中考数学知识点练习真题-三角形解析版

第十四讲三角形

命题点1三角形及边角关系

1.（2021•宜宾）若长度分别是。、3、5的三条线段能组成一个三角形,则“的值可以是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解答】解：由三角形三边关系定理得：5-3<α<5+3,

即2<α<8,

即符合的只有4,

故选：C.

2.（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是

（）

A.1,1,IB.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

【答案】D

【解答］解：A>Vl+1+1=3<5,

.∙.此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

8、Vl+l+5=7<8,

.∙.此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

C、：1+2+2=5,

.∙.此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

D、；2+2+2=6>5,

.∙.此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；

故选：D.

3.（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长

是—.

【答案】4

【解答】解：设第三边为“，根据三角形的三边关系知，

4-1<Λ<4+1,BP3<a<5,

又∙.∙第三边的长是偶数，

：.a为4.

故答案为：4.

4.（2021•大庆）三个数3,1-a,1-2“在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长

能构成三角形，则。的取值范围为

［答案］-3V4<-2

【解答】解：・・・3,1-m1-2〃在数轴上从左到右依次排列,

Λ3<l-a<∖-2m

：.a<-2,

•・・这三个数为边长能构成三角形，

Λ3+(I-4)>1-2m

-3,

工-3V〃V-2,

故答案为-3<〃<-2.

命题点2三角形的内角和及内外角关系

5.（2021•梧州）在aABC中，NA=20°,N8=4NC,则NC等于（）

A.32oB.36oC.40oD.128°

【答案】A

【解答】解：VZA=20o,ZB=4ZC,

・•・在Z∖ABC中,ZA÷ZB+ZC=180°,

20o+4ZC+ZC=180o,

5ZC=160o,

ZC=32o.

故选：A.

6.（2021・湖北）如图，在448。中，/。=90°,点。在AC上，DE〃A8,若NCOE=160°,

则NB的度数为（）

【答案】D

【解答】解：YNCDE=160°,

ΛAADE=IQo,

u

：DE//AB1

：.ZA=ZADE=20°,

ΛZB=180o-NA-NC=I80°-20°-90°=70°.

故选：D.

7.（2021•陕西）如图，点。、E分别在线段BC、AC上，连接A。、BE.若NA=35°,Z

B=25°,NC=50°,则Nl的大小为（）

【答案】B

【解答】解：VZl=180-(NB+NADB),ZADB=ZA+ZC,

/1=180°-(ZB+ZΛ+ZC)

=180°-(25°+35°+50°)

=180°-IlOo

=70°,

故选：B.

8.（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则Nl的度数为（）

D.85°

【答案】B

VZ2=90o-30°=60°,

N3=180°-45°-60°=75°,

∖'a∕∕b,

Nl=/3=75°,

故选：B.

9.（2021•河池）如图，∕A=40°,NCB。是aABC的外角，ZCBD=120°,则/C的大

小是（）

A.90oB.80oC.60°D.40°

【答案】B

【解答】解：由三角形的外角性质得，ZC=ZCBD-ZA=120°-40°=80°.

故选:B.

10.（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则/1的度数为（）

C.75°D.105°

【答案】C

【解答】解：根据三角板的度数知，NABC=NAe8=45°,ND8C=30°,

.,.Z1=ZDBC+ZACB^30°+45°=75°,

H.（2021∙河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，NAC。是aABC的外角.求证：ZACD=ZA+ZB.

证法1：如图，

VZA+ZB+ZACB=180°（三角形内角和定理）,

又∙.∙∕ACD+NAC8=180°（平角定义），

ΛZACD+ZACB^ZA+ZB+ZACB（等量代换）.

.∙.∕ACC=∕A+NB（等式性质）.

证法2：如图，

VZA=76o,ZB=59o,

且/ACD=135°（量角器测量所得）

又∙.T35°=76°+59°（计算所得）

ΛZACD=ZA+ZB（等量代换）.

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

【答案】B

【解答】解：•••证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得

出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，

.∙.A的说法不正确，不符合题意：

∙.∙证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，

,B的说法正确，符合题意；

定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，

,C的说法不正确，不符合题意；

；定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，

,O的说法不正确，不符合题意；

综上，3的说法正确.

故选：B.

命题点3三角形的重要线段

类型一与中点有关的问题

12.（2018•贵阳）如图，在AABC中有四条线段OE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△

48C的中线，则该线段是（）

A.线段QEB.线段BEC.线段EFD.线段FG

【答案】B

【解答】解：根据三角形中线的定义知线段8E是448C的中线，

故选：B.

