特殊四边形的计算与证明-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点07.平行四边形与特殊的平行四边形

【考纲解读】

1.了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理；矩形、菱形、

正方形的概念及其之间的相互关系.

2.理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与

判定定理.

3.会：求一个多边形的内角和；用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形（特殊的平行四边

形）；会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明.

4.掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理；矩形、菱形、正方形及梯形

的性质与判定定理.

5.能：用多边形的外角和定理来解决相关问题；能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形

的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断,

并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点

四边形形状的因素.

【命题形式】

1.从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查，属于中、高档题，难度比较大,

综合性比较强.

2.从考查的内容来看，重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理,

多边形与平行四边形的应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综

合应用.

3.从考查的热点来看，主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理,

多边形与平行四边形的实际综合应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定

理；特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、单选题

L（2021•江苏南京•统考中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

【答案】D

【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成.

【详解】A、1+1+1<5,即这三条线段的和小于5,根据两点间距离最短即知，此选项错误；

B、l+l+5<8,即这三条线段的和小于8,根据两点间距离最短即知，此选项错误；

C、1+2+2=5,即这三条线段的和等于5,根据两点间距离最短即知，此选项错误；

D、2+2+2>5,即这三条线段的和大于5,根据两点间距离最短即知，此选项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而

较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三

条线段的和大于最长的线段即可.

2.（2021•江苏连云港•统考中考真题）正五边形的内角和是（）

A.360oB.540oC.720oD.900°

【答案】B

【分析】〃边形的内角和是5-2）-180。，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和.

【详解】（5-2）×180o=540o.

故选B.

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是

需要熟记的内容.

3.（2021.江苏泰州.统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP.PB为边在AB同侧作正方形APCD,

正方形PB跖设4CBE=α,贝此AFP为（）

A.2aB.90°-«C.450+αD.90°--a

2

【答案】B

【分析】根据题意可得44FP三ΔCBP（SAS）,从而乙4FP=4CBP=90。一α即可.

【详解】：四边形APCQ和四边形PBEF是正方形，

：.AP=CP,PF=PB,∆APF=乙BPF=乙PBE=90°,

.".ΔAFP=ΔCBP（SAS）,

：.ZAFP=ZCBP,

XVzCFE=a,

∙'.∕,AFP=乙CBP=乙PBE-乙CBE=90o-α,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定

方法是解题的关键.

4.（2021•江苏扬州・统考中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接ZB、BC、CD、DE、EA,若

乙BCD=100°,则乙4+Zfi+ZD+ZF=（）

A.220oB.240oC.260oD.280°

【答案】D

【分析】连接BD,根据三角形内角和求出NC8D+/88,再利用四边形内角和减去NCB。和NCD8的和,

即可得到结果.

【详解】解：连接BD,VZBCZ）=100o,

二ZCBD+ZCDB=180o-100o=80o,

ΛZA+ZABC+ZE+ZCoE=360。-ZCBD-ZCDB=360o-80o=280o,

故选D.

【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形.

5.（2021•江苏连云港•统考中考真题）如图，将矩形纸片力BCD沿EF折叠后，点。、C分别落在点劣、G的

位置，Enl的延长线交BC于点G,若4EFG=64°,则4EGB等于（）

C,

A.128oB.130oC.132oD.136o

【答案】A

【分析】由矩形得到AZMBC,ZDEF=ZEFG,再由与折叠的性质得到NL>EF=∕GEF=/EFG,用三角形的

外角性质求出答案即可.

【详解】解：Y四边形ABC。是矩形，

：.ADIIBC,

,：矩形纸片4BCD沿EF折叠，

NDEF=NGEF,

又YADHBC,

NDEF=NEFG,

：.NDEF=NGEF=NEFG=64",

Vzfi,GB⅛ΔEFG的夕卜角，

/.∆EGB=ZGEF+ZEFG=128°

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由

三角形外角的性质求解.

6.（2022•江苏无锡•统考中考真题）如图,在回ABeD中,AD=BD,/.ADC=105",点E在AD上,/EBA=60°,

【答案】D

【分析】过点B作BFLAO于R由平行四边形性质求得NA=75。，从而求得NAEB=I80。・NA-NA3£>45。,

则M是等腰直角三角形，即BF=EF,设BF=EF=X,则引X2x,Z)F=√3x,DE=DF-EF=(√3-l)x,

AF=AD-DF=BD-DF=(2-√3)x,继而求得A)=A盾+8盾=(2-√3)2x2+X2=(8-4√3)x2,从而求得案=日,

再由AB=CD即可求得答案.

