a的取值范围.

【详解】⑴/(洋=|r-2耳的图象如图所示:

由图象可知：函数的增区间为（0,1）,（2,+8）.

（2）因为函数尸（力=/（力-。有两个零点，故直线y与y=的图象有两个交点,

故a>1或a=0.

2.画函数图象：y=x2-2\^-\.

【答案】答案见解析.

【分析】判断函数的奇偶性，先利用描点法作出+8）上函数的图象，再利用对称关系作出（,,（））的图象.

【详解】因为八—x)=(-X)2—2|—x|—1=/一2国一1=/(x),

所以函数为偶函数，

当x'O时，y=x2-2x-l=（x-l）2-2,

x，）'的对应值表如下

X0123・・・

y-i-2-12・・・

描点后用平滑曲线连接可得2,”）上函数的图象，再将其关于y轴对称画出（3,0）上的图象，从而可得函

X

3.画函数图象/*)=

1+国

【答案】见解析.

【分析】利用图象变换法作出函数图象.

~^,x>0

无

【详解】由题可知〃”=可1+X

X八

---,x<0

1-x

Y||

当xNO时，y=-L-=l--J-,其图象可由)，=-■!•的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位而得

1+xi+xX

如图(").

又因为小RJ(r)=7#丁一血二一十)，

所以f(x)为奇函数，所以f(x)图象关于原点对称.

/(X)的图象如图").

题型二函数图像的辨识

畲策略方法辨析函数图象的入手点

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

⑶从函数的特征点，排除不合要求的图象.

(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.

(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复.

【典例1］如图，函数/(力=啖言在区间-2,2］上的图象大致为()

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性及值域分析即可.

【详解】由题意〃司=黑7=/（-切+人力=:笔+黑7=0,

即〃X）为奇函数，可排除C项,

而e*+e->2八）0，=2,当且仅当e*=e-，即x=0时，取等号,

且sinxe[-l』nxw[0,2]时，04粤可排除B、D选项,

e+e

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数〃x）=的部分图像大

【分析】根据函数的奇偶性以及x>0时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.

【详解】因为〃­）=」式=-"X），又函数的定义域为｛小工0｝，故为奇函数，排除AC；

2―2X

根据指数函数的性质，y=2'在R上单调递增，当x＞0时，-x,故2，＞2一3则/（可＞0,排除D.

故选：B

xx

e4-e-

2.（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数”》）=画司的大致图象是（）

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性证明函数f（x）为偶函数；分别求出/g）＜0,/（2）＞0,利用排除法，结合选项即

可求解.

【详解】函数/（x）的定义域为{x|xw±l},关于原点对称,

-X.X

f(-X)=―r-j----=/(X),

10(|x|-l)

则函数/（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；

£」

[e2+e2e2+g-2

又f（R=-j一＜0,/（2）=——＞0,故排除AB,D符合题意.

210（^-1）

故选：D.

3.（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数TV）的部分图象如图所示，则它的解析式可能

是（）

B・〃加总

C.f（x）=excosxD./(x)=exsinx

【答案】D

【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.

【详解】由图象可知，函数f（X）的定义域为R.

A：〃x）=W，函数/（x）的定义域为{RxwEMeZ},所以A不符题意；

B：/（》）=工，函数/*）的定义域为所以B不符题意；

COSXI2J

C；当Ovxv兀时，/（x）=eA-cosx,则尸（x）=e*-cosx-ev-sinx=ev（cosx-sinx）,

当o＜x＜：时，ru）＞o,当兀时，r（x）＜o,

44

所以〃X）在（0,；）上递增，在俘兀）上递减，所以是函数的极大值，

结合图形，不是极大值，故C不符题意；

D：当0<xv兀时，f(x)=e*-sinx,

则f'(x)=excosx+e'•sinx=e”(cosx+sinx),

当0＜x＜与时，/V）＞（）,当今＜工＜冗时，/V）＜0,

44

所以〃X）在（0,?］上递增，在（1,兀）上递减，结合图形，D符合题意;

故选：D.

4.（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）函数V=x（sinx-sin2x）的部分图象大致为（）

A.

【答案】c

【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD,即可.

【详解】由y=/(x)=x(sinx-sin2x),

得/(-%)=-x[sin(-x)-sin(-2x)J=-x(-sinx+sin2x)=/(%),

所以/(x)为偶函数，故排除BD.

