第13章-时间序列分析和预测

第13章时间序列分析和预测13.1

时间序列分析的基本问题13.2时间序列的水平分析13.3时间序列的速度分析13.4时间序列的趋势分析和预测13.5复合型序列的分解3/22/20241学习目标掌握时间序列概念及编制原则掌握时间序列水平分析的方法掌握时间序列速度分析的方法4.

掌握平稳序列的平滑和预测方法5.

掌握有趋势序列的的分析和预测方法6. 了解复合型序列的综合分析方法3/22/2024213.1

时间序列分析的基本问题时间序列的概念时间序列的编制原则时间序列的分类3/22/20243一、时间序列

(timesseries)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列，称为时间序列（或时间数列）2. 由时间和数值两部分组成年份、季度、月份或其他任何时间形式描述社会经济现象的发展状态、趋势和结果；掌握发展变化规律性；对发展方向和速度进行预测。3/22/20244二、时间序列的编制原则

保证各期指标数值的可比性，是编制时间序列的基本原则。具体是：１、时间长短应尽量统一。时期数列中，指标值的大小与时间长短有直接的关系２、总体范围应一致。如：行政区划、隶属关系３、计算口径应统一。计算方法、计量单位等，如：劳动生产率可按实物量或价值量计算。４、指标涵义和经济内容应一致。如：国土法国民收入和国民法国民收入。3/22/20245时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列三、时间序列的分类3/22/20246时间序列的分类绝对数时间序列一系列总量指标按时间顺序排列而成反映现象在不同时间上所达到的绝对水平按总量指标反映的时间状态不同，分为：时期序列：现象在一段时期内总量的排序时点序列：现象在某一时点上总量的排序2.相对数时间序列一系列相对数指标按时间顺序排列而成3.平均数时间序列一系列平均数指标按时间顺序排列而成3/22/20247时间序列的分类表13-1国内生产总值等时间序列年

份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)城镇居民家庭人均可支配收入（元）城镇居民家庭恩格尔系数(%)1996199719981999200020012002200320042005200671176.678973.084402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.81598713.3183867.9210871.01223891236261247611257861267431276271284531292271299881307561314484838.95160.35425.15854.06280.06859.67702.88472.29421.610493.011759.548.846.644.742.139.4313.237.737.137.736.735.83/22/2024813.2时间序列的水平分析发展水平与平均发展水平增长量与平均增长量3/22/20249一、发展水平与平均发展水平3/22/202410（一）发展水平

发展水平：现象在不同时间上的观察值说明现象在某一时间上所达到的水平时间表示为t1，t2，…，tn

，相应的观察值表示为Y1，Y2，…，Yn根据各观察值在时间序列中的位置，可分为：最初发展水平——时间序列中第一项指标值Ｙ１最末发展水平——时间序列中最末一项指标值Ｙn基期水平——作为比较基础时期的指标值Ｙ0报告期水平——所要分析的那个时期的指标值Ｙi3/22/202411（二）平均发展水平

平均发展水平现象在不同时间上取值的平均数，又称序时平均数说明现象在一段时期内所达到的一般水平3/22/202412时间序列的序时平均数

时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列连续时点间断时点间隔相等间隔不等间隔相等间隔不等3/22/202413１、绝对数序列的序时平均数

（时期序列计算方法）计算公式：【例1】

根据表13-1中的国内生产总值序列，计算1996-2006年的年平均国内生产总值

（1）时期序列3/22/202414１、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）

（2）时点序列①连续时点序列：每天都登记a.间隔相等的连续时点：简单算术平均3/22/202415１、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）【例2】

某企业一月份上旬每天人数为：405、405、408、408、408、407、409、410、410、410，则上旬平均每天人数为：3/22/202416１、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）b.间隔不等的连续时点：加权算术平均3/22/202417１、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）【例3】某企业6月份职工人数如下，求6月份的日平均人数日期6.1～6.86.9～6.136.14～6.246.25～6.30人数

1200

1240

1220

12303/22/202418１、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）②间断时点序列：间隔在一天以上的时点序列a.间隔不等的间断时点序列Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-13/22/2024191、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）

计算步骤计算出两个时点值之间的平均数

用相隔的时期长度(Ti)加权计算总的平均数3/22/2024201、绝对数序列的序时平均数

（时点序列实例）表13-2某种股票2007年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例4】设某种股票2007年各统计时点的收盘价如表13-2，计算该股票2007年的年平均价格3/22/2024211、绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）当间隔相等(T1=T2=…=Tn-1)时，有b.间隔相等的间断时点序列Y1Y2Y3YnYn-1T1T2Tn-13/22/2024221、绝对数序列的序时平均数