【详解】解：如图，过点8作B凡LA。于R

•：⑦ABCD,

ΛCD=ABfCD∖∖AB,

：.ZADC+ZBAD=180°,

VZTIDC=1050

・•・NA=75。，

YZABE=60o,

・・・ZAEB=180o-ZA-AABE=A5o,

VBF±AD,

/.NBFD=90。,

・・・NEBF=NAEB=45°,

：.BF=FE,

♦：AD=BD,

：.NABo=NA=75。，

・・・ZADB=30o,

i⅛BF=EF=X9则E>2Λ∙,由勾股定理，得OF=gx,

/.DE=DF-EF=(√3-l)‰AF=AD-DF=BD-DF=(2-^)%,

由勾股定理，得A4二A尸+5/二(2-√3)2x2÷√=(8-4√3)x2,

・_(6-1)—2_1

AB2-(8-4√3)X2-2

・DE√2

•∙，

AB2

"：AB=CD,

.DE√2

..—=一,

CD2

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点8作BFLAQ

于凡构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键.

7.（2021.江苏无锡.统考中考真题）如图，D、E、尸分别是△4BC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.△BOE和ADCF的面积相等

B.四边形ZEDF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形4EDF是菱形

D.若4/1=90。，则四边形AEOF是矩形

【答案】C

【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各

个选项，即可得到答案.

【详解】解：：点。、E、F分别是AABC三边的中点，

：.DE、力厂为AABC得中位线，

.'.ED//AC,且EO=IC=AF；同理。尸〃AB,KDF=^AB=AE,

•••四边形AEZ）F一定是平行四边形，故B正确；

△BDEBCA）△CDFCBA

.11

・・SABDE=4S&BCA，SACDF=1^∆BCA»

・・・ZkBOE和AOCF的面积相等，故A正确；

9：AB=BC,

：.DF=-AB=AE,

2

二四边形AEDF不一定是菱形，故C错误：

VZA=90o,则四边形AEZm是矩形，故D正确；

故选：C.

【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性

质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键.

8.(2022•江苏连云港•统考中考真题)如图，将矩形ABC。沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、。恰好

都落在点。处，且点G、0、C在同一条直线上，同时点E、0、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结

论：①GF〃EC；@AB~AD；③GE=&DF；④。C=2√∑O尸；(S)∆C0F^∆CEG.其中正确的是()

【答案】B

【分析】由折叠的性质知/尸GE=90。，NGEC=90°,点G为40的中点，点E为AB的中点，设4O=8C=24,

AB=CD=2b,在HACDG中，由勾股定理求得6=夜跖然后利用勾股定理再求得川7=/O=苴，据此求解即

可.

【详解】解：根据折叠的性质知/DG尸=NoG凡NAGE=ZOGE,

：.ZFGE=ZOGF+ZOGE=∣(ZDGO+ZAGO)=90°，

同理NGEC=90°,

/.ZFGE+ZGEC=ISOo

：.GF//EC；故①正确；

根据折叠的性质知DG=GO,GA=GO,

：.DG=GO=GA,即点G为AO的中点，

同理可得点E为AB的中点，

设AD=BC=2a,AB=CD=2b,则DG-GO=GA=a,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,

GC=31,

在RtACDG中，CG2=DG2+CD2,

即(3a)2=q2+(26)2,

b=>∣2a，

ΛΛB=2√2α=√2ΛD,故②不正确:

¾DF=FO=X,则FC=2Z>-x,

在RfACOF中，CF2=OF2+OC2,

即(2⅛∙x)2=x2+(2α)2,

•.・白令即"多。=各

GE=√α2+b2=√3a,

・GE√3a∕τ^

=-a~=√O,

df五

：.GE=巫DF；故③正确;

.噌=*=2√Σ,

√2

.∙.0C=2√∑0F;故④正确;

；NFCo与NGCE不一定相等,

.∙.ZkCOFsACEG不成立，故⑤不正确;

综上，正确的有①③④,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质

用含∙r的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空题

9.（2022•江苏无锡•统考中考真题）如图，正方形ABC。的边长为8,点E是CD的中点，HG垂直平分AE

且分别交AE、Be于点、H、G,则BG=.

【答案】1

【分析】连接AG,EG,根据线段垂直平分线性质可得AG=EG,由点E是CO的中点，得CE=4,设BG=x,

则CG=S-x,由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+√,求解即可.

