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文档简介
20202021学年上学期宣化一中高二数学期末试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)若复数z满足(1+i)z=2i2019(i是虚数单位),则A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i若a<b<0,则下列不等式成立的是( )A.1a<1b B.ac2抛物线y=12A.y=-12 B.y=-18 C.已知lnx,2,lny成等差数列,则x+y有( )A.最小值2e B.最小值2e2 C.最大值2e D.若命题“任意x∈R,x2-2mx+m≥0“是真命题,则实数mA.(-1,1) B.(0,1) C.[-1,1] D.[0,1]已知在各项不为零的等差数列{an}中3a4-2a6A.6 B.4 C.2 D.I过椭圆x23+y22A.2x+3y-5=0 B.3x+2y-5=0
C.2x-3y+1=0 D.3x-2y-1=0《周碑算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气,其日影长依次成等差数列,小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺,前十个节气日影长之和为90尺,则清明日影长为( )A.4.5尺 B.5.5尺 C.6.5尺 D.7.5尺已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,M为抛物线上一点,O为坐标原点,△OMF的外接圆与抛物线CA.6π B.12π C.24π D.36π设数列{an}的前n项和为Sn,若aA.310-2 B.310-1 C.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,M,NA.π6
B.π4
C.π3
已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1和F2,抛物线C2:y2=2px(p>0)的准线过双曲线C1的左焦点FA.y2=4x B.y2=8x
C.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)命题“任意x>2,lnx>1”的否定是______.已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线C上存在点P如图所示,P,Q分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,M是PQ靠近P的三等分点,且OM=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)已知复数z=m2-mi(m∈R),若|z|=2,且z在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)求复数z;
(2)若z2+az+b=1+i,求实数a已知命题p:关于x的函数y=12x2-tx+t2-12t-1有两个不同的零点;命题q:关于1的不等式(t+2m)(t-m)<0,已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5=15,且a4,a6,a9成等比数列.
(1)求数列{an}保护环境,防治环境污染越来越得到人们的重视,某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位:万元)与日产量x(单位:吨)之间的函数关系式为y=2x2+(10-3k)x+12k+8.现为了减少大气污染,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为k万元,除尘后,当日产量x=2时,每日生产总成本y=52.
(1)求k的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,试求除尘后日产量为多少吨时,每吨产品的利润最大,最大利润为多少万元?如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB//CD,AB=AD=AP=12DC=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥CD;
(2)若点F为棱PC上一点,且AF与平面ABCD所成角的正弦值是23,求二面角在平面直角坐标系xOy中,圆(x+1)2+y2=8的圆心为M.已知点N(1,0),且T为圆M上的动点,线段TN的中垂线交TM于点P.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹为曲线C1,若四边形ABCD的四个顶点都在曲线C1上,对角线AC,20202021学年上学期宣化一中高二数学期末试卷答案和解析1.【答案】C
【解析】解:由(1+i)z=2i2019=2i504×4+3=-2i,
得z=-2i1+i=-2i(1-i)【解析】解:取a=-2,b=-1,则-12>-1,故A错;
当c=0时,选项B不成立,故B错;
取a=-2,b=-1,则(-2)13=3【解析】解:抛物线y=12x2的标准方程为x2=2y,
焦准距p=1,p2=12
∴抛物线y=12x【解析】解:∵lnx,2,lny成等差数列,
则lnx+lny=4,
即xy=e4,
由基本不等式可得,x+y≥2e2,当且仅当x=y时取等号,此时取得最小值.
故选:B.
由已知结合等差数列的性质可求xy【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的真假判定及不等式的恒成立问题,属于基础题.
结合题意利用不等式恒成立,通过判别式小于等于0,列出不等式求解即可.
【解答】解:依题意,Δ=4m2-4m≤0故选D.
