2023-2024学年辽宁省高二年级下册期中数学模拟试题 二（含解析）

2023-2024学年辽宁省高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用g表示抽取的志愿者中

女生的人数，则随机变量g的数学期望E（J）的值是（）

153

A.—B.—C.-D.1

444

【正确答案】C

【分析】利用超几何分布的均值公式即可求出结果.

【详解】由题知J服从N=8,M=3,"=2的超几何分布，所以EC）=N"=]x2=3,

故选：C.

2.已知等比数列｛m｝的前〃项和为5,若/α3=2q,且2+4=1°，则S3等于（）

A.28B.26C.28或-12D.26或-10

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.

【详解】由卅3=2。|可得qq∙qd=2q,即α"=2,所以为=2,

又出+4=1（）,解得的=8,

所以四∙=｝=g2,即4=±2，

a242

当q=g时，4=16,4=4,所以S3=28,

当4=-；时，ɑ,=-16,α3=-4,所以S3=-12,

故选：C

3.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认

可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到

如下2x2列联表：

AB总计

认可13518

不认可71522

总计202040

“2n(ad-bc)1,.

附.K=----------------------------------,∕7=α+h+c+d

(a+b)(c+d)(α+C)S+d)

P(K2≥k)0.250.150.100.050.0250.0100.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828

根据表中的数据，下列说法中正确的是()

A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关“

【正确答案】D

【分析】计算出Kz,比较所给数据，可得结论.

【详解】由题意，根据2x2列联表中的数据，得犬=也丝”二垩爻≈6.465,

18×22×20×20

X3.841<6.465<6.635,

所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.

故选：D.

4.已知数列｛。〃｝满足4+3%+32%+∙∙∙+3"T4"=W(n∈N*),则〃“=()

A.—B.—rC.—D.—r

3"3"'13"3"t'

【正确答案】C

【分析】根据己知条件，应用作差法可得3"%”=；,进而求得数列｛《｝的通项公式，注意验证％是

否满足通项公式.

【详解】由题设，a1+3%+3*+…+3"&=§①，则4+3。2+3~%+...+3"-=—丁(〃≥2)②，

①-②得：3"τ4=g-"=g522),

所以%="(〃22)，由①知q=g也满足上式，故％V("∈N*).

故选：C.

5.设函数Mx)JA)+5

，已知/(2)=5,/'(2)=3,g⑵=2,g'(2)=l,则矶2)=()

g(x)

£

A.—2B.-1C.D.3

4

【正确答案】B

【分析】先求出函数MX)=的导函数，再代入已知条件计算〃'(2)即可.

g(χ)

[详解]由已知〃，(X)=自处钾丝回，

g«)

,人，⑵J(2)g(2)-g'(2)62)+5]6-10=]

l,gl2)4

故选：B.

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的

10位成员中使用移动支付的人数，DX=2A,P(X=4)<P(X=6),则P=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【正确答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式D(X)=np(l-p)进行计算即可.

D(X)=np(l-p)

，p=0.4或p=0.6

P(X=4)=/∕(1-0)6<P(X=6)=C»6(l-p)4,

.∙.(1-p)2CP2,可知P>0.5

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题.

(、S2na,

tiL

7.设等差数列也｝的前〃项和分别是5“，Tn,若m=而”，则消=()

6B.ɪɪ

A.一

517

C.-D.3

14

【正确答案】B

【分析】先由等差数列的前〃项和公式设出s“，τn,再按照詈=手萼直接计算即可.

【详解】由等差数列的前”项和公式满足A1+B”形式，设S,,=k"∙(2")=2加，贝IJ

S6—SS2k×36-2k×2511

T=kn∙(3∕?+7)=3kn?+7kn故优=κ÷=

n么τ5~τ43⅛×25+7⅛×5-3⅛×16-7⅛×417-

故选：B.

8.设/(x)="-∣lnx∣+2有三个不同的零点，则”的取值范围是()

A.(0,e)B.(0©)C.［代-j^)D.［代-

【正确答案】C

【分析】由/(x)=GHlnX|+2有三个不同的零点，可得or+2=∣ln∖∙∣有三个不同的零点，构造函数

yTlαr∣和y=0x+2,画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图像关系即

可求解.

