新教材数学人教A版学案5-5-1第4课时二倍角的正弦余弦正切公式

第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式必备知识·探新知基础知识知识点1二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)．思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？(2)公式中的角α是任意角吗？提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是eq\f(3,2)α的二倍角，α是eq\f(α,2)的二倍角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．(2)对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1－tan2α≠0.知识点2二倍角公式的转换(1)因式分解变换．cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(2)配方变换：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)升幂缩角变换．1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(4)降幂扩角变换．cos2α＝eq\f(1,2)(1＋cos2α)，sin2α＝eq\f(1,2)(1－cos2α)，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.思考2：如何证明“缩角升幂公式”？提示：因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.基础自测1．下列说法正确的个数是(＋＋＋＋A－－－－)①对任意的角总有sin2θ＝2sinθ.②不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.③公式tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)成立的条件是α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.④对于任意角α，都有sineq\f(α,2)＝2sineq\f(α,4)coseq\f(α,4).A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②③错误，④正确，故选A.2．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，则sin2α等于(＋＋＋＋D－－－－)A．eq\f(7,5) B．eq\f(12,5)C．eq\f(12,25) D．eq\f(24,25)[解析]sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25).3．已知cosα＝eq\f(1,3)，则cos2α等于(＋＋＋＋C－－－－)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)[解析]cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(2,9)－1＝－eq\f(7,9).4．(coseq\f(π,12)－sineq\f(π,12))(coseq\f(π,12)＋sineq\f(π,12))的值为(＋＋＋＋D－－－－)A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).5．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为！！！－eq\f(4,3)###.[解析]tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).关键能力·攻重难题型探究题型一利用二倍角公式给角求值问题例1求下列各式的值：(1)sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)；(2)1－2sin2750°；(3)eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；(4)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(5)cos20°cos40°cos80°.[分析]eq\x(观察角的特点)→eq\x(寻求角的联系)→eq\x(选择公式)→eq\x(化简求值)[解析](1)原式＝eq\f(2sin\f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq\f(sin\f(π,6),2)＝eq\f(1,4).(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).(4)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.(5)原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·sin80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).[归纳提升]对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．【对点练习】❶求下列各三角函数式的值：(1)cos72°cos36°；(2)eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°).[解析](1)原式＝cos36°·cos72°＝eq\f(2sin36°·cos36°·cos72°,2sin36°)＝eq\f(\f(1,2)sin144°,2sin36°)＝eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°·cos50°)＝eq\f(2sin50°＋30°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(4sin80°,sin100°)＝4.题型二利用二倍角公式给值求值问题例2(1)若cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，则sin2α＝！！！eq\f(7,25)###.(2)已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝！！！－eq\f(1,2)###.[解析](1)方法一：由cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，得eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(4,5).两边同时平方，得eq\f(1,2)(sinα＋cosα)2＝eq\f(16,25).故1＋sin2α＝eq\f(32,25).所以sin2α＝eq\f(7,25).方法二：由二倍角公式，得cos2(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1＋cos\f(π,2)－2α,2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(16,25)，所以sin2α＝eq\f(7,25).方法三：因为cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝cos(eq\f(π,2)－2α)＝cos2(eq\f(π,4)－α)＝2cos2(eq\f(π,4)－α)－1＝2×eq\f(16,25)－1＝eq\f(7,25).(2)由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－eq\f(4,3).由二倍角公式，得tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2或tanα＝－eq\f(1,2).因为α是第二象限的角，所以tanα＝－eq\f(1,2).[归纳提升]解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．【对点练习】❷已知tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cos2α和sin(2α＋eq\f(π,4))的值．[解析]由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，得eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(5,2).则eq\f(2,sin2α)＝eq\f(5,2)，即sin2α＝eq\f(4,5)，因为α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以2α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(3,5)，sin(2α＋eq\f(π,4))＝sin2α·coseq\f(π,4)＋cos2α·sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).