2023-2024学年上海市奉贤区高一年级下册期中数学质量检测模拟试题

2023-2024学年上海市奉贤区高一下册期中数学质量检测模拟试题

一、填空题

1.已知角α的终边经过则SinC=.

4

【正确答案】

【分析】由条件得出点P到原点的距离『，再利用任意角的三角函数的定义可得SinC的值.

【详解】根据角ɑ的终边经过点P(Y,w,8M(相＜0),

所以r=ʌʃ(-6∕n)+(8∕n)2=√100∕π2=-1Om，

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，需注意角终边上的点的坐标有字母时，求点P到原点的

距离『时的符号，属于基础题.

2.已知向量「=(2,—3),⅛=(3,2Λ),则α与〃共线，则实数4=.

【正确答案】-=9

4

【分析】根据向量平行得到2x24=-3x3,解得答案.

【详解】向量2=(2,—3),⅛=(3,2A)1α与Z,共线，则2x24=—3x3,解得2=-，

故

4

3.一个扇形的面积为1,周长为4,则该扇形圆心角的弧度数为.

【正确答案】2rad

【分析】设扇形的半径为R，弧长为/,圆心角为α,根据题意，由2R+∕=4,g∕R=l求解.

【详解】设扇形的半径为R,弧长为/,圆心角为α,

则2R+∕=4.①

由扇形的面积公式S=《/R,得glR=l.②

22

由①②得R=I,1=2,

...a=­I=2ɔrad..

R

扇形的圆心角为2rad.

故2rad

4.复数z=£(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于实轴上，则实数。的值为.

【正确答案】-I

利用复数的除法运算化简复数Z,由几何意义可得Z所对应的点的坐标，进一步可得答案.

【详解】由已知，z=γ-7=^/，(，~=--ʒ-1'.所以Z所对应的点为(03，-，工)，

1+z(l+z)(l-z)2222

此点在实轴上，所以-等=0,解得α=T∙

故-1

本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题.

5.若IOgIX-则X的取值范围是.

22

【正确答案】

【分析】先求函数定义域，再根据函数的单调性求解.

【详解】解：该函数的定义域为：c

(γ°[){∕+8log∣ɪ-ɪ>-I=Iog12,又）'=∣°g[X在定义

-242,-22/

域上单调递减，故k<2

解得:

综上X的取值范围是

sin（万一α）cos（2万一α）tan

(,则

6.已知a为第三象限角，且Sina

π

cot（-3æ-a）sin-—a

2

【正确答案】-半

【分析】利用诱导公式计算出COSa的值，利用同角三角函数的基本关系求出Sina的值，然后利用诱

导公式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.

=Sina-K+4%

【详解】由诱导公式可得Sina

I2

2√6

Qa为第三象限角，贝IJSina=-Λ∕1-COS2a--

tan(物-α

sin(,τ-cr)cos(2æ-Gf)

I2sina∙cosa∙cotσ.2√6

因此，------------------7--------------------=sιna=-------.

cot(-3π-cr)sinl-ɪ-df-COta•(—COSa)5

故答案为.-半

本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

7.已知函数y=∕(x),若/(SinX)=3-8S2X,则/(COSX)=.

【正确答案】3+∞s2x

【分析】利用诱导公式先将〃COSX)中的COS尤化为Sine-X)然后将/(Sinx)=3-cos2x中X替换成

TT

%-X,进而再利用诱导公式化简即得.

【详解】/(cosx)=fsin(g-X))=3-c°s2(g-X)=3-cos(乃-2x)=3+c0s2x,

故答案为.3+cos2x

8.设心0且αwl,若Iog(I(SinX-COSX)=0,则sin'x+cos^x=

【正确答案】1

【分析】根据对数函数的运算性质，得到SinX-CoSX=α°=l,再根据三角函数的基本关系，准确化

简，即可求解，得到答案.

【详解】设α>0且αwl,若log,,(SinX-COSX)=0,

所以SinX-CoSX=α°=1<所以(SinX-CoSX)-=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1,

又si∏2χ+cos2χ=l,所以SinXCOSX=0,

又由(Sin2X+cos?X)-=Sin4x+cos"x+2sin,xcos2x=1,

则sin"x+cos"x=l

所以SiniiX+cos8x=(sin4x+cos4x)^-2sin4Λ-cos4x=(sin4x+cos4xj2=1

故答案为ɪ.