13.（2021•泰州）如图，四边形ABeQ中，AB=CC=4,且AB与CD不平行，P、M、N

分别是A。、BD、4C的中点，设APMN的面积为S,则S的范围是

【答案］0<SW2

【解答】解：作MELPM如图所示,

.∙.PM=ΛAB=2,PN=LD=2,

22

∙'∙SSPMN=y×PN×ME=ME,

"：AB⅛CD不平行,

：.M,N不能重合，

.∖ME>O

•：MEWMP=2

Λ0<5Δ≤2.

故答案是：O<SW2.

类型二与角平分线有关的问题

14.（2021•长沙）如图，在AABC中，NC=90°,4。平分/BAC交BC于点。，DElAB,

垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则的长为

【解答】解：:A。平分/BAC,DELAB,ZC=90°,

：.CD=DE,

；OE=1.6,

ΛCD=1.6,

：.BD=BC-CD^4-1.6=2.4.

故答案为：2.4

15.（2021•青海）如图，在四边形ABC。中,ZA=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平

分NABC,则aBCO的面积为（)

C.15D.无法确定

【答案】B

【解答】解：过。点作OEj_8C于E,如图,

平分∕A8C,DELBC,DA±AB,

.∙.OE=Λ4=3,

...△8C£>的面积=∙1X5X3=7∙5.

2

故选：B.

类型三与高有关的问题

16.（2021•罗湖区）如图，四边形ABC。中，AB//CD,NA3C=60°,A。=BC=CD=4,

点M是四边形ABC。内的一个动点，满足NAMD=90°,则点M到直线BC的距离的最

小值为

【解答】解：取AD的中点O,连接。例，过点M作MElBC交BC的延长线于E,过

点。作OFLBC于F,交Cn于G,则OM+ME》OF.

∙.∙∕AMO=90°,4。=4,O∖=OD,

.∙.OM=X1O=2,

2

∖'AB∕∕CD,

，NGC尸=NB=60°,

NOGO=/CGF=30°,

∖'AD=BC,

：.ZDAB=ZB=60°,

.∙.NAQC=NBCQ=I20°,

,N力OG=30°=NOGO,

：.DG=Do=2,

-：CD=4,

.,.CG=2,

：.OG=2OD∙cos30o=2M,GF=M,OF=3√3.

.∖ME^OF-OM=3->∕3-2，

.∙.当O,M,E共线时，ME的值最小，最小值为3√5-2.

命题点4等腰三角形

17.（2020•福建）如图，Ao是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,则CO等于（）

【答案】B

【解答】解：是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,

.∙.CD=5.

故选：B.

15.（2021•赤峰）如图，AB〃C。，点E在线段BC上，CD=CE.若NABC=30°,则NO

的度数为（）

C.65°D.30°

【答案】B

【解答】解：CD,

ΛZC=ZABC=30°,

RCD=CE,

.,.ZD=ZCED,

VZC+ZD+ZCED=180o,即30°+2/0=180°,

：.AD=ISo.

故选：B.

18.（2021•青海）已知”，。是等腰三角形的两边长，且4,6满足√2a-3b+5+（2a+3匕-13）

2=0,则此等腰三角形的周长为（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【解答】解：V√2a-3b+5+（2a+3b-13）2=0,

.f2a-3b+5=0

,,12a+3b-13=0,

解得：卜=2,

lb=3

当b为底时，三角形的三边长为2,2,3,周长为7；

当。为底时，三角形的三边长为2,3,3,则周长为8,

.∙.等腰三角形的周长为7或8.

故选：D.

19.（2021•娄底）如图，ZWBC中，AB=AC=2,P是BC上任意一点,PEj_AB于点E,

PFLAC于点凡若SAA8C=1,则PE+PF=.

【解答】解：如图所示，连接4P,则SC=SAACP+SAA8P,

,/PELAB于点E,PFLAC于点F,

"

..SΛACP=-AC×PF,SΛABP=-AB×PE,

22

又「SaABC=LAB=AC=2t

.∙.1=JLACXPF+ΛAB×PE,

22

g∣Ji^l,×2×PF+-×2×PE,

22

：.PE+PF=\,

故答案为；L

20.（2021∙朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5,0）,点M的坐标为（0,

4）,过点“作MN〃》轴，点P在射线MN上，若为等腰三角形，则点P的坐标

【解答】解：设点P的坐标为（x,4）,

：*PM=x,fi4=√42+(5-χ)2,

"：PM=PA,

Λ^√42+(5-X)2,解得：X=告,

.∙.点P的坐标为（9，4）；

10

②MP=MA,

；点A的坐标为（5,0）,点M的坐标为（0,4）,

.∖MP-x,MA=J^2+ʒ2=∙∕4i,

"JMP=MA,

•.χ=741,

点P的坐标为（√ZL4）；

③AM=A尸，

；点A的坐标为（5,0）,点M的坐标为（0,4）,

ΛΛP=√42+（X-5）2,AM=山2+52=</^,

"：AM=AP,

ʌy∣）2—V⅛l'解得：xi=10,JC2=0（舍去），

.∙.点P的坐标为（10,4）；

综上，点P的坐标为（丝，4）或（JR,4）或（10,4）.