【详解】解：连接AG,EG,如图，

："G垂直平分AE,

二AG=EG,

V正方形ABCD的边长为8,

/.ZB=ZC=90o,AB=BC=CD=8,

：点E是CO的中点，

ΛCE=4,

设BG=x,则CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=（8-X）2+42,AG2^AB2+BG2=S2+X2,

：.（8-x）2+42=82+X2,

解得：户1,

故答案为：I.

【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直

平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键.

10.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，将一个边长为20Cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭

动成四边形4BCD,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36Cm时才会断裂.若ZBAO=60。，则橡皮筋

AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：√3≈1.732）.

【分析】设扭动后对角线的交点为0,根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及

条件，得出AABD为等边三角形，利用勾股定理算出4。=IOg,从而得到4C,再比较即可判断.

【详解】解：设扭动后对角线的交点为。，如下图：

根据正方形的性质得,

得出扭动后的四边形四边相等为菱形,

AD=AB=20cm,

.•.△ABD为等边三角形,

∙∙∙BD=20cm,

.∙.BO=-BD=10cm,

2

.∙.AO=∖∕AB2—BO2=lθV3cm,

根据菱形的对角线的性质：AC=2AO=20√3≈34.64（cm）,

•••34.64<36,

•••AC不会断裂，

故答案为：不会.

【点睛】本题考查J'正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱

形的判定及性质.

11.（2022•江苏苏州•统考中考真题）如图，在平行四边形ABCZ）中，ABJ.ZC,AB=3,AC=4,分别以A,

C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与BC交于点E,与4。

交于点凡连接4E,CF,则四边形AEeF的周长为

N

【答案】10

【分析】根据作图可得MNl4C,且平分4C,设ZC与MN的交点为。，证明四边形ZECF为菱形，根据平行

线分线段成比例可得AE为△4BC的中线，然后勾股定理求得8C,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半可得4E的长，进而根据菱形的性质即可求解.

【详解】解：如图，设AC与MN的交点为。，

根据作图可得MN1AC,且平分AC,

ʌAO=OC,

・・・四边形ZBCD是平行四边形，

∙∙AD∖∖BC,

：,∆FAO=∆OCEf

义•：乙AoF=乙COE,AO=CO,

AOF=△COE»

ʌAF=EC,

-AFWCEf

四边形ZECF是平行四边形，

∙.∙MN垂直平分4C,

・••EA—EC，

・•・四边形4ECF是菱形,

・・•ABLACfMNLACf

'.EFWAB,

ECOCY

Λ—=—=1,

BEAO

・・.E为BC的中点，

RtZkzWC中，AB=3,TlC=4,

・•・BC=ylAB2+AC2=5,

15

AE=-2BC=-2,

.∙.四边形AEeF的周长为4AE=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边

形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.

12.（2022・江苏常州・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，乙4=/.ABC=90o,DB平分乙4DC.若AD=1,

CD=3,则SinNABO=.

【答案】⅞

O

【分析】过点。作BC的垂线交于E,证明出四边形48ED为矩形，ABCD为等腰三角形，由勾股定理算出DE=

√5,BD=V6,即可求解.

【详解】解：过点。作BC的垂线交于E,

・・・乙DEB=90°

V∆A=∆ABC=90o,

・•・四边形4BED为矩形，

：・DE“AB,AD=BE=1,

ʌZ-ABD=Z-BDE,

・・・BD平分ZTIZ)C,

・•・Z.ADB=乙CDB,

YADllBE,

ʌ∆ADB=乙CBD,

：.ZCDB=ZCBD

・•・CD=CB=3,

VAD=BE=1,

二CE=2,

ʌDE=√DC2-CE2=√9≡4=√5,

.∙.BD=y∕DE2+BE2=√5+1=√6

.∙.sin∆BDE=—=ɪ=—,

βD√66

ʌSin乙48。=渔，

6

故答案为：£

【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造

直角三角形求解.

13.（2022•江苏连云港•统考中考真题）如图，在团ABCC中，∆ABC=150°.利用尺规在BC、B4上分别截取

BE、BF,使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于IEF的长为半径作弧，两弧在NCBA内交于点G；作射线BG

交。C于点儿若AD=√3+l,贝IjBH的长为.

【答案】√2

【分析】如图所示，过点H作HMLBC于例，由作图方法可知，BH平分NABC,即可证明NC8”=NCH8,

得到CH=8C=百+1,从而求出”M,CM的长，进而求出的长，即可利用勾股定理求出8H的长.