（时点序列实例）日期6月末7月末8月末9月末人数136142140152【例5】

已知某企业2008年6月至9月各月末职工人数如下，试计算第三季度平均人数。

3/22/202423

2、相对数序列和平均数序列

的序时平均数先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母bi的平均数再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数基本公式为3/22/202424

相对数序列的序时平均数

（计算方法与实例）【例6】某公司一季度各月流动资金周转次数如下表，试计算该公司第一季度月平均流动资金周转次数。3/22/202425二、增长量和平均增长量3/22/202426（二）增长量和平均增长量

1、增长量（概念要点）⑴

报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量。⑵有逐期增长量与累积增长量之分逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Yi-1(i=1,2,…,n)累积增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算形式为：Δi=Yi-YO(i=1,2,…,n)3/22/202427逐期增长量与累积增长量

（关系）⑴各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量

∑(Yi-Yi-1)=Yn-Y0⑵相邻两组累积增长量之差等于相应的逐期增长量

(Yi-Y0)-(Yi-1-Y0)=Yi-Yi-13/22/2024282、平均增长量

（概念要点）⑴观察期内各逐期增长量的平均数⑵

描述现象在观察期内平均增长的数量⑶计算公式为：3/22/202429

增长量的计算方法与实例【例7】根据表13-4数据。计算2001~2005年间，我国国内生产总值的逐期增长量、累积增长量和平均增长量表13-42001~2005年我国国内生产总值完成情况年

份20012002200320042005国内生产总值(亿元)

逐期增长量累积增长量

109655----12033310678106781358231549026168159878240555022318308523207734303/22/20243013.3时间序列的速度分析一、发展速度和增长速度

二、平均发展速度与平均增长速度

3/22/202431一、发展速度和增长速度3/22/2024321、发展速度

（要点）报告期水平与基期水平之比说明现象在观察期内相对的发展变化程度有环比发展速度与定基发展速度之分3/22/202433环比发展速度与定基发展速度

（要点）环比发展速度报告期水平与前一期水平之比定基发展速度报告期水平与某一固定时期水平之比3/22/202434环比发展速度与定基发展速度

（关系）定基发展速度等于各环比发展速度的连乘积两个相邻时期的定基发展速度之比，等于相应时期的环比发展速度3/22/2024352、增长率

(growthrate)也称增长速度。报告期观察值与基期观察值之比减1，用%表示可分为：环比增长率和定基增长率3/22/202436环比增长率与定基增长率环比增长率报告期水平与前一期水平之比减1定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减13/22/202437环比增长率与定基增长率关系所以:Π（环比增长速度+1）=定基增长速度+1因为:3/22/202438发展速度与增长速度的计算

（实例）表13-5我国国内生产总值速度计算表年

份20012002200320042005国内生产总值(亿元)109655120333135823159878183085发展速度(%)环比定基

—100109.7109.7112.9123.9117.7145.8114.5167.0增长速度(%)环比定基

——9.79.712.923.917.745.814.567.0【例8】

根据表13-5国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以2001年为基期的定基发展速度和增长速度

3/22/202439二、平均发展速度与平均增长速度3/22/202440（一）平均发展速度

（要点）观察期内各环比发展速度的平均数说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度通常采用几何法(水平法)计算计算公式为:3/22/202441平均发展速度

（算例）表13-5我国国内生产总值发展水平表年

份20012002200320042005国内生产总值(亿元)109655120333135823159878183085环比发展速度(%)—109.7112.9117.7114.5【例9】

根据表中数据，计算2002～2005年间我国国内生产总值的年平均发展速度3/22/202442（二）平均增长速度

(averagerateofincrease)描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度，也称为平均增长率。平均增长速度=平均发展速度-1计算公式为3/22/202443（三）增长率（速度）分析中应注意的问题正确选择基期总平均速度与分段平均速度相结合避免速度指标的误用、滥用。当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率。例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在某些情况下，要注意增长速度与绝对水平的结合分析3/22/202444增长率分析中应注意的问题

(例题分析)甲、乙两个企业的有关资料年

份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2005500—60—2006600208440【例11】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表3/22/202445增长率分析中应注意的问题

(增长1%绝对值)

增长率每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补增长率分析中的局限性计算公式为甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元3/22/20244613.4时间序列的趋势分析时间序列的构成要素和模型线性趋势的分析与预测非线性趋势的分析与预测3/22/202447一、时间序列的构成要素及模型3/22/202448（一）时间序列的构成要素1.趋势(trend)