10

故答案为：（生，4）或（痛，4）或（10,4）.

10

21.（2021•绍兴）如图，在AABC中，NA=40°,点。，E分别在边48,AC上，BD=BC

=CE,连结CD,BE.

（1）若NABC=80°,求NBDC,24BE的度数；

（2）写出NBEC与NBoC之间的关系，并说明理由.

【答案】（1）NEBC=60°,ZAβE=20a（2）NBEC+NBDC=110°

【解答】解：（1）VZAβC=80o,BD=BC,

.'.ZBDC^ZBCD=^-（180°-80°）=50°,

2

VZA+ZABC+ZACB^180°,NA=40°,

-8=180°-40--80°=60°,

'：CE=BC,

...△8CE是等边三角形，

NEBC=60°,

ZABE=ZABC-ZEBC=80°-60°=20°；

(2)/8EC与ZBi)C之间的关系：ZBEC+ZβDC=110o,

理由：设/BEC=α,ZBDC=β,

⅛∆ΛBfψ,α=NA+NΛBE=40°+ZABE,

'：CE=BC,

：.NCBE=NBEC=a,

：.ZABC=AABE+ZCBE=ZA+2ZABE=40°+2ZABE,

在aBOC中，BD=BC,

：.ZBDC+ZBCD+ZDBC=2β+40d+2∕4BE=180°,

Λβ=70o-ZABE,

.∙.a+B=40°+ZABE+70°-ZABE=IlOo,

.".ZBEC+ZBDC=\\0°.

命题点5等边三角形

22.(2020•铜仁市)己知等边三角形一边上的高为2√3,则它的边长为()

A.2B.3C.4D.4√3

【答案】C

【解答】解：根据等边三角形：三线合一，

设它的边长为X,可得：χ2=(y)2+(2√3)2-

解得：x=4f%=-4(舍去)，

故选：C.

【答案】B

【解答】解：过点B作3",AO于”点，∙.∙Z∖O4B是等边三角形,

.∙.O"=1,BH=¢.

，点B的坐标为（1,«）.

故选：B.

24.（2021・益阳）如图,48〃（7。,/\4€^为等边三角形，/。＜7后=40°,则/£48等于（）

A.40oB.30oC.20oD.15°

【答案】C

【解答】解：∙.∙AB"CQ,

.∙.ZDC4+ZCΛB=180o,即/L>CE+/ECA+∕E4C+NEAB=180°,

•；AACE为等边三角形，

.∙.NEC4=NEAC=60°,

...NEAB=180°-40°-60°-60°=20°.

故选：C.

命题点6直角三角形

类型一勾股定理及其应用

25.（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭

（jid）生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深儿何（丈、尺是长度单位，1

丈=10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有

一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达

池边的水面.水的深度是多少？则水深为（）

A.10尺B.Il尺C.12尺D.13尺

【答案】C

【解答】解：设水深为/!尺，则芦苇长为（Λ+l）尺,

根据勾股定理，得（∕z+l）2-h2=（10÷2）2,

解得h=12,

，水深为12尺,

故选：C.

26∙（2020∙广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闹（读kiln,

门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平

面示意图），推开双门，双门间隙CO的距离为2寸，点C和点。距离门槛A8都为1尺

（1尺=IO寸），则AB的长是（）

D.104寸

【答案】C

【解答】解：取AB的中点。，过。作。ELAB于E,如图2所示:

由题意得：OA=OB=AD=BC,

设OA=OB=AO=8C=r寸,

则AB=2r（寸），OE=Io（寸），OE=^CD=\（寸），AE=（r-1）寸,

2

在RtZVlOE中，AE1+DEi=AD2,

即（/--1）2+162-r1,

解得：∕∙=50.5,

Λ2r=101（寸）,

ΛAB=101寸,

故选：C.

图2

27.（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆

材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，

今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CO等于1寸，

锯道A8长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）

答：圆材直径寸.

【解答】解：过圆心。作0CL48于点C,延长OC交圆于点£>,连接OA,如图:

.".AC=BC=^AB,AD=BD.

2

则CO=I寸，AC=8C=LIB=5寸.

2

设圆的半径为X寸，则OC=（X-I）寸.