【详解】解：如图所示，过点，作BC于M,

由作图方法可知，BH平分/ABC,

...NABH=NCBH,

∙.∙四边形ABCD是平行四边形，

ΛBC=∕1D=√3+1,ABWCD,

."CHB=NABH,ZC=180o-ZABC=30°,

，ZCBH=ZCHB,

：.CH=BC=y∕3+l,

.'.HM=-CH=-,

22

：.CM=√CW2-CM2=—,

2

：.BM=BC-CM=—,

2

：.BH=yjHM2+BM2=√2,

故答案为：√2.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性顺，含30度角的直角三角形的性质，勾股

定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键.

14.（2021•江苏南京・统考中考真题）如图，将EMBCD绕点A逆时针旋转到⅛4B'C'D'的位置，使点夕落在BC

上，B'C'与CO交于点E,若AB=3,BC=4,BB，=1,则CE的长为.

【分析】过点C作CM〃C'D咬B'C'于点例,证明44BB'S，求得C，。=|,根据AAS证明ZMBB'三ΔB'CM

可求出CM=I,再由CM//C'。'证明4CMESΔDC'E,由相似三角形的性质查得结论.

【详解】解：过点C作CM/O交夕C'于点M,

：平行四边形A8C。绕点A逆时针旋转得到平行四边形∕B'C'D'

：.AB=AB',AD=AD',乙B=乙ABC=乙D=∆D',/.BAD=∆B'AD'

.".∆BAB'=Z.DAD',乙B=乙D'

.∖ΔABB'SΔADD'

.BB,_AB_AB_3

**DD1-40-8C-，

•；BB，=1

：.DD'=-

3

：.CD=CD'-DD'

=CD-DD'

=AB-DD'

4

=3~3

_5

=W

∙.∙∆AB'C=∆AB'C'+∆CB,M=∆ABC+乙BAB'

：.NCB'M=4BAB'

"：B'C=BC-BB'=4-1=3

：.B'C=AB

"：AB=AB'

：.ZABB'=∆AB'B=∆AB'C'

"JAB'∕∕CD',CD'//CM

：.AB'//CM

.∖ZAB,C,=∆B,MC

：.ZAB,B=∆B,MC

在44B夕和48'MC中，

∆BAB,=∆CB,M

乙AB'B=乙B'MC

AB=B,C

.∖ΔABB,=ΔB,CM

：.BB'=CM=I

∙/CM∕∕C,D

：./\CME-ΔDC,E

.CM__CF_1__3

••芯=赤=W=W

3

・

.,一CE=-3

CD8

：.CE=-CD=-AB=-×3=-

8888

故答案为：

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判

定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键.

15.（2021•江苏苏州・统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，NABC=70。，延长BC到E,在NZ）CE内作

射线CM,使得4ECM=15。，过点。作DFICM,垂足为F,若DF=®则对角线BD的长为.（结

果保留根号）

【答案】2√5

【分析】先由菱形的性质得出NDCE=70。,求得ZDCF=55。,再根据直角三角形两锐角互余得ZCDF=35°,

连接AC交8。于点O,根据菱形的性质得/DOC=90。，/.BDC=35%根据AAS证明4CO。mZlC。尸可得

DO=DF—Λ∕5,从而可求出BZ）=2Λ∕5.

【详解】解：连接AC,如图，

・・・四边形ABC。是菱形，

ΛAB∕∕CD,∆DOC=90o,BD=2DO

：.（DCE=∆ABC=70°

VzECM=15°

∙"DCM=55°

VDF1CM

LCDF=35°

Y四边形ABCQ是菱形，

."CDB=izτlDC=iZTlfiC=35°

22

.'./.CDF=乙CDo

在ZCD。和4CDF中，

乙CDO=乙CDF

乙COD=4CFD=90°

CD=CD

.∖ΔCDO^ΔCDF

：.DO=DF=正

：.BD=2DO=2√5

故答案为：2瓜

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明4CD。丝/CDF是解答此

题的关键.

16.（2021・江苏盐城・统考中考真题）如图，在矩形/BCD中，力B=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上一

点，EFLAE,将△ECF沿EF翻折得△ELF,连接ZC',当BE=时，△4EC'是以AE为腰的等腰三

角形.

【答案】甜W

【分析】对4∕1EC'是以4E为腰的等腰三角形分类讨论，当AE=EC'时，设BE=X,可得到EC=4--再

根据折叠可得到EC=EC'=4-X,然后在RtAABE中利用勾股定理列方程计算即可；当AE=AC，时，过A

作AH垂直于EC'于点"然后根据折叠可得到4C'EF=NFEC,在结合EFLZE,利用互余性质可得到NBEA=

N4EH,然后证得AABEg进而得到BE=HE,然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH=CH,

然后在根据数量关系得到BE=⅛C=ς.