【详解】如图，由/(x)=GHlnX+2有三个不同的零点，可得依+2印M有三个不同的零点，

画出函数y=∏g∣的图像，直线y=以+2过定点(0,2),

当x>l时,设过(0,2)的直线与y=Inr的切点为(XO,lnx°),

由y=ln%,得y'=L所以川『=’，故切线方程为>τ叫=；*-%),

X⅞⅞

把定点(0,2)代入得：2-l^,=-1,即x0=e3,

所以y'1,『，=5，即直线y=6+2的斜率为。=5，

由图知，当0<”4■时，y=οr+2与y=∣lav∣有三个交点，

e

所以使/(X)=⑪TIml+2有三个不同的零点的。的取值范围是(0,3).

故选：C.

二、多选题

9.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后

停止取球，则()

A.抽取2次后停止取球的概率为］B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为

9

To

C.取球次数1的期望为2D.取球3次的概率为6

【正确答案】BD

【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.

【详解】设4为取球的次数,则J可取1,2,3,故可知

Pe=I)=|,

对于A,抽取2次后停止取球的概率为：PC=2)=3X[=2,故A错误；

5410

对于B,停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：PG=I)+PG=2)=:+热=A故B正确;

33I3

E(⅞)=l×-+2×^+3×-=-,故C错误；

取球三次的概率为尸(4=3)=»>4=3，故D正确.

54310

故选:BD

10.已知数列｛《,｝的前”项和为S,,,下列说法正确的是()

A.若S“=("+1)2,则｛%｝是等差数列

B.若S,,=2"∣-2,则｛《,｝是等比数列

C.若｛4｝是等差数列,则S2,I=(2"-1)/

D.若｛叫是等比数列，则S,,,S2,,-Sn,S?,,-S?“成等比数列

【正确答案】BC

【分析】对选项A,利用特值法判断即可得到A错误，对选项B,利用5“与为的关系判断即可得到

B正确，对选项C,根据等差数列公式即可判断C正确，对选项D,利用特值法判断即可判断D.

【详解】对选项A,q=S∣=4,¾=S2-5,=9-4=5,«3=53-52=16-9=7,

2a2≠al+a3,不满足｛4,,｝是等差数列，故A错误.

对选项B,当"=1时，q=S∣=2,

n+,

当〃≥2时，all=Sll-Sn,t=2-2-(2"-2)=2",

检验：〃=1时，q=5∣=2,所以q,=2",即｛可｝是等比数列，故B正确.

对选项C,S2,1=(2〃-1)(m+%I)=2",.T)=(2〃一1应,,故C正确.

对选项D,当q=(-1)"时，｛4｝是等比数列,

52=-l+l=0,S4=-l+l-l+l=O,$6=-1+1-1+1-1+1=0,

不满足邑，Si-S2,$6-S,成等比数列,故D错误.

故选：BC.

11.已知函数f(x)的导函数为了'(X),则下列选项正确的有()

ɔ

A.若/(x)=1n(2x-1),则尸(力=4

ΔX-1

B.若/(x)=V?,则/(X)=35

c.若“力=咏，则r但)=一2

sinX∖4√

D.若/(x)=3',则/⑴=目

InJ

【正确答案】AC

【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A,B,C：根据指数函数的求导公式判断选项D.

112

【详解】对于A,令y=ln〃，μ=2x-∖,因为了=一，〃'=2,所以f'(x)=-x2=^~~

μμζZX-I

故A正确;

对于B,因为/(χ)=y^=χ3,所以r(χ)=y3,故B不正确；

对于C,因为/,⑺=(c-)'SinXySinx)'COSX=_/,所以/停一，故C正确；

7sin与sin2%14,

对于D,因为/'(x)=3'ln3,所以尸(I)=31n3,故D不正确.

故选：AC.

12.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面

上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第"关要抛掷六面

骰“次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这〃次抛掷所出现的点数之和大于2"+〃，则算闯过

第"关,"=1,2,3,4.假定每次闯关互不影响，则()

A.直接挑战第2关并过关的概率为上

,19

B.连续挑战前两关，至多过一关的概率为五

C.若直接挑战第3关，设A="三个点数之和等于15"，8=至少出现一个5点”，则P(4∣8)=∖

D.若直接挑战第4关，则过关的概率是三7

1296

【正确答案】ACD

【分析】选项AD：由题意利用分类讨论的方法，求出满足题意的基本事件数以及基本事件总数即可

求解；选项B：首先求出“=1和〃=2时过关的概率，并结合对立事件性质即可求解；选项C：首先

求出事件B和事件A8的概率，然后利用条件概率公式求解即可.

