河北省张家口宣化一中2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷

20202021学年上学期宣化一中高二数学期末试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）若复数z满足(1+i)z=2i2019(i是虚数单位)，则A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i若a<b<0，则下列不等式成立的是(    )A.1a<1b B.ac2抛物线y=12A.y=-12 B.y=-18 C.已知lnx，2，lny成等差数列，则x+y有(    )A.最小值2e B.最小值2e2 C.最大值2e D.若命题“任意x∈R，x2-2mx+m≥0“是真命题，则实数mA.(-1,1) B.(0,1) C.[-1,1] D.[0,1]已知在各项不为零的等差数列{an}中3a4-2a6A.6 B.4 C.2 D.I过椭圆x23+y22A.2x+3y-5=0 B.3x+2y-5=0

C.2x-3y+1=0 D.3x-2y-1=0《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为(    )A.4.5尺 B.5.5尺 C.6.5尺 D.7.5尺已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点，△OMF的外接圆与抛物线CA.6π B.12π C.24π D.36π设数列{an}的前n项和为Sn，若aA.310-2 B.310-1 C.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，M，NA.π6

B.π4

C.π3

已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1和F2，抛物线C2：y2=2px(p>0)的准线过双曲线C1的左焦点FA.y2=4x B.y2=8x

C.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）命题“任意x>2，lnx>1”的否定是______．已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，若双曲线C上存在点P如图所示，P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，且OM=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知复数z=m2-mi(m∈R)，若|z|=2，且z在复平面内对应的点位于第四象限．

(1)求复数z；

(2)若z2+az+b=1+i，求实数a已知命题p：关于x的函数y=12x2-tx+t2-12t-1有两个不同的零点；命题q：关于1的不等式(t+2m)(t-m)<0，已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S5=15，且a4，a6，a9成等比数列．

(1)求数列{an}保护环境，防治环境污染越来越得到人们的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y=2x2+(10-3k)x+12k+8.现为了减少大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后，当日产量x=2时，每日生产总成本y=52．

(1)求k的值；

(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少万元？如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD，AB=AD=AP=12DC=1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥CD；

(2)若点F为棱PC上一点，且AF与平面ABCD所成角的正弦值是23，求二面角在平面直角坐标系xOy中，圆(x+1)2+y2=8的圆心为M.已知点N(1,0)，且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点P的轨迹为曲线C1，若四边形ABCD的四个顶点都在曲线C1上，对角线AC，20202021学年上学期宣化一中高二数学期末试卷答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由(1+i)z=2i2019=2i504×4+3=-2i，

得z=-2i1+i=-2i(1-i)【解析】解：取a=-2，b=-1，则-12>-1，故A错；

当c=0时，选项B不成立，故B错；

取a=-2，b=-1，则(-2)13=3【解析】解：抛物线y=12x2的标准方程为x2=2y，

焦准距p=1，p2=12

∴抛物线y=12x【解析】解：∵lnx，2，lny成等差数列，

则lnx+lny=4，

即xy=e4，

由基本不等式可得，x+y≥2e2，当且仅当x=y时取等号，此时取得最小值．

故选：B．

由已知结合等差数列的性质可求xy【解析】【分析】

本题考查全称量词命题的真假判定及不等式的恒成立问题，属于基础题．

结合题意利用不等式恒成立，通过判别式小于等于0，列出不等式求解即可．

【解答】解：依题意，Δ=4m2-4m≤0故选D．

6.【答案】C

【解析】解：各项不为零的等差数列{an}，3a4-2a62+3a8=0，

可得3(a4+a8【解析】解：设弦的两端点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2).