33

【详解】解：当AE=EC'时，设BE=X,则EC=4-x,

ECF沿EF翻折得△ECF,

：.EC=EC'=4-X,

在Rt△A8E中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB?即(4-X)2=X2+32,

解得：

x=O-

当4E=4C'时，如图所示，过A作AH垂直于Ec，于点”，

'：AHlEC',AE=AC',

：.EH=CH,

∖'EFLAE,

.∖∆C'EF+ΛAEC'=90°,Z.BEA+4FEC=90°

ECF1AEF翻折得△ECF,

：.乙CEF=乙FEC,

."BEA=ΛAEH,

乙B=乙AHE

⅛ΔAβE⅛∣ΔAHE^∖∆AEB=∆AEH，

AE=AE

：.∕∖ABE^AAHE(AAS),

：・BE=HE,

：・BE=HE=HC'

：,BE=LEe

2

9JEC=EC,

：.BE=-EC,

2

14

：・BE=LBC=t,

33

综上所述，BE=鸿,

故答案为：(或1

【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，

然后结合勾股定理计算即可.

三、解答题

17.(2022•江苏徐州・统考中考真题)如图，在平行四边形ABC。中，点E、F在对角线8。上，且BE=DF.求

证：

(l)∆ABEqACDF;

(2)四边形AEC尸是平行四边形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得A8∣∣CD,AB=CD,根据平行线的性质可得NABE=4CDF,结合

已知条件根据SAS即可证明△ABE≤ΔCDF-.

(2)根据△ABE≤∆CDF可得AE=CF,∆AEB=NCFD,根据邻补角的意义可得N/1EF=乙CFE,可得AEIICF,

根据一组对边平行且相等即可得出.

【详解】(1)证明：解：•・•四边形ABCD是平行四边形,

：.AB∖∖CDfAB=CD1

：.^ABE=乙CDF,

又BE=DF,

MABE王ACDF(SAS)；

(2)证明：•：&ABE"CDF,

：.AE=CF/AEB=乙CFD

・∙・Z-AEF=乙CFE

：.AE∖∖CFf

.∙.四边形AEC尸是平行四边形

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定

是解题的关键.

18∙(2022∙江苏无锡•统考中考真题)如图，在%BCQ中，点。为对角线8。的中点，EF过点。且分别交

AB.QC于点E、F,连接。E、BF.

(I)ADOF旦BOE；

Q)DE=BF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明ΛDOF^ABOE；

(2)证明四边形BEr)B的对角线互相平分，进而得出结论.

【详解】(1)证明：；四边形ABCD是平行四边形，。是8。的中点，

.∖AB∕∕DC,OB=OD,

.∙.ZOBE=ZODF.

ZOBE=乙ODF

在ABO石和△£)(?/中，OB=OD,

ZBoE=Z.D0F

：,/XBOEQ∕∖DOF(ASA)；

(2)证明：V∆B0E^∆D0F,

；・EO=FO,

•：OB=OD,

・・・四边形BED尸是平行四边形.

：.DE=BF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判

定和性质，证明三角形全等是解决问的关键.

19.(2021•江苏淮安・统考中考真题)已知：如图，在QABC。中，点E、尸分别在AO、5C上，且3E平分NA3C,

EF//AB,求证：四边形ABFE是菱形.

【分析】先证四边形AB正是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE,依据有一组邻边

相等的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】证明：・・・四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

EF//ABf

・・・四边形ABFE是平行四边形，

TBE平分NABC

NABE=NFBE,

∖9AD∕∕BC,

：./AEB=NEBF,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

.∙.平行四边形ABFE是菱形∙

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识

进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形.

20.（2022•江苏淮安・统考中考真题）如图，已知线段AC和线段α.

III_________g_________I

AC

（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）

①作线段4C的垂直平分线交线段4C于点。；

②以线段AC为对角线，作矩形ZBCD,使得ZB=α,并且点B在线段AC的上方.

（2）当AC=4,α=2时，求（1）中所作矩形ABC。的面积.

【答案】（1）①见解析；②见解析

⑵矩形ZBCD的面积为4遮

【分析】（1）①分别以点A，C为圆心，以大于TAC为半径画弧，两弧分别交于点M,N,作直线MN与线段

4C交于点O,则MN所在直线为线段AC的垂直平分线；

②以点。为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段。的长为半径画弧，两弧在线段4C上方交于

点8,同理，以点。为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段"的长为半径画弧，两弧在线段AC

下方交于点力，连接4D,CD,4B,BC,即可得矩形4BCD.