【详解】对于选项A：当〃=2时，2"+〃=6,因为抛掷2次出现的点数之和大于6的情况有21种,

从而直接挑战第2关并过关的概率为R=t2=看，故A正确；

对于选项B：当”=1时，2"+〃=3,抛掷1次出现的点数之和大于3的情况有3种，

31

从而直接挑战第1关并过关的概率为I=G=万，

17

故连续挑战前两关，至多过一关的概率为P=I-KE=五，故B错误；

对于选项C：由题意可知，抛掷3次共有6=216个基本事件，

故事件5共有6?-53=91个基本事件，所以尸(B)=W,

210

又因为事件AB共有7个基本事件：

抛掷3次，点数都为5的共1种；

抛掷3次中，仅有1次点数为5的共6种，

所以P(AB)=2，故P(AlB)=故C正确；

216r(o)IJ

对于选项D：当〃=4时，2"+”=20,基本事件总数共6=1296个，

而“点数之和大于20”等价于抛掷4次中，至少有1次点数为6,

即包含以下35种基本事件：

抛掷4次，有1次点数为6的，共有4种；

抛掷4次，有2次点数为6的，共有18种；

抛掷4次，有3次点数为6的，共有12种；

抛掷4次，有.4次点数都为6的，共有1种，

35

所以乙二B，故D正确•

1296

故选：ACD.

三、双空题

13.用数学归纳法证明"当”为正奇数时，χ"+y"能被χ+y整除”的第二步是：设k∈N",则假设”=

时正确，再推“=时正确.

【正确答案】n=2k-∖/=2%+l

【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可得到结果.

【详解】因为用数学归纳法证明：当〃为正奇数时，x"+y"能被χ+y整除，

第一步，当”=1时，x∣+y'=x+y能被x+y整除；

第二步，假设〃=2人-1,k∈N'时，命题正确，再证明"=2A+1,ZeN"时，命题正确.

故〃n=2k+∖

四、填空题

14.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核

辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.己知某产品第一轮检测不合格的概率为，，

第二轮检测不合格的概率为木，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利

40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则

P(X>-80)=.

【正确答案】考243

256

首先求某产品两轮检测合格的概率(I-W(Iq)=|,X的所有可能取值为一320,-200,-

80,40,160,然后根据二项分布求其概率，并计算P(X≥-8O).

【详解】由题意得该产品能销售的概率为11-2114)=：,易知X的所有可能取值为一320,—200,

-80,40,160,设。表示一箱产品中可以销售的件数，则E〜

所以P(X)=G∙图1{∏

所以P(X=-80)=Pe=,

P(X=40)=%=3)=U(l*'

P(Xn60)=%=4)=c:图裴，

243

故P(X>-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=—

256

本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考

题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，

独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

15.若函数y=lnx的图象在点仅2,2)处的切线也与函数y=e""的图象相切，则实数&的值为

(其中e为自然对数的底数).

【正确答案】3-e2∕-e2+3

【分析】先求导求出点(看,2)处的切线斜率，写出切线方程，再设出函数y=e^上的切点，表示出

切线方程，由两条切线对应系数相等，解方程即可.

【详解】由V=Inx得y'=:,则点(『,2)处的切线斜率为E,切线方程为>-2=5(x-e2),即

1,

y=fχ+i;

e^

由函数y=e、Y得y=e'-*,设切点为(α,e"Y),则切线斜率为e",故切线方程为y-e"*=e"Y(x-α),

e"*=ci=1~Q~

2

即y=e"Tχ-"e"Y+ei,则e,解得2,故人=3-e?.

-aea-t+ea^*=1W=3-e

故答案为.3-e?

16.已知各项都为整数的数列｛4｝中，4=2,且对于任意的“cN”,满足-α,,<2"+；,

an+2-a,l>3×2"-I,贝IJa2023=.

【正确答案】22023

【分析】根据数列递推式“用-。“<2"+；可得为+2-。.<2"+∣+g,两式相加可得<3x2"+l,

结合条件求得4-2-凡=3x2",利用累加法即可求得答案.