本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系式,

准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9.若函数=在xe(f内)上为严格增函数，则实数。的取值范围是

【正确答案】[ι,∣

【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数。的不等式组，解之即可求得实数。的取值范围.

/、[x+3α-3,(x≤0)、

【详解】函数〃X)=〃，(χ>o),在xez(f,y)上为严格增函数，

可得，解得l<α≤;,故实数。的取值范围为I=，

[3。一3≤13I3_

故同

10.已知函数/(x)=ASin(dυx+e)+6(A>0,<υ>0,M<;T)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为∣∙,

直线X=?是其图像的一条对称轴，且则f(x)的解析式为.

【正确答案】/(x)=2Sin(4呜)+2

【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求A,"根据周期公式求。，再代入对称轴X=3,

求。，最后再验证，确定函数的解析式.

【详解】/Rj=I

本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.

11.已知a,b为单位向量,且∣α+b∣=夜∣α-b∣,则α在a+人上的投影为

【正确答案】YS

3

由已知向量等式两边平方求得“力,进一步求出“∙(a+A),卜+4的值，再根据投影的概念，即可求

出结果.

【详解】由”,b为单位向量,知IaI=网=1,由且∣α+6∣=J∑∣α-川,得@+讨=2@-讨，

即a2+2a∙b+b2=2a2-4a-b+2b2,二ab=^∙

a∖a+b)ɜJt

；・〃在…上的投影为下才=Ξ⅛=F

亍

故业.

3

本题考查平面向量的数量积运算,考查了平面向量投影的概念,是中档题.

12.函数)，=—1的图像与函数)，=2sinc(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于_____.

X-I

【正确答案】4

【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.

【详解】由于函数y=—1与函数y=2sin"(-2≤x≤4)均关于点M(1,O)成中心对称，

结合图形两函数有如图所示的A8,C,。共4个交点，其中4。和8,C都关于点M对称.

其横坐标分别记作片，々，£，匕,则有为+%4=2x1=2,同理有％+X3=2,

所以所有交点的横坐标之和为4.

本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌

握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.

二、单选题

13.在ASC中，已知。为BC上的一点，且满足8O=4DC,则AO=()

31231441

A.-AB+-ACB.—ABH—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44555555

【正确答案】C

【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

4

【详解】因为BD=40C,所以BO=gBC,

所以Ao=AA+BO=A8+gBC=AB+[(AC-A8)=(AB+qAC.

故选：C.

14.已知复数Z=2—3i,则()

A.Z的实部为2B.Z的虚部为一3i

C.Z在复平面内对应的点在第三象限D.z=-2-3i

【正确答案】A

【分析】根据复数z=x+M(x,y∈R)的实部为x,虚部为y,对应点(x,y),共辗复数为z=x-M,进行判定.

【详解】复数z=2-3i的实部为2,虚部为-3,对应点坐标(2,-3),是第四象限，共貌复数为［=2+3i,

故选：A.

15.若基函数y=请(九〃∈N*,且切、〃互素)的图像如图所示，则下列说法中正确的是()

B.加是偶数，及是奇数，且巴>1

nn

C.加是偶数，”是奇数，且竺<1D."、"是偶数，且‘>1

nn

【正确答案】C

【分析】利用幕函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.

【详解】将分数指数式化为根式，y=χW=货,

由定义域为R,值域为［0,+8)知”为奇数，机为偶数，故排除A、D,

又由幕函数>=/,当α>l时，图像在第一象限的部分下凸，

当0<α<l时，图像在第一象限的部分上凸.

故选：C

本题考查了事函数的性质，需熟记募函数的性质，属于基础题.

16.已知h,a,/JeR,满足Sina+cos/?=。，COSa+sin6=6,0<a2+⅛2≤4,有以下2个结

论：

①存在常数。，对任意的实数beR,使得sin(e+⑶的值是一个常数;

②存在常数6,对任意的实数αeR,使得cos(α-0的值是一个常数.

下列说法正确的是()

A.结论①、②都成立

B.结论①不成立、②成立

C.结论①成立、②不成立

D.结论①、②都不成立

【正确答案】B

【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将Sin(C+⑶和CoS(C-⑶用“，6表示即可.

【详解】对于结论①，

∖*Sina+cos0=a,COSa+sin/=b,

/.a2=sin2cr+2sinorcosβ÷cos2β,b1=cos2α+2cos6zsin∕7+sin2β,

，a2+b1=2+2SinaCC)s∕7+2cososin4=2+2sin(α+/),

.,∙sin(α+6)=α+：——-,

.∙.当〃为常数，6eR时，sin(c+月)="∣^不是一个常数，故结论①不成立；

对于结论②，

方法一：

*.*ab=(sin«+cos/?)(cosa+sin/?)