（2）根据矩形的性质可知道RtZiABC,根据勾股定理可求出BC的长度，由此即可求出矩形的面积.

【详解】（1）解：①线段ZC的垂直平分线，如图所示，

②如图，矩形ABS即为所求.

(2)解：如图所示,

：在矩形ABC。中，AC=4,α=2,4B=4。=90。，

在RtΔ4BC中，BC=>∕AC2-AB2=√42-22=2√3,

二矩形4BCD的面积是AB∙BC=2×2√3=4√3,

故答案是：4√3.

【点睛】本题主要考查垂直平分线，矩形的性质，勾股定理，掌握垂直平分线，矩形的性质，勾股定理是

解题的关键.

21.(2017•江苏镇江♦中考真题)如图,点B、E分别在4C、£>F上,AF分别交8。、CE于点M、N,乙4=4尸/1=z2.

(1)求证:四边形BCED是平行四边形；

(2)已知DE=2,连接BN,若BN平分NDBC,求CN的长.

【答案】(I)见解析；(2)2

【分析】(1)根据乙4=4F,可得至IJDE〃BC,又由Nl=z2,Jizl=NDM/,可得到NDMF=42,即可得出结论.

(2)由。B〃EC,可得至此CNB=NOBN,从而得至此CNB=NC8N,则有CN=BC,即可求解.

【详解】(1)证明:•••乙4=乙£

.'.DE//BC,

Vzl=42,且Nl=∆DMF,

.∖∆DMF=42,

.∖DB∕∕EC,

则四边形BCED为平行四边形.

(2)解:YBN平分4DBC,

.'.Z.DBN=4CBN,

'：EC//DB,

LCNB=乙DBN,

：.Z.CNB=Z.CBN,

：.CN=BC=DE=2.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定,解题的关键是熟练掌

握相关知识并会灵活应用.

22.(2021・江苏宿迁・统考中考真题)在①AE=Ca②OE=OF；③BE〃。尸这三个条件中任选一个补充在下

面横线上，并完成证明过程.

己知，如图，四边形ABCQ是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E、F在AC上，(填

写序号).

求证：BE=DF.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【分析】若选②，即OE=OF:根据平行四边形的性质可得BO=DO,然后即可根据SAS证明△BoE畛ADOF,

进而可得结论；若选①，即AE=C/；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若

选③，即BE〃。凡则N8EO∕E>F0,再根据平行四边形的性质可证△BOE岭AOO凡于是可得结论.

【详解】解：若选②，即OE=OF;

证明：：四边形ABS是平行四边形，

：.BO^DO,

V0E=0F,ZBOE=ZDOF,

.∖∕∖B0E^ΛD0F(SAS),

：.BE=DF-,

若选①，BPAE=CFi

证明：；四边形ABCD是平行四边形，

：.BO=DO,AO=CO,

'：AE=CF,

：.OE=OF,

又/BOE=NDOF,

.∖∕∖B0E^Δ,D0F(SAS),

：.BE=DF-,

若选③，即8E〃。尺

证明：；四边形ABC。是平行四边形,

：.BO=DO,

`:BE//DF-,

二NBEO=NDFO,

又NBoE=NDOF,

.MBOEgdDOF(AAS),

：.BE=DF；

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形

的性质和全等三角形的判定是关键∙

23.(2022•江苏常州•统考中考真题)在四边形ABCD中，。是边BC上的一点.若△04B三△OCD,则点。叫

做该四边形的“等形点

(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如图，在四边形力BCC中，边BC上的点。是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=4√2,OA=5,BC=12,

连接AC,求AC的长；

(3)在四边形EFGH中，EHHFG.若边FG上的点。是四边形EFGH的“等形点”，求器的值.

OG

【答案】(1)不存在，理由见详解

(2)4√5

(3)1

【分析】(1)根据“等形点'’的概念，采用反证法即可判断；

(2)过A点作AMLBC于点M,根据“等形点”的性质可得A8=CC=4√ΣOA=OC=5,OB=I=OD,设Mo=α,

则BM=BO-Mo=7-α,在用AABM和RfAAOM中，利用勾股定理即可求出AM,则在Rr△AMC中利用勾股

定理即可求出4C；

(3)根据“等形点”的性质可得OF=。"，0E=0G,ZEOF=ZGOH,再根据EHlIFG,可得NEoF=NoEH,

ZGOH=ΛEHO,即有NoEH=NoHE,进而有OE=OH,可得OF=OG,则问题得解.