【详解】因为α,,M-α,,<2"+g,所以q+2-。向<2向+；,两式相加得见.2-4<3x2"+1,

又all+2-an>3×2"-l,且数列｛4,,｝各项都为整数，

所以“"+2—=3x2,又4=2,从而⅞023=(“2023ι¾)21)+(¾O2l-。2019)++(生一

2O220193Ξ3

=3×(2'+2++2+2')+2=3×^^~~)+2=2≡,

1-4

故答案为：22⑵

五、解答题

2

17.已知数列｛α,,｝的前〃项和为S“，满足S”=](4-1),neN".

(1)求数列｛q“｝的通项公式；

⑵记或=a,,∙sin早，求数列也｝的前IOO项的和工…

【正确答案】(I)。,,=(-2)",neN.

⑵手

【分析】(I)利用4=S“-S,I,整理可得数列｛%｝是等比数列，求其通项公式即可；

(2)求出%也"],砥_2)*-3,然后分组求和.

22

【详解】(1)当n≥2时，¾=s„-5„_!=-(α,,-1)--(0,,.1-1),

整理得出=-2,

¾-l

2

又4=S∣=j(%T),得q=-2

则数列｛4｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列.

则%=(-2)"，"∈N*

4t

(2)当〃=4%,ZeN*时，⅛4t=(-2)∙sin^=0,

4Λ4

当〃=4%-1,&eN,时，h4k_｝=(-2)'∙sin~ɪɪɪ=2"",

42

当〃=4%-2,%∈N'时，⅛4t2=(-2)*^∙sin=0,

4i3kπ3

当〃=4&-3«∈N*时，⅛t.3=(-2)^∙sin^~^=_2«-,

59737

则工00=伪+4+/++⅛100=-(2+2++2)+(2+2++2")

2-2.(2")“23-23∙(24)352'0'-2

-1≡25~+f≡23--5-

18.设函数f(x)=ax+'(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方

x+b

程为y=3.

⑴求f(χ)的解析式；

(2)证明：曲线y=f(χ)上任一点的切线与直线x=l和直线y=x所围三角形的面积为定值,

并求出此定值∙

【正确答案】(l)f(x)=x+—I；(2)证明见解析

x-∖

【详解】(1)解F(X)=a—1.,

(∙r+ΛΓ

[9

∕,(2)=0'u-]“-4

/W解得或.：4

l∕(2)=3b=-18

I3

因为a,b∈Z,故f(x)=x+`.

⑵在曲线上任取一点(∙L∙「,——),由fr(xo)=l———「知，过此点的切线

Q-I(χ-∖r

方程为y-七J+I=[1-1.](X-Xo).

X0-I(⅞-ιr

X4.1X4.I

令x=l,得y=",切线与直线x=l的交点为(1,")；

χ0-1X。-I

令y=x,得y=2xo—1,切线与直线y=x的交点为(2xo—1,2x0-1)；

直线x=l与直线y=x的交点为(1』)，从而所围三角形的面积为

'ɪ1|2xo-I—1|=2.

2Xo-I

所以，所围三角形的面积为定值2.

19.新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，T指在首选科目“物理、历史”

中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.

假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.

(I)求某同学选修“物理、化学和生物''的概率；

(H)若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是通过每门再选科目的概率

都是W,且各门课程通过与否相互独立.用〈表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，

求随机变量4的概率分布和数学期望.

【正确答案】(I)ɪ;(II)详见解析.

【分析】(I)显然各类别中，一共有GC：=12种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能,

于是通过古典概率公式即可得到答案：

(II)找出J的所有可能取值有0,1,2,3,依次求得概率，从而得到分布列和数学期望.

【详解】解：(I)记“某同学选修物理、化学和生物”为事件A,

因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等

则尸5)=去=4，

答：该同学选修物理、化学和生物的概率为《.

(II)随机变量S的所有可能取值有0,1,2,3.

因为PG=O)gg)=《,

1131

G

-XX-×-=-

PC=I)5448

433

P(⅞=2)=-×

80

49

P(ξ=3)=-×

20

所以4的分布列为

0123

1ɪ339

P

8088020

所以数学期望Ee)=OX-!→lχW+2x更+3x羽=生

8080808010

本题主要考查分布列和数学期望的相关计算，意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能

力和计算能力要求较高.

