数学必修2空间几何体-点、直线、平面之间的位置关系复习提纲

数学必修〔二〕知识梳理与解题方法分析第一章《空间几何体》一、本章总知识结构二、各节内容分析1、本节知识结构重点：画出简单几何体的三视图，用斜二测法画空间几何体的直观图。难点：识别三视图所表示的空间几何体。空间几何体的外表积与体积1、本节知识结构三、高考考点解析本局部内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：1.多面体的体积〔外表积〕问题；2.点到平面的距离〔多面体的一个顶点到多面体一个面的距离〕问题—“等体积代换法”。〔一〕多面体的体积〔外表积〕问题1．【06上海·理】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．〔1〕求四棱锥P－ABCD的体积；【解】〔1〕在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是，PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.2．【06上海·文】在直三棱柱中，.〔2〕假设与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】〔2〕∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=∴AA1=。∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=。〔二〕点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1．【06福建·理】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，〔III〕求点E到平面ACD的距离。【解】〔III〕设点E到平面ACD的距离为，∴在中，而点E到平面ACD的距离为2．【06湖北·文】如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。〔Ⅱ〕求点到平面的距离。【解】〔Ⅱ〕过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。3．【06湖南·理】如图4,两个正四棱锥的高分别为1和2,。〔=3\*ROMANIII〕求点到平面的距离。【解】〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM。过点P作PH⊥QM于H，那么PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即点P到平面QAD的距离是。4．【06江西·文】如图，三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。〔1〕求O点到面ABC的距离；【解】〔1〕取BC的中点D，连AD、OD。，那么∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，那么OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。，。∴面OBC，那么。，在直角三角形OAD中，有〔另解：由知：〕ABCA1VB1C15．【06山东·ABCA1VB1C1〔Ⅱ〕求点A到平面VBC的距离；【解】〔Ⅱ〕解法1：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，那么⊥平面，且=.由〔Ⅰ〕知，设A到平面的距离为x，，即，解得.即A到平面的距离为.所以，到平面的距离为.第二章《点、直线、平面之间的位置关系》二、各节内容分析中点、直线、平面之间的位置关系1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言〔文字语言、图形语言、符号语言〕的转换。归纳总结〔1〕四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①②③它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕。符号语言：。公理4：〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角〔或直角〕叫异面直线所成的夹角。〔易知：夹角范围〕定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。〔注意：会画两个角互补的图形〕2.位置关系：〔3〕空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：〔4〕空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：2.2直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判断定理和性质。难点：性质定理的证明。〔1〕四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。在平面内“找出”一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。〔2〕定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。2.3直线、平面平垂直的判定及其性质1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质。难点：性质定理的证明。〔一〕根本概念1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。2.直线与平面所成的角：角的取值范围：。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：两个平面垂直：直二面角。〔二〕四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。在平面内“找出”两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。〔满足条件与垂直的平面有无数个〕判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，那么一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线〔三〕定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维”的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一局部、三类角〔异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角〕的求解问题〔一〕异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1．异面直线所成的夹角是本局部的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角〔简言之：①“转化角”、②“证明”、③“求角”〕。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题1．【06广东】如下图，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,。〔=2\*ROMANII〕求直线与所成的角。【解】〔=2\*ROMANII〕第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D作符合条件的直线。连结DO，那么∠ODB即为所求的角。第二步：证明∠ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形所以DO//EF所以根据定义，∠ODB就是所求的角。第三步：求角由题设可知：底面ABCD为正方形∵DA⊥平面ABCD平面∴DA⊥BC又∵AF⊥BC∴BC⊥平面ADO∴DO⊥BC∴△DOB为直角三角形∴在Rt△ODB，∴〔或用反三角函数表示为：〕2．【06山东·文】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.〔Ⅰ〕求异面直接与所成角的余弦值.【解】平面，又，由平面几何知识得：〔Ⅰ〕过做交于于，连结，那么或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，又四边形是平行四边形。是的中点，且又，为直角三角形，在中，由余弦定理得：故异面直线PD与所成的角的余弦值为。3．【06上海·理】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．〔2〕假设E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【解】〔2〕取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA,∴∠FED是异面直线DE与PA所成角〔或它的补角〕。在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,于是,在等腰Rt△POA中,PA=,那么EF=.在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=.cos∠FED==∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.4．【06重庆·文】如图〔上右图〕，在正四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：〔Ⅰ〕异面直线与所成角的大小；【解】解法一：由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由∽得在。解法二：由为异面直线所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，由此可得从而，于是在〔二〕直线与平面所成夹角11．【06浙江·理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点。〔Ⅱ〕求与平面所成的角。【解】〔=2\*ROMANII〕取的中点，连结、，那么，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，。故与平面所成的角是。图1图218．【06江苏】在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2〔如图1〕。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P〔如图2〕图1图2〔Ⅱ〕求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；【解】不妨设正三角形的边长为3，那么〔II〕在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影〔三垂线定理的逆定理〕设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，那么∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。22．【06全国Ⅰ·理】如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。〔Ⅱ〕假设,求NB与平面ABC所成角的余弦值.【解】〔Ⅱ〕又，因此为正三角形.，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，为NB与平面ABC所成的角.在中，〔三〕二面角与二面角的平面角问题1．【06广东】如下图，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,。〔=1\*ROMANI〕求二面角的大小；【解】〔=1\*ROMANI〕∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；2．【06安徽·理】如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。〔Ⅱ〕求面与面所成二面角的大小。【解】连结AD，那么易知AD与BF的交点为O。〔=2\*ROMANII〕设M为PB的中点，连结AM，MD。斜线PB在平面ABC内的射影为OB，。又因此，为所求二面角的平面角。在正六边形ABCDEF中，在Rt在Rt，那么在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小为3．【06北京·理】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.〔Ⅲ〕求二面角的大小.【解】〔Ⅲ〕如图，取AD的中点F，连EF，FO，那么EF是△PAD的中位线，EFPA又平面，EF平面同理FO是△ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF。EOF＝45而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135.4．【06山东·文】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.〔Ⅱ〕求二面角的大小；【解】平面，又，由平面几何知识得：〔Ⅱ〕连结，由〔Ⅰ〕及三垂线定理知，为二面角的平面角，二面角的大小为5．【06陕西·理】如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,AB=2,AA1=1,BB1=eq\r(2),求:〔=2\*ROMANII〕二面角A1－AB－B1的大小。SHAPE【解】〔Ⅱ〕∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α。在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，那么A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，那么由三垂线定理得A1F∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=eq\r(2).∴Rt△AA1B中，A1B=eq\r(AB2－AA12)=eq\r(4－1)=eq\r(3)。由AA1·A1B=A1F·A1F=eq\f(AA1·A1B,AB)=eq\f(1×\r(3),2)=eq\f(\r(3),2),∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E,A1F)=eq\f(\r(6),3)，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsineq\f(\r(6),3).6．【06四川·理】如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，〔Ⅱ〕求二面角的大小；【解】〔Ⅱ〕设为的中点∵为的中点∴∴面作，交于，连结，那么由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，，从而在中，故：二面角的大小为。第二局部《空间直线、平面的平行问题》现利用高考题举例说明将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”的运用。〔一〕“线线平行”与“线面平行”的转化问题1．【06北京·理】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.〔Ⅱ〕求证：平面；【解】证明此题的关键：在平面EAC中“找”一条与PB平行的直线，由于点E在平面PB