【详解】(1)不存在，

理由如下：

假设正方形A8CZ)存在“等形点”点。，即存在△04B丝AOCZ),

：在正方形ABCD中，点。在边BC上，

.∙.ZABO=90o,

,：Λ0AB^Λ0CD,

：./ABO=/80=90°,

：.CDLDO,

VCDlBC,

：.DO∖∖BC,

Y。点在BC上，

：.DO与BC交于点0,

.∙.假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

(2)如图，过A点作AMLBC于点M,如图,

：。点是四边形ABCD的“等形点”，

.♦.△0AB岭ZXOCO,

：.AB=CD,0A=0C,OB=OD,ZA0B=ZC0D,

VCD=4√2,OA=5,BC=12,

：.AB=CD=4V2,OA=OC=5,

.∙.OB=BC-OC=12-5=1=OD,

'JAMLBC,

：.NAMO=90°=NAMB,

设MOa,则BM=BO-MO=J-a,

在RAABM和Rf△AOM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

：.AB2-BM2=AO2-MO2,BP(4√2)2-(7-α)2=52-a2,

解得：α=3,即M。=3,

.∙.MC=M0+0C=3+5=8,AM=^AO2-MO2=√52-32=4

在RtAAMC中，AC=yjAM2+MC2=√42+82=4√5,

即AC的长为4西；

(3)如图，

•；O点是四边形EFGH的“等形点”，

.∖∕∖OEF^ΛOGH,

：.OF=OH,OE=OG,NEOF=NGOH,

'：EH∖∖FG,

：.ZEOF=ZOEH,ZGOH=ZEHO,

.∙.根据NEOF=ZGOH有ZOEH=ZOHE,

：.OE=OH,

<OF=OH,OE=OG,

二OF=OG,

...——OF=1..

OG

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三

角形的性质是解答本题的关键.

24.（2022•江苏无锡・统考中考真题）如图，已知四边形ABCQ为矩形4B=2√Σ,BC=4,点E在BC上，

CE=AE,将^ABC沿4C翻折到△AFC,连接EF.

（1）求EF的长；

⑵求sin/CEF的值.

【答案】（1）√I7

（2⅛√34

【分析】(1)先由RtΔ4BE可求得AE的长度，再由角度关系可得ZFAE=90。，即可求得E尸的长；

(2)过f作FM_LCE于M,利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.

【详解】(1)设BE=X,则EC=4-X,

•.AE=EC=4-%,

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,

Λ(2√2)2+X2=(4一x)2,

.∖x=1,

：・BE=1,AE=CE=3,

*：AE=ECf

ΛZl=z2,

Vz½5C=90o,

/.ZCylF=90o-Z2,

ΛzC∕JF=90o-zl,

由折叠可知AFACWABAC,

：.∆FAC=乙CAB=90°-Zl,AF=AB=2√2,

."FAC+41=90°,

."FAE=90°,

J(2√2)z+32=√17.

在RtAFAE中，EF=√ΛF2+AE2=

(2)过F作FN_L8C于M,

/尸ME=NFMC=90°,

设EM=W则EC=3-a,

在RtZkFME中，FM2=FE2-EM2,

在RtAFMC中，FM2=FC2-MC2,

.,.FE2-EM2=FC2-MC2,

：.(√17)2-α2=42-(3-a)2,

•..a=一5,

.∙.EM=∣,

.∙.FM=J(√17)2-(|)2=∣√2,

【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关

键.

25.(2022•江苏南通・统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运动，将AE绕

点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于NBAC,连接CF.

(1)当点E在BC上时，作尸MLAC,垂足为M,求证AM=4B；

(2)当4E=3√Σ时，求CF的长；

(3)连接OF,点E从点B运动到点。的过程中，试探究OF的最小值.

【答案】(1)见详解

(2)√3^√13

(3)|

【分析】(1)证明△ABE=AAMF即可得证.

(2)分情况讨论，当点E在BC上时，借助△力BEmAAMF,在Rt△CMF中求解：当点E在C。上时，过

点E作EGlAB于点G,尸”，4C于点H,借助△AGE≤∆AHF并利用勾股定理求解即可.

(3)分别讨论当点E在BC和CQ上时，点F所在位置不同，。尸的最小值也不同，综合比较取最小即可.