20.已知两曲线y=χ3+αχ和y=χ2+⅛r+c都经过点P(l,2),且在点P处有公切线.

⑴求4,b,C的值；

(2)求公切线所在的直线方程；

(3)若抛物线y=x2+bx+c上的点M到直线y=4x-5的距离最短，求点M的坐标和最短距离.

【正确答案】(l)α=l,b=2,C=-I

(2)4x-y-2=0

⑶V(1,2),岑

【分析】(1)对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P点坐标代入两个函数式，可解

得”,Ac；

(2)由(2)得切线斜率，从而得公切线方程；

(3)由抛物线的导数值等于4可得M点坐标，再由点到直线距离公式可得结论.

【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是

缈(x+Ax)3+α(x+Δx)-(x3+0r)

V.=Iim——=Iim----------------------------------------L=3x+a•

AX-To∆x

△y(x÷∆x)"+/?(%+ʌr)+c-(x2+⅛x+c)

Vj=lim—=Iim-------------------------------------------------=2x+h∙

6→θ∆XAtTOʌɪ

将P(l,2)分别代入两曲线方程得到2=l+α,2=∖+b+c.

2

XX=3x+a,y'2=2x+b,则3+α=2+人，解得α=l,b-2,C=-I.

(2)由(1)知y=M+χ,χ=3x2+l;当χ=l时，X'=4,故切线方程

为y=4(x-1)+2,即4x-y-2=0.

由(1)知ly=∕+2χ-l,%=2x+2,当X=I时，%=4,故切线方程为y=4(x-l)+2,即4x-y-2=0.

综上所述，公切线所在的直线方程为4x-y-2=0.

(3)要使抛物线y=V+W+c上的点M到直线y=4x-5的距离最短，则抛物线在点M处

的切线斜率应该与直线y=4x-5相同，

则y,=Iim包=Iim区⑸^史的土(丁+空。=2/2=4，

Ar→°∆XʌVfOʌɪ

解得x=l∙又因为点M在抛物线上，解得M(l,2),

所以最短距离即d为点M到直线y=4x-5的距离，

∣4-2-5∣3√173而

代入点到直线的距离公式得“=方不京=下一.即最短距离为岩.

21.已知正项数列｛4｝的前"项和为5“，给出以下三个条件：①4=1,叫用=("+l)α,,+l("wN)

②S；—(1—1)S"一/=0(〃eN)；③4=1,a；+24,,=4S“—1(〃GN)从这三个条件中任选一个解答

下面的问题.

(1)求数列｛q｝的通项公式;

4S

⑵设2=--,求数列圾｝的前〃项和7；.

anan+∖

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【正确答案】⑴q=2〃-l(“eM

⑵C7>2⅛"("√+l)

【分析】(1)根据所选条件构造数列或利用S,,与α“关系求解

(2)根据题意求和，使用裂项相消法

∩汨-="+_1_

【详解】(1)若选①：由〃4M=(n+l)αn+l(∕7eN八寸〃+1nπ(n+l)-

令，％吟，可得*Wɪ__1_

n〃+1

111一1

当“22时，c-c,ι*一*=力-丘..C2-C1=1--

lln-∖n

累加得％-q=I-L

n

又j=；=l,则%=2-""≥2),则q=〃C“=2"-l(〃≥2).

又4=1也适合上式，所以

若选②：由必一(〃2-1)5,,-〃2=0(〃WN广)，可得母+I),,,—")=。.

又｛q｝是正项数列，所以S,,+l>0,所以S“=〃2,则4=S∣=[2=[

2

当“22时，an=Sn-Sll^=Λ-(Λ-1)^=2«-1.

又4=1也适合上式，所以q=2〃-l(〃eN).

若选③：由d+24=4S,,-1得，当“≥2时，⅛1+2an.,=4Sπ.,-l,两式作差得

4

¾=a：-<,+2an-2¾-l,整理得2(4+«„,,)=(¾+%)(α”一%).

由于4>0,故4-4,T=2,即｛《,｝是首项为1,公差为2的等差数列，所以q=2"-l("eN*).

⑵由⑴得—，=后

45.4/11

则=∖+-

d=a

A+l(2n-l)(2n+l)212"-l2/2+1

所以q=6∣+4+4+

1

n+-×1-Ξ⅛

22n+↑

22.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首

先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，

平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除

非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次

数为X.

(1)求游戏结束时