当V时，y=f(j)=l(sing-sinji)=,>o,排除A.

故选：C.

5.(2023年全国卷(老教材)文科数学预测卷)函数/(%)=处曰在区间(-1,0)U(0,l)上的大致图象为

【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据xe(O,l)和xe(-l,0)两个区间上函数值的正

负即可判断出函数图象.

【详解】因为/(一)」，一'3一"=_/(力,且x«—l,0)U(0,l),所以函数f(x)为奇函数，故

排除A,B.

当xe(O,l)时，0<|x2-l|<l,ln|x2-l|<0,%3>0,所以/(x)<0;

当x«-l,0)时,0<|x2-l|<l,ln|x2-l|<0,d<0,所以/(x)>0.故排除D.

故选：C.

【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.

【详解】因为/(x)=三_*=--X：=£,易知〃x)的定义域为R.

l+xz\+x1+厂

因为〃-X)=(=:;2"=一缶？=-/(X)，所以/(X)为奇函数，

图象关的原点对称.排除A,D选项;

〃2)=白|>°'所以排除0选项.

故选：B.

函数〃加哈的大致图像为<

)

【分析】结合函数的定义域，零点，x>0时函数值的符号进行判断.

［详解］由/(力=("+?’?2知,/(_1)=0,排除c选项；

x=0函数没有定义，排除B；

x>0时，x>-x,根据指数函数的单调性可知，2工>2一3

又2弧度是第二象限角，故sin2>0,于是x>0时，/U)>0,排除D.

X~-X.1+X

8.(重庆市2023届普高三模拟调研(三)数学试题)函数/(》)=-：----rln的图象大致为()

1-X

【答案】A

【分析】先求得f(x)的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD,最后利用特值法排除选

项B,进而得到正确选项A.

【详解】由产>0,可得则“力定义域为(-U),

1—X

\-x\-x1+x

/(T)=_(r)ln=x\n=-xln=/(x)，

1+x1+xl-x

则r（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；

又=T=-；ln3<0,则排除选项B,正确选项为A.

<2>

故选：A

9.（安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题）函数“X）J.》卜厂+2在区间

sinx

（F,0）U（0,兀）的图像大致为（）

【答案】B

【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除c、D；观察A、B两项，发现图像在

x=l处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值x=l代入导函数中判断即可.

【详解】因为/（-）=WT->r?+2=」川*卜-+2=_.幻,所以〃力是奇函数，排除C、D两项;

则=*-**cosx,

inxx2

当xe(O,7t)时，f(x\=Zt.

sinx

sinxsinx

所以小）=^r磊8sl熹+鬻）他

所以“X）在x=l处的切线斜率为负数，故排除A项;

故选：B.

10.（河北省2023届高三模拟（一）数学试题）已知函数〃x）的部分图象如图所示，则“X）的解析式可能

B./(X)=(X-1)COS7LV

C./(x)=(x-l)sin7uD.=-lx1+x-\

【答案】B

【分析】由图象得〃0）工0故排除AC选项；对D选项根据极值点个数排除；分析B项满足.

【详解】对于A选项，/（0）=0,A选项错误;

对于C选项，/（0）=0,C选项错误；

对于D选项，r（x）=3x2-4A-+l,/'（x）=0有两个不等的实根，故/（力有两个极值点，D选项错误.

对于B选项，/（X）=（X-1）COS7U,/（0）<0；

当时，cos7tr>0,x-l<0,此时/（x）<0,

当时，cos7tr<0,x-l<0,此时/（x）>0,

当eZ时，cosnx<0,x-l>0,此时/（x）<0,

依次类推可知/（x）函数值有正有负；

显然f（x）不单调；

因为当x=g+时/'（xHO,所以有多个零点；

因为/（2）=1,〃-2）=-3,所以“2）工〃—2）J（2）W—4-2）,所以〃x）既不是奇函数也不是偶函数，以

上均符合，故B正确.

故选：B.

【分析】根据奇偶性，可排除AC,由/(0)=sin2>0,可排除B,从而可选出答案.

【详解】函数“X)的定义域为R,定义域关于原点对称，

且/(-x)=sin(e-'+e')=/(x),

故函数为R上的偶函数，其图象关于了轴对称，可排除AC；

〃0)=sin(e°+e°)=sin2,因为2«0,兀)，所以/(0)=sin2>0,可排除B,

只有D选项符合以上信息.