(1)

如图所示，

由题意可知，/-AMF=∕.B=90o,/.BAC=Z.EAF,

・•・Z.BAE=Z-MAF,

由旋转性质知：AE=AF,

在AABE和△力MF中，

∆B=乙AMF

{∆BAE=∆MAF,

AE=AF

ABE≡ΔAMF,

AM=AB,

(2)

当点E在BC上时，

在RtMBE中，AB=4,AE=3√2,

则BE=√ΛF2-AB2=√2,

在RtMBC中，AB=4,BC=3,

则力C=yjAB2+BC2=5,

由(1)可得，MF=BE=

在RtACMF中，MF=√2,CM=AC-AM=5-4=1,

则CF=NMF2+CM2=√β,

当点E在Co上时，如图,

过点E作EGLAB于点G,FHLAC于点，，

同(1)可得AZGE=ΛAHF,

.∙.FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=√32+22=√13;

故CF的长为W或√R.

(3)

如图1所示，当点E在BC边上时，过点Q作DH1FM于点H,

由(1)知，Z.AMF=90°,

故点尸在射线M尸上运动，且点产与点”重合时，。，的值最小.

⅛E∆CMJ-⅛∆C7λ4中，

ECMJ=∆ADC

{∕MC/=∆ACD,

・•・Rt△CMJ〜Rt△CDA,

.CM_MJ_CJ

∙∙CD~AD~ACf

即..」=%=?

435

.∙.MJ=∣,CJ=ɔ

DJ=CD-CJ=4-}=*

在ACMJ与ADHJ中,

KCMJ=Z.DHJ

工CJM=乙DJH'

：,Rt△CMJ〜Rt△DHJ,

.CM_CJ

*=^~~,

∙DHDJ

BΓ⅛=⅛

4

DH=y,

故DF的最小值装;

图1

如图2所示，当点E在线段Cz）上时，将线段A。绕点A顺时针旋转/BAC的度数，得到线段AR,连接FR,

过点。作DQIAR,DK1FR,

由题意可知，∆DAE=∆RAF,

在△4RF与A4DE中，

AD=AR

{ΛDAE=/-RAF,

AE=AF

・•・△ADE≡ΔARFf

・••URF=乙ADE=90°,

故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，OF的值最小：

由于。QIAR,DK1FR,Z.ARF=90°,

故四边形。QRK是矩形；

.∙.DK=QR,

412

∙∙∙AQ=AD∙cosZ-BAC=3X-=—,

VAR=AD=3,

故此时QF的最小值为|；

由于|<£,故OF的最小值为|.

B

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角

三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.

26.(2022•江苏镇江・统考中考真题)已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCC的边4B、BC、CD、ADl..

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AHAB-.

(2)如图2,己知4E=4H,CF=CG,当4E、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形;

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点O,OE-OF=4:5,己知正方形ABe。的边长为16,FH长为20,当

△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)AE=CF

(3)平行四边形，证明见解析

【分析】(I)利用平行四边形的性质证得NBEF=乙4HE,根据角角边证明△4EH三ABFE.

(2)当AE=CF,证得ZkAEHmZiFCG,△EBF是等腰直角三角形，NHEF=NEFG=9。。,即可证得四边形

EFGH是矩形.

(3)利用正方形的性质证得4EGD为平行四边形，过点H作HM,BC,垂足为点M,交EG于点、N,由平行线

分线段成比例，设OE=4x,OF=5x,HN=h，则可表示出HN,从而把△。£77的面积用X的代数式表示

出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG,OF=OH,即可证得平行四边形.

【详解】（1）Y四边形。为正方形，

・・・乙4=乙B=90°,

：.∆AEH+乙AHE=90°.

・・・四边形EFGH为正方形，

：.EH=EF,4HEF=90。,

.∖∆AEH∆BEF=90°,

:•乙BEF=∆AHE.

在MEH和ABFE中，

V∆A=∆B=90°,(AHE=乙BEF,EH=FE,

：.△AEHWABFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE^BE=ABx

(2)AE=CF；证明如下：

・・・四边形4BCD为正方形，

Λ∆A=乙B=90o,AB=BC=AD=CD,

♦；AE=AH,CF=CGtAE=CF,

：.AH=CG,

C.LAEH三AFCG,

：.EH=FG,

VAE=CF,

：.AB-AE-BC-CF,B∣JBE=BFf

・・・ZkEBF是等腰直角三角形，

/.NBEF=NBFE=45。,

YAE=A",CF=CG,

：.NAEH=NCFG=45。,

：.NHEF=/EFG=90。,

J.EH//FG,

，四边形MG”是矩形.

(3)Y四边形力BCD为正方形,

.∖AB∖∖CD.

9：AE=DG,AEWDG,

・・・四边形4EGD为平行四边形.

：.AD∖∖EG.

：.EG∖∖BC.

过点H作HMJ_BC,垂足为点M,交EG于点N,

.HN_HO

**HM~HF'

VOEzOF=4:5,

设OE