也称长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的趋势或规律2.季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonalfluctuation)现象在一年内随着季节的更换而引起的有规律变动3.周期性(cyclity)也称循环波动(Cyclicalfluctuation)从低至高再从高至低的周而复始的变动4.随机性(random)也称不规则波动(Irregularvariations)偶然性因素对时间序列产生影响3/22/202449含有不同成分的时间序列平稳季节趋势季节与趋势3/22/202450（二）时间序列的模型时间序列的构成要素长期趋势(T)季节变动(S)

循环波动(C)不规则波动(I)时间序列的分解模型乘法模型：Yi=T

i×Si×C

i×Ii加法模型：Y

i=T

i+S

i+C

i+I

i混合模型：Y

=T

·S

+I

或Y

=S

+T

·C

·I

3/22/202451时间序列的构成要素与测定方法线性趋势构成要素与测定方法

循环变动季节变动长期趋势剩余法移动平均法指数平滑法线性模型法不规则变动非线性趋势

趋势剔除法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线3/22/202452二、线性趋势分析和预测3/22/202453线性趋势

(lineartrend)现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律由影响时间序列的基本因素作用形成测定方法主要有：移动平均法、指数平滑法、线性模型法等3/22/202454（一）移动平均法3/22/202455移动平均法

(movingaverage)通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，求得一系列移动平均数，形成新的时间序列。对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。

3/22/202456移动平均法

(movingaverage)设观测的时间序列为y1,y2……yn设移动间隔为

k(1<k<n)，则k期的移动平均值为3/22/202457移动平均法

(例题分析)【例12】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3、k=4和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值，对原时间序列进行修匀，并绘制成图形进行比较。3/22/202458移动平均法

(例题分析)

3/22/202459移动平均法3/22/202460移动平均法

(应注意的问题)1、用移动平均法对原时间序列修匀，修匀程度的大小，与移动间隔的长度有关。

2、移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均3/22/202461移动平均法

(应注意的问题)3、移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置，新数列比原数列项数减少。

奇数项时间序列,一次移动即得趋势值。新数列项数＝原数列项数－移动平均项数＋1偶数项时间序列，需要进行“中心化”,即二次移动平均（移正平均）新数列项数＝原数列项数－移动平均项数3/22/202462利用移动平均法预测将最近k期数据加以平均作为下一期的预测值

设移动间隔为

K(1<k<t)，则

t+1期的移动平均预测值为预测误差用均方误差(MSE)

来衡量误差平方函数“=SUMXMY2(yt,Ft)”3/22/202463利用移动平均法预测

(例题分析)【例13】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较3/22/202464利用移动平均法预测

(例题分析)

3/22/202465简单移动平均法3/22/202466（二）指数平滑法3/22/202467指数平滑法

(exponentialsmoothing)用过去时间数列值加权平均数作为预测值观察值离预测时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等指数平滑法可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势

3/22/202468一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与实际值的线性组合作为t+1期的预测值，其预测模型为

Yt为t期的实际值

Ft为t期的预测值

为平滑系数(0<<1)3/22/202469一次指数平滑设F1=Y1第2期的预测值为第3、4期的预测值为3/22/202470一次指数平滑

(预测误差)Ft+1是t期的预测值Ft加上用

调整的t期的预测误差(Yt-Ft)预测精度，用误差均方来衡量3/22/202471一次指数平滑

(

的确定)不同的

会对预测结果产生不同的影响当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的

，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择

时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小可选择几个

进行预测，找出预测误差最小的

值3/22/202472一次指数平滑

(例题分析)用Excel进行指数平滑预测第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】选项，选择【指数平滑】，然后确定第3步：当对话框出现时

在【输入区域】中输入数据区域

在【阻尼系数】（注意：阻尼系数=1-

）输入值

选择【确定】【例14】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数

，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较3/22/202473一次指数平滑

(例题分析)3/22/202474一次指数平滑

(例题分析)3/22/202475

（三）线性模型法3/22/202476线性模型法

(线性趋势方程)

线性方程的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时趋势值的平均变动数量3/22/202477线性模型法

(a和b的最小二乘估计)

趋势方程中的两个未知常数a和b按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线3/22/202478线性模型法

(a和b的求解方程)2.根据最小二乘法得到求解a和b

的标准方程为解得：3/22/202479线性模型法

(预测误差)1.根据趋势方程计算出各个时期的趋势值预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中未知常数的个数

3/22/202480线性模型法

(例题分析)【例15】根据人均GDP数据，根据最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的人均GDP，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

线性趋势方程：估计标准误差：3.2005年人均GDP的预测值3/22/202481线性模型法

(例题分析)3/22/202482三、非线性趋势分析和预测（略）3/22/202483（一）二次曲线

(SecondDegreeCurve)现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为a、b、c为未知常数根据最小二乘法求得3/22/202484二次曲线