故选：D.

题型三函数图像的应用

畲策略方法1.利用函数图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象

(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图

象，再结合图象求解.

2.利用函数图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程/(x)=0的根就是“X)的图

象与X轴交点的横坐标，方程/(x)=g(x)的根是函数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点的横坐标.

【典例1】定义在R上的函数/(x)满足〃x+2)=g〃x),且当了€[0,1]时，/(l-x)=/(x)；当xe[0,2]

时，/(2-x)=-/(x)；当xe0,1时，/(力=16*-1.若对都有则加的取值范围

是.

【答案】/«>5-llog23

【分析】根据已知可得出函数在区间［05以及区间［0,2］上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设

A,，)，以及X”|,5.进而根据已知条件，推出函数“X)在1,5内的解析式，进而求解〃力=；即

可得出％的值，进而得出团的取值范围.

【详解】由当x«0,l］时，/(1-x)=/(%),可得〃x)的图象在该区间内关于直线x=；对称；

由当XG［0,2］时，〃2-x)=-/(x),可得〃x)的图象在该区间内关于点(1,0)对称.

结合已知条件，作出函数/(x)的部分图象如下图

由图象可设且x>x0时，都有〃x)</(xo)=g,且1.5.

设*41,则041-x],/(l-x)=16'-x-l.

因为，当时，=所以〃x)=/(l-x)=16i-l,|<x<l.

-o-ir1-i

当-,5时，x-4e-,1,所以〃x-4)=16zHl=

又函数〃x)满足〃x+2)=g〃x),

所以,/(x-4)=2/(x-2)=4/(x),

所以，〃力=正辿=叱二.

v44

令〃力=也二1='解得x=5-：log,3,即A(5-；log23=

424142

所以，//2＞5--log23.

故答案为：＞5——log23

2

【典例2】对任意xeR,恒有/(l—x)=/(x+l)=〃x—l),对任意0,|;/(sin0)=cos0,现已知函

数y=/(x)的图像与丫=丘有4个不同的公共点，则正实数女的值为.

【答案】8-2小

【分析】由共0卷,/(sin0)=cos20,得“X)=1—X2(OVX41),由已知条件可得函数〃x)的图像的对称

性和周期性，可作出函数“X)的图像，由题意卜="仪＞0)的图像函数》=/(可在［3,5］上的图像相切，联

立方程组利用判别式求解.

【详解】0,-,sin［0,1］,/(sin＜9)=cos20=l-sin20,

☆x=sin。，则有/(x)=l-x2(04x41),

任意xeR,ta＜/(l-x)=/(x+l)=/(x-l),则函数〃x)的图像关于x=l对称，函数/(x)是以2为周

期的周期函数,

在同一直角坐标系下作出函数丁=〃力与丁=去伏＞())的图像，如图所示,

函数y=/(x)的图像与尸入有4个不同的公共点，由图像可知，了=依仕＞0)的图像函数丁=/(力在［3,5］

上的图像相切,

△=("8)2-60=0

j=l-(x-4),消去y得d+(08)x+15=0,则<

由-k-S，解得k=8-2岳.

y=kx3<-----<5

2

故答案为：8-2而

【点睛】方法点睛:

函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)・f(b)V0,还必须结合

函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

【题型训练】

一、单选题

1.（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题）已知当xe（0，£|

时，函数/（x）=log〃（Yf+log/）的图象恒在x轴下方，则。的取值范围是（）

A.悍B.0,当D.（0,1）

【答案】A

【分析】依题意/（》）=1暇（-^+地““<0对任意》｛0,£|恒成立，转化为log〃x>4x2+l,xe（0,£|恒

成立，利用数形结合法求解.

【详解】因为函数/（耳=1呜（=1/+1呜力的图象恒在》轴下方，

所以f（x）=log„（-4x2+log„x）<0对任意xe（0,2恒成立，

又0<”1时，可得MW+log.尤>1对任意恒成立，

即log„x>4x2+l,xe（0,g）恒成立，

在同一坐标系中作出函数y=10g〃X,y=4x?+l的图象，如图所示:

解得且，又所以立4“<1,

22

故选：A

2.(重庆市第八中学2023届高三上学期高考适应性月考(四)数学试题)已知函数=

[1-e,x>0

若"(x)|-ax..O,则实数〃的取值范围是()

A.(-oo,UB.(-oo,0]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】D

【分析】转化为"|/(x)|的图象在尸"图象的上方，画出|/(x)卜。的图象，数形结合得到

Ie—1,x>(J

«>0,再求出Mx)=e'-1在x=0的切线的斜率，得到从而得到实数。的取值范围.

