2021新高考数学新课程一轮复习学案第十章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理[考纲解读]1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)．(重点)2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题．预测2021年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有eq\o(□,\s\up3(01))几类不同的方案．在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法完成一件事需要eq\o(□,\s\up3(02))n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法结论完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法2．两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立不重不漏步步相依缺一不可1．概念辨析(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)从甲地到乙地，每天飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有()A．22种B．33种C．300种D．3600种答案B解析由分类加法计数原理，知共有5＋10＋6＋12＝33种出行方案．(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．32种C．25种D．16种答案D解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，知共有24＝16种不同的走法．(3)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A．6B．12C．24D．36答案A解析分两步：第一步确定a，由a<0，知有3种方法，第二步确定b，由b>0，知有2种方法，由分步乘法计数原理，得到第二象限上的点的个数是3×2＝6.(4)如图，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有________条不同的路径．答案9解析分以下三种情况计数：①第一层有3×2＝6条路径；②第二层有1条路径；③第三层有2条路径；由分类加法计数原理，知共有6＋1＋2＝9条路径．题型一分类加法计数原理的应用1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有()A．12个B．16个C．28个D．32个答案C解析解法一：若焦点在x轴上，则a>b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．若焦点在y轴上，则b>a，b＝3时，有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个，b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．解法二：椭圆中a≠b，而a＝b有4种情况，故椭圆的个数为4×8－4＝28.2．(2019·西城区一模)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．答案32解析根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d的范围是－3到3，①当公差d＝0时，有Ceq\o\al(1,8)＝8种，②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×Ceq\o\al(1,6)＝12种，③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×Ceq\o\al(1,4)＝8种，④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×Ceq\o\al(1,2)＝4种，综上共有8＋12＋8＋4＝32种．1.分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算.(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2.使用分类加法计数原理应遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解.1.甲、乙、丙三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A.4种B．6种C．10种D．16种答案B解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的有3种踢法.由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．故选B.2.(2019·重庆模拟)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6)中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________.答案20解析依题意可知，当a＝1时，b＝5,6,2种情况；当a＝2时，b＝5,6,2种情况；当a＝3时，b＝4,5,6,3种情况；当a＝4时，b＝3,5,6,3种情况；当a＝5或6时，b各有5种情况.由分类加法计数原理，得点P的个数为2＋2＋3＋3＋5＋5＝20.题型二分步乘法计数原理1.(2019·湖南师范大学附中模拟)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是()A.100B．96C．60D．30答案C解析由题意可知，只要确定了m，n即可确定，则可确定一个有序数对(m，n)，则对于数m，利用分步计数原理，第一位取法有3种：0,1,2；第二位取法有1种：0；第三位取法有2种：0,1；第四位取法有10种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；所以值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.2.某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母G，L中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主从左到右第一个号码只想在1,3,5,7中选择，其他号码只想在1,3,6,8,9中选择，则供他可选的车牌号码的种数为()A.21B．800C．960D．1000答案D解析分步完成．从左到右第一个号码有4种选法，第二个号码有2种选法，第三个号码有5种选法，第四个号码有5种选法，第5个号码有5种选法，共有4×2×5×5×5＝1000种不同的选法.1.分步乘法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算.(2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各个步骤都完成，才算完成这件事.2.应用分步乘法计数原理的注意点(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事.(2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有________种.答案48解析先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有Ceq\o\al(1,6)种方法；再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有Ceq\o\al(1,4)种方法；然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，有Ceq\o\al(1,2)种方法．故不同的固定方式共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝48种题型三两个计数原理的综合应用角度1与数字有关的问题1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A.144个B．120个C．96个D．72个答案B解析由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数．故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).角度2涂色、种植问题2.(2020·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻的两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()A.12B．24C．30D．36答案C解析按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(种)，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.角度3分配问题3.(2020·山西大学附中模拟)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A.72种B．36种C．24种D．18种答案B解析2名内科医生，每村1名，有2种分法.3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，可分1名外科医生、2名护士和2名外科医生、1名护士．若甲村有1名外科医生、2名护士，有3×3＝9(种)分法，其余的分到乙村．若甲村有2名外科医生、1名护士，有3×3＝9(种)分法，其余的分到乙村．所以总的分配方案有2×(9＋9)＝2×18＝36(种).1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.与数字有关问题的解题思路一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步计数，当分类较多时，也可用间接法求解．见举例说明1.3.涂色(种植)问题的解题关注点和关键(1)关注点：分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键是对每个区域逐一进行分步处理．见举例说明2.4.分配问题的解题思路一般按分配规则总体分类，每类中再分步计数．如举例说明3.提醒：对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解.1．(2019·天津模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B．48C．72D．96答案C解析分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.2.为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________(用数字作答).答案24解析若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2＝12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2＝12(种)方案，所以共有24种推荐方案.3.回文数是指从左到右与从右