在RtZ∖OAC中，由勾股定理得：

52+（X-I）2=x2,

解得：X=13.

二圆材直径为2X13=26（寸）.

故答案为：26.

28.（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六

尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8

寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如

图，设门高AB为X尺，根据题意，可列方程为.

D

BC

【答案】（X-6.8）2+F=102

【解答】解：设门高AB为X尺，则门的宽为（X-6.8）尺，AC=I丈=10尺,

依题意得：AB2+BC2-AC2,

即Cx-6.8）2+xz-102.

故答案为：（χ-6.8）2+x2-102.

类型二直角三角形的性质及计算

29.（2021•新疆）如图，在RtZ∖A8C中，NACB=90°,ZA=30o,AB=4,CC_LAB于

点。，E是AB的中点，则Z）E的长为（）

【答案】A

【解答】解：∙.∙∕4CB=90°,/4=30°,

.∙.NB=60°,

是A8的中点,A8=4,

ΛU-×4=2

ZXBCE为等边三角形，

,.,CD±AB,

.-.DE=BD=IBEU-X2=I,

故选：A.

30.（2018•陕西）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,ZA=65o,CD±AB,垂足为Q,

【答案】D

【解答】解：；N4CB=90°,ZA=65°,

.,.ZB=90o-65°=25°,

'：CDlAB,

ΛZCDB=90°,

：.ZDCB=65°,

'：CE=EB,

...DE=CE=EB,

；.NEDC=NECD=65°,

NOEC=180°-65°-65°=50°,

故选：D

31.（2020•常州）如图，AB是。。的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、8重合）,

CHlAB,垂足为H,点M是BC的中点.若。0的半径是3,则MH长的最大值是（）

【答案】A

【解答】解：:CHLAB,垂足为H,

：.NCHB=90°,

；点M是8C的中点.

LMH=工BC,

2

；BC的最大值是直径的长，。。的半径是3,

.∙.M”的最大值为3,

故选：A.

32.（2021・玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，

各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分

别位于点A,8处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船

沿方向航行.

［答案］北偏东50°

【解答】解：由题意可知：AP=}2,BP=16,A8=20,

V122+162=202,

ZiAPB是直角三角形，

ΛZAPB=Wa,

由题意知NAPN=40°,

：.NBPN=90°-NAPN=90°-40°=50°,

即乙船沿北偏东50°方向航行，

故答案为：北偏东50°.

33.（2020•黔西南州）如图，在RtAABC中，∕C=90°,点。在线段BC上，且∕B=30°,

ZADC=60o,BC=3√3）则8。的长度为.

【答案】2√3∙

【解答】解：T∕C=90°,NADC=60°,

ΛZDAC=30°,

.'.CD=^AD,

2

VZB=30o,ZADC=60",

ΛZBΛD=30",

：.BD=AD,

.∖BD=2CD,

VBC=3√3.

ΛCD+2CD=3√3,

ΛCD=√3,

ΛDβ=2√3.

故答案为：2。^.

34.（2010•镇江）如图，RtzλABC中，N4CB=90°，OE过点C,1.DE//AB,^ZACD

=50°,则/A=度，/B=度.

J'

ncE

【答案】50°,40°

【解答】解：：£）£■〃Λ5,NACD=50°,

.∙.NH=∕ACO=50°,

VZACB=90",

ΛZB=90o-∕A=90°-50°=40°.

命题点7等腰直角三角形

35∙（2019∙成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若/1=30°,

则N2的度数为（）

【答案】B

【解答】解：-JAB//CD,

AZl=ZADC=30°,

又；等腰直角三角形AoE中，NAZ）E=45°,

AZl=45°-30°=15°，

故选：B.

B

1

/C

E

36.（2020•玉林）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在

A岛的北偏东80°方向，C岛在8岛的北偏西55°方向，则A,B,C三岛组成一个（）

北％

Q

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解答】解：如图，过点C作C£>〃A£交AB于点£）,

ΛZDCA=ZEAC=35o,

北孑尸

^AE∕∕BF,

:・CD〃BF,

:・NBCD=NCBF=55°,

ΛZACB=ZACD+ZBCD=35o+55°=90°,

・・・AABC是直角三角形.

∖'ZCAD=ZEAD-ZCAE=SOO-35°=45°,

ΛZABC=180o-ZACB-ZCAD=45o,

：.CA=CB1

•••△A3C是等腰直角三角形.

故选：A.

37.（2021•扬州）如图，在4X4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A3,在网格中再

找一个格点C,使得aABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（)

C.4D.5

【答案】B

①AB为等腰直角AABC底边时，符合条件的格点C点有O个；

②AB为等腰直角AABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个.

故共有3个点，

故选:B.

38∙