6.【答案】C
【解析】解:各项不为零的等差数列{an},3a4-2a62+3a8=0,
可得3(a4+a8【解析】解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
则2x12+3y12=6,2x12+3【解析】解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an},
小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺,前十个节气日影长之和为90尺,
∴a2+a6+a11=24.5,S10=90,
∴3【解析】解:由题意得:抛物线的准线为x=-4,设M(a,b)则(a+4)2=a2+b2,且b2=16a,
所以a=2,b=42,【解析】解:a1=1,an+1=2Sn+4,
可得n≥2,an=2Sn-1+4,又an+1=2Sn【解析】解:∵AM=AA1+A1M=12AB+AA1,C1N=C1C+CN=-AA1+12CB=12AB-12AC-AA【解析】解:抛物线C2:y2=2px(p>0)的准线x=-p2过双曲线C1的左焦点F1(-c,0),
可得p=2c,
双曲线C1与抛物线C2的交点M满足MF2⊥F1F2,可设M(c,t),t>0,
由x=c代入双曲线方程可得y=bc2a2-1=b2a,
即M(c,b2a),代入抛物线方程可得b4a2=4c2,
又c2=a2+b2,
双曲线C1的一个焦点(c,0)到其渐近线bx-ay=0的距离的平方是【解析】解:否定:否定量词,否定结论.
故命题“任意x>2,lnx>1”的否定是存在x0>2,lnx0≤1.
故答案为:存在x0>2【解析】解:双曲线C上存在点P满足PF1⊥PF2且|PF1|=3|PF2|,
可得P为右支上的点,设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m-n=2a,m=3n,
且m2+【解析】解:因为P,Q分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,M是PQ靠近P的三等分点,
所以OM=OP+PM=12OA+13PQ=12OA+13(PA+AB+BQ),
=12OA+13【解析】解:数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n,①
可得a1=1,n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=n-1,②
①-②可得(2n-1)an=1,即有an=12n-1,对n=1也成立,
则anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),
a1a2+a2a3+…+anan+1≤nlog27【解析】(1)由已知求得m=±1,结合z在复平面内对应的点位于第四象限可得m=1,则复数z可求;
(2)把z代入z2+az+b=1+i,整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解.
本题考查复数代数表示及几何意义,考查复数的相等,考查复数模的求法,是基础题.
18.【答案】解:命题p:关于x的函数y=12x2-tx+t2-12t-1有两个不同的零点;
可得△=(-t)2-4×12×(t2-12t-1)=-t2+t+2>0,
解得-1<t<2,
若p是q的充分不必要条件,所以
①当m>0时,命题q:关于1的不等式(t+2m)(t-m)<0,m≠0,
-2m<t<m,
则有-2m≤-12≤m,解得m≥2,
经检验m=2符合题意;
②当m<0【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
19.【答案】解:(1)公差d不为0的等差数列{an},S5=15,可得5a1+10d=15,即a1+2d=3,
a4,a6,a9成等比数列,可得a62=a4a9,即有(a【解析】(1)公差d不为0的等差数列{an},运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;
(2)求得bn=(an+1)(-2)an=(1+n)⋅(-2)n,由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,化简运算能力,属于中档题.
20.【答案】解:(1)由题意,除尘后y=2x2+(10-3k)x+12k+8+kx=2x2+(10-2k)x+12k+8,
将x=2,【解析】(1)求出除尘后的函数解析式,利用当日产量x=2时,总成本y=52,代入计算得k=2;
(2)求出每吨产品的利润,利用基本不等式求解即可.
本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题,考查学生的计算能力,属于中档题
21.【答案】解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴AP⊥AB,AP⊥AD,∵AB⊥AD,∴AP,AB,AD两两垂直,
以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴E(1,12,12),
∴BE=(0,12,12),CD=(-2,0,0),
∴BE⋅CD=0,∴BE⊥CD.
(2)解:由已知,设CF=λCP,(0≤λ≤1),设F(x,y,z),
由(1)知,CF=(x-2,y-1,z),CP=(-2,-1,1),AB=(1,0,0),
∵CF=λCP,∴(x-2,y-1,z)=(-2λ,-λ,λ),
解得x=2-2λ,y=1-λ,z=λ,∴F(2-2λ,1-λ,λ),
∴AF=(2-2λ,1-λ,λ),
∵PA⊥平面ABCD,∴AP=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,
设AF与平面ABCD所成角为θ,
则sinθ=|AF⋅AP||AF|⋅|AP|=|λ|(2-2λ【解析】(1)推导出AP,AB,AD两两垂直,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BE⊥CD.
(2)求出AP=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,由AF与平面ABCD所成角的正弦值是23,求出AF=(23,13,23),求出平面FAB的法向量和平面ABPr法向量,利用向量法能求出二面角F-AB-P的余弦值.
本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
22.【答案】解:(1)因为P为线段TM中垂线上一点,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PT|=|TM|=22,
因为M(-1,0),N(1,0),所以|MN|=2<22,
则点P的轨迹是以M、N为焦点,长
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