数学人教A版必修3课时作业3-3-1几何概型

课时作业21几何概型——基础巩固类——1．两根电线杆相距100米，若遭遇雷击，且雷击点距离电线杆10米之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为(B)A．0.1 B．0.2C．0.05 D．0.5解析：如图所示，AB＝100米，AC＝DB＝10米，则当雷击点位于AC或BD上时，设备受损．记“遭受雷击时设备受损”为事件A，故所求的概率为P(A)＝eq\f(AC＋DB,AB)＝0.2.2．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟．根据几何概型，所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).3．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到．已知该物品能被找到的概率为eq\f(4,5)，则河宽为(B)A．80m B．100mC．40m D．50m解析：由已知易得：l从甲地到乙地＝500，l途中涉水＝x，故物品遗落在河里的概率P＝eq\f(x,500)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)，所以x＝100(m)．4．电脑扫雷游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,99) D.eq\f(33,160)解析：由于电脑操作面上的480块区域大小相等，不妨设每块面积为S，则碰到地雷的概率P＝eq\f(地雷区的面积,操作面的面积)＝eq\f(99S,480S)＝eq\f(33,160).5．如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为eq\f(a,2)的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是(A)A．P1＝P2 B．P1>P2C．P1<P2 D．无法比较解析：由题意知P1＝1－eq\f(4×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,4a2)＝1－eq\f(π,4)，P2＝1－eq\f(πa2,4a2)＝1－eq\f(π,4)，∴P1＝P2.6．一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为(B)A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：作出满足题意的区域如下图，则由几何概型的知识得，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×3×4－\f(1,2)π×12,\f(1,2)×3×4)＝1－eq\f(π,12).7．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为eq\f(9,10)，那么该台每小时约有________分钟的广告．(A)A．6 B．7C．8 D．9解析：由题意知某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10)，则该台每小时约有60×eq\f(1,10)＝6(分钟)的广告．8．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：先找出△ABP中AB最大时P点的临界位置．矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动的过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由题意可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2，即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).9．若从区间[－4,7]上任意选取一个实数x，则log5x<1的概率为eq\f(5,11).解析：由log5x<1解得0<x<5，在区间[－4,7]上随机选取一个实数x，对应事件的区间长度为：7＋4＝11，而满足事件“0<x<5”发生的事件的长度为5，由几何概型的公式得到所求概率为eq\f(5,11).10．在圆内作一条弦，其长度超过圆内接等边三角形边长a的概率是eq\f(1,4)(假定弦的中点在圆内均匀分布)．解析：如图所示，弦的长度的确定关键在于弦的中点H的确定，由于要求弦长AB大于a，则OH应小于eq\f(\r(3),6)a，同时又由于题目中已明确弦的中点在圆内是均匀分布的，所以点H应落在以O为圆心，半径为eq\f(\r(3),6)a的圆内，此时以H为中点的弦长大于a，故所求的概率P＝eq\f(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(1,4)(其中eq\f(\r(3),3)a为大圆半径)．11.一个底面半径为4cm，高为10cm的倒置圆锥形容器内盛满液体(圆锥底部在上)，在此液体中有一个某种病毒，某人不小心碰到容器，泼洒掉了部分液体，使液面下降了5cm，则泼洒掉的液体里含有病毒的概率是eq\f(7,8).解析：由题意知，病毒在圆锥内部任何位置都是等可能的，因此本题属“体积型”几何概型．原来容器内液体的体积V1＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160π,3)(cm3)，泼洒掉的部分液体的体积V2＝V1－eq\f(1,3)π×22×5＝eq\f(140π,3)(cm3)，所以eq\f(V2,V1)＝eq\f(\f(140π,3),\f(160π,3))＝eq\f(7,8)，因此可以得到泼洒掉的液体里含有病毒的概率为eq\f(7,8).12．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．解：(1)如图，在BC上取点M1，使∠CAM1＝30°，则CM1＝eq\f(\r(3),3)AC＝eq\f(\r(3),3)CB.所有基本事件对应的区域长度为线段BC的长度．记“使∠CAM<30°”为事件A，则事件A对应的区域长度为CM1＝eq\f(\r(3),3)BC，由几何概型概率公式可得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),3)BC,BC)＝eq\f(\r(3),3).(2)由题意知∠CAB＝45°，在∠CAB内任作射线AM，所有可能结果对应的区域角度为45°，设“使∠CAM<30°”为事件B，则事件B对应的区域角度为30°.所以P(B)＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).13．有一正方形桌子，其边长为4cm，现向桌子上投掷一枚直径为2cm的硬币，硬币不能落在桌子上的情况不计，求硬币落下后完全落在桌子内的概率．解：记“硬币落下后完全落在桌子内”为事件A，事件A发生，则硬币中心O到桌子边缘的距离不小于1cm，事件A对应的几何图形为如图所示的阴影部分，其面积S阴＝4(cm2)．又由题意得试验的全部结果对应的区域面积为42＝16(cm2)，所以P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).——能力提升类——14．在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为eq\f(3,4).解析：若直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，则有圆心到直线的距离d＝eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)，所以所求概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－－1)＝eq\f(3,4).15．某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：5