【详解】|/(x)|-依"在R上恒成立0|f(x)仁以在R上恒成立oy=|f("的图象在y="图象的上方,

其中必卜的:片°，

画出=臂。与y=ax的图象，如下：

要想在(0,()]上恒成立，贝！JaNO；

令〃(x)=e'-l,贝！]〃(x)=e',/?,(O)=e°=l,

若"ar为秋x)=e'_l在x=0的切线，则a=l,

故要想入(x)Nav在(0,也)恒成立，贝

综上：0<a<l.

故选：D

2W+l,x<0

3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=<若关于x的方程f2(x)+6m=(m+V2)/(x)

|log2x|,x>0

恰有5个不同的实根，则>n的取值范围为()

A.(0,1)B.(l,+oo)C.[1,2)D.[2,-KO)

【答案】D

【分析】根据所给方程，求出/(x)=&ja)=，〃，根据关于X的方程恰有5个不同的实根，借助于图像可

知加的取值范围.

【详解】严(x)+"〃=(〃?+&)/(x),

r(6-(/"+&)/(乂)+血〃7=o,

；./(无)=0或/(X)="?.

作出函数/*)的图像如图所示,

由图知/(X)的图像与y=j2有两个交点,

若关于x的方程产")+&机=(a+0)〃可恰有5个不同的实根，则Ax)的图像与丁="有三个公共点,

所以机的取值范围[2,”).

故选：D.

4.(江西省赣州市2023届高三二模数学(文)试题)定义在R上的偶函数f(x)满足/(2-力=〃2+”,

ex-}()<r<1

且外力=1-2_4-7，关于X的不等式的整数解有且只有7个，则实数机的取值范围为

e-1e-1

B.

【答案】A

【分析】分析可知函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且该函数为周期函数，周期为4,根据题意可知不

等式f(x)2同x|在(0,+8)上有且只有3个整数解，数形结合可得出关于实数掰的不等式组，即可得解.

【详解】因为定义在R上的偶函数满足/(2-x)=〃2+x),

所以，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，

贝]/(x+2)=/(2—x)=/(x—2),即函数/(x)为周期函数，且周期为4,

令g(x)=，H4该函数的定义域为R,则g(-x)=Mr|=?nW=g(x)，即函数g(x)为偶函数，

因为f(x)=，：二<2，则/(°)=°=g⑼，即x=0满足mW，

又因为不等式/(x)>加可有7个整数解，

所以，不等式“X”，巾|在(0,+8)上有且只有3个整数解，如下图所示：

5.(2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(三))已知函数/(x)=lnx-4(V—/),若不等式

f(x)>0有3个整数解，则实数〃的取值范围为()

rin5ln2)「ln5In2)

A-1100,^J，五J

「In31n2、「In31n2

C-D-[TF'V

【答案】A

【分析】根据题意将不等式等价转化为g(x)=^>“(x-l)有3个整数解.利用导数研究函数的性质并画

出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可.

【详解】函数f(x)的定义域为(0,+8).

由f(x)>0,得耍。(x—1),则不等式竿>a(x-l)有3个整数解.

设g(x)=等，贝心'(力=上等，

当*€仅,右)时，g，(x)>o,g(x)单调递增，

当X€(6,+00)时，g，(x)<o,g(x)单调递减，

又g⑴=0,所以当0cxV1时,g（x）<0,当X>1时，g（x）>0,

易知y=a(x—l)(x>0)的图象恒过点(1,0),

（4-l）a<g（4）In5In2

则解得一SQ<—,故选：A.

（5-l）a>g（5）10024

已知函数〃/、)、=[一*x~_+43_,%叱<0,>。的图象上恰有3对关于原点成中

6.(2023春・贵州•高三校联考阶段练习)

心对称的点，则实数。的取值范围是()

【答案】c

【详解】问题转化为方程：4卜一4-a=f-3有三个大于0的根,

即等价于s(x)=4\x-a\-a^g(x)=f-3在x>0上有三个交点，如图所示,

显然，当。《0时，不符合题意.