(SecondDegreeCurve)1.根据最小二乘法得到求解

a、b、c的标准方程为：2.取时间序列的中间时期为原点时，有

t=0，则公式简化为：3/22/202485二次曲线

(例题分析)

【例16】根据金属切削机床产量数据，确定二次曲线方程，计算各期的预测值和预测误差，预测2009年的产量，将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

二次曲线方程：预测的估计标准误差：

2009年轿车生产总量的预测值：

二次曲线3/22/202486二次曲线

(例题分析)3/22/202487（二）指数曲线

(exponentialcurve)用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为a、b为未知常数a：t=0时的趋势值；b：趋势值的平均发展速度若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限3/22/202488指数曲线

(a、b的求解方法)

采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为求出lga和lgb后，再取其反对数，即得算术形式的a和b

3/22/202489测定指数曲线

（LOGEST函数）方法1：在任一单元格中输入相应的函数

b的函数“=INDEX(LOGEST(y,t),1)”a的函数“=INDEX(LOGEST(y,t),2)”方法2：先选定两列五行区域，再选择函数LOGEST，完成对话框设置后，按“Ctrl+Shift+确定”组合键结束操作。含义如下

3/22/202490指数曲线

(例题分析)

【例17】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2009年的轿车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2009年轿车产量的预测值

指数曲线3/22/202491指数曲线

(例题分析)3/22/202492指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反映现象的相对发展变化程度上例中，b=1.2701表示1990—2008年轿车产量的年平均增长率为27.01%

不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度3/22/202493（三）修正指数曲线

(modifiedexponentialcurve)在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限即K＞0，a＜0，0＜b＜1时，t→∞，→K3/22/202494修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)

趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和3/22/202495修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)

根据三和法求得

设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S33/22/202496修正指数曲线

(例题分析)【例18】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

3/22/202497修正指数曲线

(例题分析)

3/22/202498修正指数曲线

(例题分析)解得K，b0

，b1

如下3/22/202499修正指数曲线

(例题分析)

新建住宅面积的修正指数曲线方程2005年的预测值预测的估计标准误差3/22/2024100修正指数曲线

(例题分析)

3/22/2024101（四）Gompertz（龚柏兹）曲线

(Gompertzcurve)以英国统计学家和数学家

B·Gompertz

而命名一般形式为描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为Y

K,下渐近线为Y=

0K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠13/22/2024102Gompertz

曲线

(求解k、a、b

的三和法)

仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lg

a、lg

K、b取

lg

a、lg

K的反对数求得a和K

令：将其改写为对数形式：则有：

3/22/2024103Gompertz

曲线

(例题分析)【例19】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

3/22/2024104Gompertz

曲线

(例题分析)3/22/2024105Gompertz

曲线

(例题分析)Gompertz

曲线计算过程3/22/2024106Gompertz

曲线

(例题分析)

新建住宅面积的Gompertz曲线方程

2005年的预测值

预测的估计标准误差3/22/2024107Gompertz

曲线

(例题分析)3/22/2024108（五）罗吉斯蒂曲线

(Logisticcurve)1838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠13/22/2024109Logistic曲线

(求解k、a、b

的三和法)

取观察值Yt的倒数Yt-1当Yt-1

很小时，可乘以

10的适当次方

a、b、K的求解方程为3/22/2024110趋势线的选择观察散点图，按以下标准选择趋势线：一次差（逐期增长量）大体相同，配合直线二次差（增长量的二次差）大体相同，配合二次曲线对数的一次差（环比增长速度）大体相同，配合指数曲线3/22/2024111趋势线的选择一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz

曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线

2.比较估计标准误差3/22/202411213.5

复合型序列的分解一.

季节性分析趋势分析周期性分析3/22/2024113一、季节性分析3/22/2024114季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现“季节”不仅是指一年四季，指任何一种周期性（通常在一年以内）的变化测定目的确定现象过去的季节变化规律，制定当前经营决策消除时间序列中的季节因素，分析其他构成因素3/22/2024115季节变动的分析原理

季节模型指一时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4个指数组成季节模型是以各指数的平均数等于100%为条件而构成的3/22/2024116季节变动的分析原理

季节指数(seasonalindex)概念：某一月份或季度的数值占全年月或季平均数值的相对数平均数等于100%月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)3.指数越远离其平均数(100%),季节变动程度越大4.计算方法有按月(季)平均法和趋势剔出法3/22/2024117（一）按月(季)平均法

(原理和步骤)

根据原时间序列通过简单平均计算季节指数假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动计算季节指数的步骤计算同月(或同季)的平均数计算全部数据的总月(总季)平均数计算季