高中数学必修2课时素养评价13-2-3-3距离直线与平面所成的角

课时素养评价三十距离、直线与平面所成的角(20分钟35分)1.在正三棱锥PABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选C.作PH⊥平面ABC于H,连接CH并延长,交AB于D,连接PD,由PH·CD=PC·PD,求得PH=QUOTEa.2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.A1B1∥面D1EF,所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离.在△A1D1E中,过A1作A1H⊥D1E交D1E于H,显然A1H⊥面D1EF,则A1H即为所求,在Rt△A1D1E中,A1H=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥平面BB1C所以AE⊥DE,因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE,设AB=a,则AE=QUOTEa,DE=QUOTE,即有tan∠ADE=QUOTE,所以∠ADE=60°.答案:60°4.已知正方形ABCD的边长为1,线段PA垂直于平面ABCD,且PA=1,则点P到点C的距离为________.

【解析】如图,连接AC,则AC=QUOTE.又PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD.所以PA⊥AC,又PA=1,所以在Rt△PAC中,PC=QUOTE.答案:QUOTE5.如图,边长为2QUOTE的正方形ABCD在α上的射影为EFCD,且AB到α的距离为QUOTE,则AD与α所成的角为________.

【解析】在Rt△AED中,AE=QUOTE,AD=2QUOTE,所以∠ADE=30°.答案:30°6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AC边上的一个动点,则PM的最小值为________.

【解析】作CH⊥AB交AB于H,连接PH.因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,则当点M在H处时,PH最小.因为AC=8cos60°=4,所以CH=4sin60°=2QUOTE,所以PH=QUOTE=2QUOTE,即PM的最小值为2QUOTE.答案:2QUOTE(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.空间四点A,B,C,D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则点P与Q的最小距离为 ()A.QUOTE B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选B.当P,Q为中点时,PQ为AB和CD的公垂线,此时最短,求出得PQ=QUOTEa.2.如图所示,AA′⊥平面A′B′B,BB′⊥A′B′,∠BAB′=QUOTE,∠ABA′=QUOTE,则AB∶A′B′等于 ()A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3【解析】选A.由∠BAB′=QUOTE,∠ABA′=QUOTE,设AB=2a,经计算BB′=QUOTEa,A′B=QUOTEa,所以在Rt△BB′A′中得A′B′=a,所以AB∶A′B′=2∶1.3.在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC上的射影H必在 ()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】选A.在四面体ABCD中,因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,又平面ABC∩平面ABD=直线AB,故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上.4.已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,点A∈m,点B∈n,记点A,B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则 ()A.b≤c≤a B.a≤c≤bC.c≤a≤b D.c≤b≤a【解析】选D.如图:α∥β,考虑m,n异面时,m和n的距离等于α,β间的距离,点A到n的距离为:过A作AO⊥β于O,过O作OC⊥n于C,则AC为A点到直线n的距离,显然,此时c≤b≤a.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离可能是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选AC.若A,B在α同侧,如图①,则P到α的距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α的距离为PO′OO′=32=1.6.如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,SD⊥底面ABCD,则在下列说法中,正确的是 ()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角D.AC⊥SO【解析】选ABCD.连接SO,如图所示:因为四棱锥SABCD的底面是正方形,所以AC⊥BD,因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为BD∩SD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则A正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,则B正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则C正确;因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,所以AC⊥SO,则D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.下列说法:①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是QUOTE;②直线与平面所成的角的取值范围是QUOTE;③若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;④若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等.其中正确的是________(填序号).

【解析】②应为QUOTE;③中这两条直线可能平行,也可能相交或异面.答案:①④8.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________.

【解析】作AE⊥BC于点E,连接PE,则BC⊥平面PAE,可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上,故∠APE为所求的角.AE=ABsin45°=QUOTE,所以tan∠APE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在棱长均为a的正三棱柱中,D为AB中点,连接A1D,DC,A1C(1)求证:BC1∥平面A1DC;(2)求BC1到平面A1DC的距离.【解析】(1)如图所示,连接AC1交A1C于E,连接DE,则DE∥BC1,而DE⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1所以BC1∥平面A1DC.(2)由(1)知BC1∥平面A1DC,所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离.所以求C1到平面A1DC的距离即可.因为平面A1DC过线段AC1的中点,所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离.由题意知CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线,垂足H在A1D上.在Rt△A1AD中,A1A·AD=A1D·AH,解得AH=QUOTEa,即BC1到平面A1DC的距离为QUOTEa.10.如图,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD,PA=2c,Q是PA的中点,连接QB,QD,BD.求:(1)Q到BD的距离;(2)P到平面BQD的距离.【解析】(1)在矩形ABCD中,作AE⊥BD,E为垂足,连接QE,因为QA⊥平面ABCD,所以QA⊥BD,又AE∩QA=A,所以BD⊥平面AEQ,得QE⊥BD,所以QE的长为Q到BD的距离.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,所以AE=QUOTE.在Rt△QAE中,QA=QUOTEPA=c,所以QE=QUOTE=QUOTE.所以Q到BD的距离为QUOTE.(2)因为平面BQD经过PA的中点Q,所以P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离.在△AQE中,作AH⊥QE,H为垂足.因为BD⊥AE,BD⊥QE,所以BD⊥平面AQE.所以BD⊥AH,所以AH⊥平面BQE,即AH为A到平面BQE的距离.在Rt△AQE中,因为AQ=c,AE=QUOTE,所以AH=QUOTE.所以P到平面BQD的距离为QUOTE.1.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,则点C到平面ABC1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图,取AB的中点E,连接CE,C1E,过点C作CF⊥C1E,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,则AB⊥CC1,因为△ABC是等边三角形,所以AB⊥CE,又CE∩CC1=C,所以AB⊥平面CC1E,因为CF⊂平面CC1E,所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABC1,则CF的长即为所求.在Rt△CEC1中,CC1=1,CE=QUOTEAB=QUOTE,所以C1E=QUOTE=QUOTE,由等面积得CF=QUOTE=QUOTE.2.如图,已知AB是圆O的直径,C为圆上一点,AB=2,AC=1,P为☉O所在平面外一点,且PA垂直于☉O所在平面,PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,C为圆上一点,所以BC⊥AC.又因为P