则2x12+3y12=6，2x12+3【解析】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，

小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，

∴a2+a6+a11=24.5，S10=90，

∴3【解析】解：由题意得：抛物线的准线为x=-4，设M(a,b)则(a+4)2=a2+b2，且b2=16a，

所以a=2，b=42，【解析】解：a1=1，an+1=2Sn+4，

可得n≥2，an=2Sn-1+4，又an+1=2Sn【解析】解：∵AM=AA1+A1M=12AB+AA1，C1N=C1C+CN=-AA1+12CB=12AB-12AC-AA【解析】解：抛物线C2：y2=2px(p>0)的准线x=-p2过双曲线C1的左焦点F1(-c,0)，

可得p=2c，

双曲线C1与抛物线C2的交点M满足MF2⊥F1F2，可设M(c,t)，t>0，

由x=c代入双曲线方程可得y=bc2a2-1=b2a，

即M(c,b2a)，代入抛物线方程可得b4a2=4c2，

又c2=a2+b2，

双曲线C1的一个焦点(c,0)到其渐近线bx-ay=0的距离的平方是【解析】解：否定：否定量词，否定结论．

故命题“任意x>2，lnx>1”的否定是存在x0>2，lnx0≤1．

故答案为：存在x0>2【解析】解：双曲线C上存在点P满足PF1⊥PF2且|PF1|=3|PF2|，

可得P为右支上的点，设|PF1|=m，|PF2|=n，

则m-n=2a，m=3n，

且m2+【解析】解：因为P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，

所以OM=OP+PM=12OA+13PQ=12OA+13(PA+AB+BQ)，

=12OA+13【解析】解：数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n，①

可得a1=1，n≥2时，a1+3a2+…+(2n-3)an-1=n-1，②

①-②可得(2n-1)an=1，即有an=12n-1，对n=1也成立，

则anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，

a1a2+a2a3+…+anan+1≤nlog27【解析】(1)由已知求得m=±1，结合z在复平面内对应的点位于第四象限可得m=1，则复数z可求；

(2)把z代入z2+az+b=1+i，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解．

本题考查复数代数表示及几何意义，考查复数的相等，考查复数模的求法，是基础题．

18.【答案】解：命题p：关于x的函数y=12x2-tx+t2-12t-1有两个不同的零点；

可得△=(-t)2-4×12×(t2-12t-1)=-t2+t+2>0，

解得-1<t<2，

若p是q的充分不必要条件，所以

①当m>0时，命题q：关于1的不等式(t+2m)(t-m)<0，m≠0，

-2m<t<m，

则有-2m≤-12≤m，解得m≥2，

经检验m=2符合题意；

②当m<0【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)公差d不为0的等差数列{an}，S5=15，可得5a1+10d=15，即a1+2d=3，

a4，a6，a9成等比数列，可得a62=a4a9，即有(a【解析】(1)公差d不为0的等差数列{an}，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；

(2)求得bn=(an+1)(-2)an=(1+n)⋅(-2)n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)由题意，除尘后y=2x2+(10-3k)x+12k+8+kx=2x2+(10-2k)x+12k+8，

将x=2，【解析】(1)求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=2时，总成本y=52，代入计算得k=2；

(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．

本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题

21.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴AP⊥AB，AP⊥AD，∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直，

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(2,1，0)，D(0,1，0)，P(0,0，1)，∴E(1,12,12)，

∴BE=(0,12,12)，CD=(-2,0，0)，

∴BE⋅CD=0，∴BE⊥CD．

(2)解：由已知，设CF=λCP，(0≤λ≤1)，设F(x,y，z)，

由(1)知，CF=(x-2,y-1,z)，CP=(-2,-1,1)，AB=(1,0，0)，

∵CF=λCP，∴(x-2,y-1,z)=(-2λ,-λ,λ)，

解得x=2-2λ，y=1-λ，z=λ，∴F(2-2λ,1-λ,λ)，

∴AF=(2-2λ,1-λ,λ)，

∵PA⊥平面ABCD，∴AP=(0,0，1)是平面ABCD的一个法向量，

设AF与平面ABCD所成角为θ，

则sinθ=|AF⋅AP||AF|⋅|AP|=|λ|(2-2λ【解析】(1)推导出AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥CD．

(2)求出AP=(0,0，1)是平面ABCD的一个法向量，由AF与平面ABCD所成角的正弦值是23，求出AF=(23,13,23)，求出平面FAB的法向量和平面ABPr法向量，利用向量法能求出二面角F-AB-P的余弦值．

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

22.【答案】解：(1)因为P为线段TM中垂线上一点，所以|PM|+|PN|=|PM|+|PT|=|TM|=22，

因为M(-1,0)，N(1,0)，所以|MN|=2<22，

则点P的轨迹是以M、N为焦点，长