-4x+36Z,0<X<6Z,

当。>0时,5（x）=4|x-«|-a=

4x-5a,x>。，

只需满足s（a）<g（〃）且方程：4x—5a=x2—3（x>a）有两根,

-a<a2-3,713-17

贝!I有V=>------<a<—

△=（T9）--4（5a-3）>025

a<2

令加%）=炉_41+5。-3,函数开口向上，对称轴x=2,要使函数〃⑴两零点均大于。，则有卜⑷>0,解

力（2）<0

得恒二1<4<］，满足两根均大于。，

25

所以实数。的取值范围是（粤口，令，

故选：C.

7"3.江西・南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知公R,函数xi+S,

若关于x的方程/（g（x））=/l有6个解，则2的取值范围为（）

A-'{IB.（o，|）C.（；/）D.仁,|）

【答案】B

【分析】数形结合法，令g（x）=，，可得方程/⑺=4的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实

数根，利用判别式求解2的范围.

【详解】令g（x）=「，则方程1（0=。的解有3个,

由图象可得，且三个解分别为4=-1-A，2=-1+4，3=10'，

贝！Jx?-4x+l+24=-1-4,%2—4x4-14-2A=-14-A>f—4x+1+24=10",

均有两个不相等的实根，

贝iJ4>o,且4>。，且A,〉。，

2

gp16-4(2+32)>0K16-4(2+2)>0,解得0<4<±,

3

>

当时，A3=16-4(l+2A-10^=4(3-2A+10),

245

因为0<4<；,所以一；<一2%<。，所以「<3-2%<3,且10">0,

所以3-24+1(/>0,即恒成立，

故2的取值范围为(0,|).

故选:B.

|工2+冗|犬K0

8.(2023•天津红桥•统考一模)函数“外=।I'一，关于1的方程/a)-〃(x+D=0有2个不相等的

ln(x+l),x>0

实数根，则实数”的取值范围是()

A.ju{0}B,卜叫-]51,e)3°}

C.D.(y,0]u(l,e)

【答案】A

【分析】把函数fM-a(x+1)=0有2个不相等的实数根转化为以y=/(力和y=〃(x+1)的图象有两个交点,

作出图象求解即可.

【详解】因为函数，(x)-a(x+l)=0有2个不相等的实数根，

所以y="X)和y=a(x+1)的图象有两个交点.

lx2+x|,x<0

作出函数，。)=।1的图象如图所示：

ln(x+l),x>0

当xW-l时，/(x)=x2+x,/r(x)=2x+l,/z(-l)=-l,

要使函数丁=/(耳和y=。(％+1)的图象有两个交点，贝!jav-l,

r—

当_]<x<0,f(x)=-x~—x9f'(x)=—2x-1,y(1)=2—1=1,

当x>0时，/(x)=ln(x+l),过点(TO)与曲线的切点为(，几+

ln(W+1

r(x)=一),可得：—=h所以m=e—1,

x+\m+1w+1

所以切线斜率为k=~,要使函数y=/(X)和y=〃(x+1)的图象有两个交点,

e

由图可得aeg』)，

当a=O时，关于x的方程/(x)-a(x+1)=0有2个不相等的实数根.

故选：A.

log,x(0<x<2)

9.(2023•陕西宝鸡•校考模拟预测)己知函数〃力=5,若关于x的方程〃司="-2有

-尤?+8x_15(x22)

三个互不相等的实根，则实数%的取值范围是()

A.B.(g,-2旧+8)

C.2\/13+8,ljD.

【答案】B

【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.

【详解】作出函数/(x)的图象如下图所示，直线y=a-2恒过点(o,-2),

当y=H-2过点(2,-1)时，解得"=；,此时直线y=H-2与“X)有两个交点，故关于x的方程

/(引=履-2有两个互不相等的实根;

将y=fcr-2代入y=-f+8x_i5得/+（%—8）x+13=0,当xN2时，直线与抛物线只有一个交点，则

△=（々-8）2-52=0,解得々=8-2万或4=8+2加，

当k=8+2万时，解得x=-而，不满足X22,贝!|应舍去，即后=8-2万,

所以实数k的取值范围是（；,-2至+8）.

10.(山东省青岛市即墨区2022-2023学年高三下学期教学质量检测数学试题)函数/(x)的定义域为R,满

足〃x)=2/(x—1),且当xe(O,l]时，〃x)=x(l—x).若对任意同，都有则加的最大

值是()

11c14-32-41

A.—B.—C.D.—

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