=SinaCoSa+sinasiny?÷COSaCOS0+sin/?COs/

=cos(α-β}+SinaCoSa+Sin尸COS尸

又∙.∙sin(α+∕)cos(a-〃)

=(sinacosβ+cosasinβ)(cosacos∕?+Sinasin力)

2222

=sinacosacosyβ+sinasinβcosβ+cosasinβcosβ+sinacoscirsinβ

2222

=(siny0+cos∕jjsinacosa÷(sinα+cosα卜iny0cos力

=sinacosdz+siny?cosy?

.∙.ab=CoS(。一尸)+SinQCoSa+sin∕7cos∕?

=CoS(Q_/?)+Sin(Q+/?)COS(a一4)

=COS(a_£)+〃+：——-cos(a-y0)

化简得cos(α-0=一⅛,

/a2+b~

，存在常数人=0,对任意的实数QER,使得cos(α-夕)=0,故结论②成立.

方法二：(特值法)

当α=]+1时,，力=COSa+sin/?=COSl+/?J+sin=-s*nZ^+s*nZ^=θ，

TrTT

a-β=—,cos(a-∕f)=cos—=O.

.∙.存在常数%=(),对任意的实数αeR,使得cos(α一夕)=0,故结论②成立.

故选：B.

本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以

有效验证其正确性，减少运算量.

三、解答题

17.设2为关于工的方程/+,m+〃=0(祖,〃€2的虚根，1为虚数单位.

(1)当z=l+i时，求处”的值；

(2)在(1)的条件下，若0="+"i,(aeR),∣o∣≤3,求。的取值范围.

【正确答案】⑴J；<2)[-√5,√5]

【分析】(1)将z=l+i代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算加、”的值；

(2)根据复数模的计算公式：Id=J根+Y,"的值已知，再根据不等式|。区3即可求解出”的取值

范围.

【详解】(1)将z=l+i代入方程可得：(l+z)2+∕π(l+Z)+n=O,所以〃2+〃+(〃z+2)i=O,

m+n=0In=-2

所以有:,解得

m+2=0n=2

(2)因为〃=2,所以0=2+4i,所以同=j4+c∕≤3,则4+笳≤9,

解得：-石≤α≤石，所以.4e[-石,6]

本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.

(1)已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值;

(2)复数的模长计算：已知复数Z="+初，则IZI=Ja2+6.

18.已知向量x、y满足：闰=1,∣y∣=2,且Q-2y)?5x-y=.

(1)求X与y的夹角0；

(2)若(X-冲)_Ly,求实数，”的值.

TT\

【正确答案】(1)θ=-(2)m=-

34

X∙ʃ1

【分析】(1)由(x-2y)∙(2x-y)=5展开，可解出χ∙y=l,根据向量夹角公式CoSno=P用=5,即可

求出夹角。的大小；

(2)根据两向量垂直，数量积为0,列出方程即可求出，"的值.

【详解】(1)V(x-2y).(2x-y)=5

.*.2∣.r∣-5x∙y+2∣v∣=5=>x∙y=l

(2)V(x—my)±y

ʌ(x-my)∙y=09即元∙y-my=0

.∖1-4m=Onm=-

4

本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于

基础题.

19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛8与小岛A、小岛C相距都为5公

里，与小岛。相距为3石公里.已知角A为钝角，且SinA=

⑴求小岛A与小岛O之间的距离；

(2)记ZCDB为α,ZCBD为尸，求sin(2α+/?)的值.

【正确答案】(1)2

唔

【分析】(1)在AABO中，利用余弦定理即可求解；

(2)在ABCD中，先利用正弦定理求出Sina=手，然后利用两角和的正弦公式即可求解.

【详解】(1)由题意可知：AB=BC^5,BD=3√5,

34

因为角A为钝角，sinA=-,所以CoSA=-士，

Jɔ

在△回£)中，由余弦定理得，AD2+AB2-2ADABcosA=BD1,

所以AZ)2+8Ar>-2O=O,解得45=2或AO=-IO(舍)，

所以小岛A与小岛。之间的距离为2.