题型三利用二倍角公式给值求角例3已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[分析]本题根据tanβ＝－eq\f(1,7)<0且β∈(0，π)，确定eq\f(π,2)<β<π，可求得tanα＝eq\f(1,3)且α∈(0，π)，确定0<α<eq\f(π,4)，这是求角的范围的关键．[解析]因为2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，而tan2(α－β)＝eq\f(2tanα－β,1－tan2α－β)＝eq\f(4,3).从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝eq\f(tan2α－β＋tanβ,1－tan2α－β·tanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f(1,7),1＋\f(4,3)×\f(1,7))＝1.又因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－β·tanβ)＝eq\f(1,3)<1，且α∈(0，π)，所以0<α<eq\f(π,4).所以0<2α<eq\f(π,2).又因为tanβ＝－eq\f(1,7)<0，且β∈(0，π)，所以eq\f(π,2)<β<π，－π<－β<－eq\f(π,2)，所以－π<2α－β<0.所以2α－β＝－eq\f(3π,4).[归纳提升]本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．【对点练习】❸已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(1,3)，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．[解析]因为tanβ＝eq\f(1,3)，所以tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\f(1,3)2)＝eq\f(3,4).所以tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanαtan2β)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(3,4),1－\f(1,7)×\f(3,4))＝1.0<tanα＝eq\f(1,7)<1,0<tanβ＝eq\f(1,3)<1，α、β均为锐角，所以0<α<eq\f(π,4)，0<β<eq\f(π,4)，0<2β<eq\f(π,2).所以0<α＋2β<eq\f(3π,4)，又tan(α＋2β)＝1.所以α＋2β＝eq\f(π,4).题型四三角函数式化简例4(1)化简：2eq\r(1＋sin8)＋eq\r(2＋2cos8)；(2)设α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化简：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).[分析](1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.[解析](1)原式＝2eq\r(1＋2sin4cos4)＋eq\r(4cos24)＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|.因为4∈(π，eq\f(3π,2))，所以sin4<0，cos4<0.故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．(2)因为α∈(eq\f(3π,2)，2π)，所以cosα>0，coseq\f(α,2)<0.故原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2).[归纳提升]化简三角函数式的基本思路解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．【对点练习】❹(1)化简：eq\r(1－sin40°)＋eq\r(\f(1－cos40°,2)).(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.[解析](1)原式＝eq\r(sin20°－cos20°2)＋eq\r(\f(1－1－2sin220°,2))＝|sin20°－cos20°|＋eq\r(sin220°)＝cos20°－sin20°＋sin20°＝cos20°.(2)证明：左边＝eq\f(1＋cos2A＋2B,2)－eq\f(1－cos2A－2B,2)＝eq\f(cos2A＋2B＋cos2A－2B,2)＝eq\f(1,2)·(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．误区警示利用二倍角公式化简时忽略原函数的定义域例5已知函数f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)，求该函数的值域．[错解]∵f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)＝eq\f(sinx1＋cos2x,sin2x)＝eq\f(sinx2cos2x,2sinxcosx)＝cosx，∴f(x)∈[－1,1]．[错因分析]没有注意函数本身的定义域，即分母要求sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，故函数的值域出现了错误．[正解]f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)＝eq\f(sinx1＋cos2x,sin2x)＝eq\f(sinx2cos2x,2sinxcosx)＝cosx.∵sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)∈(－1,1)且f(x)≠0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．[方法点拨]运用公式化简函数解析式的过程中，忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法．学科素养二倍角公式在三角形问题中的应用三角形中最多只有一个钝角或直角，且其内角的正弦值均为正，但余弦值和正切值则不一定为正，解题时这些都要注意．例6已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cosB·sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))＋eq\r(3)cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求B的大小；(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．[分析](1)f(B)的式子过于烦琐，需将其化简，在求B的大小时应考虑其在三角形中，所以角B的范围为(0，π)．(2)将化简得到的f(B)代入不等式中，即可求得实数m的取值范围．[解析](1)f(B)＝4cosB·eq\f(1－cos\f(π,2)＋B,2)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sin(2B＋eq\f(π,3))．∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))＝2，即sin(2B＋eq\f(π,3))＝1.∴2B＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,12).(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋eq\f(π,3))>2＋m恒成立．∵0<B<π，∴eq\f(π,3)<2B＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))∈[－2,2]，∴2＋m<－2，解得m<－4.课堂检测·固双基1．已知α为第三象限角，且cosα＝－eq\f(\r(5),5)，则tan2α的值为(＋＋＋＋A－－－－)A．－eq\f(4,3) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－2[解析]由题意可得tanα＝2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).2．下列各式中，值为eq\f(1,2)的是(＋＋＋＋D－－－－)A．sin15°cos15° B．2cos2eq\f(π,12)－1C．eq\r(\f(1＋cos30°,2)) D．eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)[解析]sin15°cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)；2co