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文档简介
1.2函数、方程与不等式组合练必备知识精要梳理1.对于不等式a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.2.当a>0,b>0时,ab≤a+b23.二次函数的一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象是以x=b2a为对称轴的抛物线;顶点式f(x)=a(xh)2+k(a≠0),(h,k)为顶点坐标;零点式f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0),x1,x24.若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不相等实根为x1,x2,则x1,2=-b±b2-4ac2a(Δ>0),x1+x2=5.求二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集,先求其对应二次方程的根,再结合其对应的二次函数的图象确定解的范围.6.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.7.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.考向训练限时通关考向一不等式的性质与基本不等式1.(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.ba<c+a B.c2<abC.cb>c2.(多选)(2020山东,11)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12 B.2ab>C.log2a+log2b≥2 D.a3.(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)>log2b2 B.ac2>bc2C.ba<1<aD.14.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.
5.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+1考向二二次函数的图象与性质6.已知函数f(x)=x2+4x,x∈[m,5]的值域是[5,4],则实数m的取值范围是()A.(∞,1) B.(1,2]C.[1,2] D.[2,5]7.(2020江西名校大联考,理6)已知函数f(x)=lnx,x≥1,-x2+axA.(∞,1] B.[1,+∞)C.(∞,2] D.[2,+∞)8.(多选)(2020山东联考,9)已知函数f(x)=x22x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是()A.a<1B.若x1x2≠0,则1C.f(1)=f(3)D.函数y=f(|x|)有四个零点考向三二次函数与二次不等式9.已知函数f(x)=x2+6x+1,若关于x的不等式f(x)<m在[5,2]上恒成立,则实数m的取值范围是.
10.(多选)(2020江苏期末,3)已知函数f(x)=x24x+3,则f(x)≥0的充分不必要条件是()A.[1,3] B.{1,3}C.(∞,1]∪[3,+∞) D.(3,4)11.设对任意实数x∈[1,1],不等式x2+ax3a<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞) B.1C.(∞,12)∪(0,+∞) D.112.(2020四川高考模拟,理16)已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x23x|,则不等式f(x2)≤2的解集为.
考向四二次函数、方程、不等式的综合13.已知在(∞,1]上递减的函数f(x)=x22tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是()A.[2,2] B.[1,C.[2,3] D.[1,2]14.已知二次函数f(x)=2ax2ax+1(a<0),若x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)<f(x2) D.与a值有关15.(多选)已知关于x的方程x2+(m3)x+m=0,下列结论正确的是()A.方程x2+(m3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1,或m>9}B.方程x2+(m3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C.方程x2+(m3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m│0<m≤1}D.方程x2+(m3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}16.(2020安徽临泉一中月考,16)已知函数g(x)=ax22ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=g(x)x.若不等式f(2x)k·2x≥0在区间[1,1]上恒成立,则实数k1.2函数、方程与不等式组合练考向训练·限时通关1.D解析(方法一)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A,因为c<b,a<0,所以c+a<c,ba>b,则c+a<c<b<ba,即c+a<ba,故A错误;对于B,因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,且c2>ab,故B错误;对于C,因为b<a<0,所以1b>1a,则cb对于D,因为|b|>|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.(方法二)不妨令c=5,b=4,a=1,则c+a=6<ba=3,故A错误;c2=25>ab=4,故B错误;cb=54<c故选D.2.ABD解析∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥12,故A∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴ab>1,∴2ab>21=12,故B正确∵a+b=1≥2ab,∴ab≤14,log2a+log2b=log2ab≤log214=2,故∵a+b=1≥2ab,∴2ab≤1,(a+b)2=a+b+2ab≤2,∴a3.AC解析由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A正确;因为c2≥0,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确;由a>b>0,两边同乘1b,得ab>1,由a>b>0,两边同乘1a,得ba<1,由a>b,函数y=12x为减函数,得12a<12b4.45解析由5x2y2+y4=1,得x2=151y2-y2.所以x2+y2=15·当且仅当15y2=45y2,即y2=12所以x2+y2的最小值为45.4解析∵ab=1,∴b=1a.∴12a+12b+8a+b当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=46.C解析f(x)=x2+4x=(x2)2+4.当x=2时,f(x)max=f(2)=4.由f(x)=x2+4x=5,得x=5或x=1.所以要使f(x)在[m,5]上的值域是[5,4],则1≤m≤2.7.D解析若函数f(x)在R上为增函数,则在两段上都应为增函数,当x<1时,f(x)=x2+axa2+1,对称轴为x=a2,所以a且在x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即aa2≤0,所以得到a2≥1所以a≥2.故选D.8.ABC解析对于A,因为f(x)=x22x+a有两个零点,所以判别式Δ=(2)24a>0,解得a<1,故A正确;对于B,根据韦达定理有x1+x2=2,x1x2=a,所以1x1+1x对于C,因为f(1)=3+a,f(3)=3+a,所以f(1)=f(3)成立,故C正确;对于D,当a=0时,y=f(|x|)=|x|22|x|=|x|(|x|2)=0有三根,x=0,±2,故D错误.故选ABC.9.(4,+∞)解析关于x的不等式f(x)<m在[5,2]上恒成立,即为m>f(x)max,由函数f(x)=x2+6x+1图象的对称轴为x=3,知当x=5时,f(x)max=f(5)=4.则实数m的取值范围是(4,+∞).10.BD解析因为f(x)≥0即x24x+3≥0的解集为{x|x≥3,或x≤1},所以f(x)≥0的充分不必要条件应是{x|x≥3,或x≤1}的真子集,所以{1,3},(3,4)满足条件.故选BD.11.B解析设f(x)=x2+ax3a,∵对任意实数x∈[1,1],不等式x2+ax3a<0恒成立,∴即1故a>12.故选12.1-解析当x≥0时,f(x)=|x23x|,当0≤x≤3时,f(x)=x2+3x,解f(x)≤2,即x2+3x≤2,得x≤1或x≥2,∴0≤x≤1或2≤x≤3.当x>3时,f(x)=x23x,解f(x)≤2,即x23x≤2,得3-172≤x≤3+∴当x≥0时,f(x)≤2解集为0≤x≤1或2≤x≤∵f(x)是R上的偶函数,∴当x<0时,f(x)≤2解集为3+172≤x≤2或1≤∴f(x)≤2解集为3+172≤x≤2或1≤x≤1或2∴f(x2)≤2的解集为1-172,0∪[1,3]13.B解析由于f(x)=x22tx+1的图象的对称轴为x=t,又因为y=f(x)在(∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t22t2+1=t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)f(x2)|≤2,只需1(t2+1)≤2,解得2≤t又因为t≥1,所以1≤t≤14.C解析由题意知该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=1因为x1<x2,x1+x2=0,所以x1<0,x2>0,且|x1|=|x2|.当x1,x2在对称轴的两侧时,14x1>x214,即x2故f(x1)<f(x2).当x1,x2都在对称轴的左侧时,由单调性知f(x1)<f(x2).综上,f(x1)<f(x2).15.BCD解析在A中,由Δ=(m3)24m≥0得,m≤1或m≥9,故A错误;在B中,当x=0时,函数y=x2+(m3)x+m的值为m,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0},故B正确;在C中,由题意得Δ=(m-3)2-4在D中
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