(2)在Z∖8CD中，由正弦定理旦=%，因为A+C=π,

sιnaSinC

所以SinC=Sin(兀一A)=Sin4=1,贝IJSina=4,

因为BCvBO,所以。为锐角，所以COSa=2，

5

3

因为sin(α+/?)=sin(π-C)=SinC=,

4

cos(α+/7)=cos(π-C)=-cosC=--,

所以sin(2a+/7)=sin[α+(α+β)∖

2yjζ

=sinacos(a+/?)+cosasin(α+/)=∙

20.已知函数f(x)=4sinxcos卜+()+√5(XCR).

⑴将函数形式化简为y=Asin(ox+0)+∕7的形式，写出其振幅、初相与最小正周期;

(2)求函数/(x)的最小值与此时所有X的取值;

(3)将函数/(x)的图像向右移动g个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的“(0<α<l)倍

O

得到y=g(χ)的图像，如果y=g(χ)在区间上至少有100个最大值，那么求。的取值范围.

【正确答案】(l)y=2sin(2x+q)振幅为2,初相?π，最小正周期0

3

74

(2)-2；x=-+kπ,kEZ

4

(3)0<6Z≤-------

∖99π

【分析】(1)利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期;

TT3TT

(2)直接令2XH—=----∙^2*ττ求取小值;

32

(3)先平移变换后，求出y=sinx在y轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可.

【详解】。)

小)例呜)+ʌ/ɜ=4sinɪ-ɪeosx-4sinx∙-^sin%+

=4Sin√3

22

π∑τr

2,初相记最小正周期彳5

(2)由，(x)=2sin(2x+(),可得当2*+。=5+2版■时，取得最小值一2,此时X=+%肛&wZ.

(3)/(X)=2sin(2X+π/J向右移动π亲个单位得到y=2sinl2Λ--→yj=2sin2Λ,再将所得图像上各

36

点的横坐标缩短到原来的a(0<"l)倍得到y=g(x)=2sin(1x),x∈[-l,l],∣x∈-∙∣,∙∣,又

TTIUIJT

V=Sinx在y轴右侧的第5。个最大值点盯+49Q=亍，在V轴左侧的第5。个最大值点为

2,1977

一四—49x2万=-199乃a244

,故，解得三诉所以0<a≤

22-2<_.199万199;T

a2

21.对于两个定义域相同的函数f(x)和g(x),若存在实数个",使MX)=时(x)+"g(x),则称函数

妆X)是由“基函数/(χ)和g(χ)”生成的.

4ιι4

⑴若MX）=9x+（是由“基函数f（x）=2x-∖+α和g（x）=]X+嚏-2”生成的，求实数。的值；

⑵试利用“基函数/3=叫2（4、+1）和8（力=3+1”生成一个函数〃（引，使之满足旗力为偶函数,

且MO）=-L

①求函数〃（x）的解析式；

②己知此二””,%=7,%=1,对于区间（τ,ι）上的任意值%,々，，X"-∣α<&<<χn-∣）,若

£『（七）-MXI）I≤M恒成立，求实数例的最小值.（注.力匕=占+W++X”）

i=lι=l

【正确答案】（1）1；

⑵①Λ（x）=Iog2（4'+l）-x-2;②2Iog2ɪ.

4114

【分析】（1）根据题意，可得MX）=9x+；=m（2x-：+a）+〃《x+：-2）,化简，利用对应项的系数相

等即可求解；

①设a（x）=,”log2（4'+l）+〃（gx+l）,根据函数〃（x）为偶函数得出“=-2w,再结合6（0）=-1,即可

求出,加〃的值，进而求出函数的解析式；

②利用定义证明函数的单调，将式子化简为

∑∣∕j(x,.)-Λ(x,..,)1=∕j(-l)+A(l)-⅛(¾)-∕z(¾+1)+∣Λ(¾+l)-A(¾)∣,然后根据条件求解即可.

/=1

4114

【详解】(1)由已知，可得∕ι(%)=9x+-=机(2x--+Λ)+«(-X+--2),

XX乙X

2m+-=9

2ιn=4

,.4(CnI4n-inC

则r9nx+—=2m+—∖x-∖----------+ma-2n,则，4/7-m=4,解得＜n=2,

X\2)X

ma-2n=0a=1

所以实数。的值为L

(2)①设〃(X)=Wlog2(4'+l)+〃(gx+1),

因为〃（%）为偶函数，所以〃（一幻=〃21。82（4一"+1）-]工+〃，

〃_n

由〃(一X)=∕z(x),可得机log2(4'+1)+5^+/1="1082(4-'+1)-,