2023-2024学年河北省廊坊市马庄英才中学高三数学文月考试卷含解析

2023年河北省廊坊市马庄英才中学高三数学文月考试

卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.集合力=3|邛4,xwR},B={x[x<*则“4二3”是“a>5”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

略

055

2.设凡是等差数列1口」的前浮项和，若%=5,则邑等于

A.1B.-1C.2D.2

参考答案：

答案：A

3.已知菱形ABC。的对角线AC长为2,则=

A.1B.'/2c.2D,2戊

参考答案：

C

4.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色

不同的概率为（）

1125

A.3B.2C.3D.I

参考答案：

C

-1")"

5.若vx的展开式各项系数之和为64,则展开式的常数项为()

A.-540B.-162C.162D.540

参考答案：

A

6.在复平面内，复数z=i(l+2i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

B

【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算.

【专题】计算题.

【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi(a,bGR)的形式，即可确定复数z

所在象限.

【解答】解：：z=i(l+2i)=i+2i=-2+i,

复数z所对应的点为(-2,1),

故选B

【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.

1.

(0,x=0

7.已知符号函数sgnx=.-1，X50,f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)-f(ax)

(a>l),则()

A.sgn=sgnxB.sgn=-sgnxC.sgn=sgnD.sgn=-sgn

参考答案：

B

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】直接利用特殊法，设出函数f(X),以及a的值，判断选项即可.

Ix>0

-0,x=0

【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=-1，x<Q,f

(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),

不妨令f(x)=x,a=2,

贝!Jg(x)=f(x)-f(ax)=-x,

sgn=-sgnx.所以A不正确，B正确，

sgn=sgnx,C不正确；D正确；

对于D,令f(x)=x+l,a=2,

贝！jg(x)=f(x)-f(ax)=-x,

x>-1

0,X=-1

sgn=sgn(x+1)=-1,x<C-1

ri,x>0

0,x=0

sgn=sgn(-x)二-1

r-1,X>-1

0.x=~1

-sgn=-sgn(x+1)=1.Y-1；所以D不正确;

故选：B.

【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的

积累，属于中档题.

8.下列命题错误的是()

A.命题“若/+/=0,则x=y=o”的逆否命题为

“若X,)，中至少有一个不为0则/+/W。"；

B,若命题则rpVx€/?.XJ-x+l>0.

C.AA?C'中，smW>Sin8是/>8的充要条件；

D.若向量瓦不满足15<0,则左与豆的夹角为钝角.

参考答案：

D

略

9.

X0T

/(x)=£卜-月|

函数7的最小值为()

A.1103X1104B.1104X1105C.2006X2007D.2005X2

006

参考答案：

A

10.下列四个命题中：①4+BN2疯；②“n③设X,y都是正数，

1,9

—十—

若X>=1,则x+y的最小值是12；④若IX—2Ive,ly—21V£,则lx—

yI<2P,则其中所有真命题的个数有

A、1个B、2个C、3个D、4个

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知中心是坐标原点的椭圆C过点困,且C的一个焦点为(2,0),则C的标准方

程为

参考答案:

-♦IT=1

5

22

.一|--=1(a>b0)

椭圆的焦点位于'轴，则设椭圆的方程为『b2,

玷

椭圆过点'V,则：I，①

它的一个焦点为0),则4,②

2

(a5£(iw.

①②联立可得：八‘工】，贝旷的标准方程为三'

12.设直线2x+3y+l=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程

是.

参考答案：

3x-2y-3=0

【考点】直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用.

【分析】联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点

坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于-1,由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到

中垂线的解析式.

‘2x+3y+l=0

<n2

【解答】解：联立得：xz+y-2x-3=0解得：13x2-14x-26=0,同理解得13y?+18y-

7=0

*1+*2/1+/2

因为点A和点B的中点M的坐标为(x=2,y=2),利用根与系数的关系可

79

得：M(13,-13)；

2

又因为直线AB：2x+3y+l=0的斜率为-E，根据两直线垂直斜率乘积等于-1可知垂直平

3

分线的斜率为2

93_7_

所以弦AB的垂直平分线方程为y+l3=2(X-T3),化简得3x-2y-3=0

故答案为3x-2y-3=0.

【点评】考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为-1,会求线段中点的坐标，根据条件

能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用.

13.已知点P,A,B,C在同一球面上，PA_L平面ABC,AP=2AB=2,AB=BC,且标?标=0,则

该球的表面积是.

参考答案：

6n

【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体.

【分析】利用PAL平面ABC,AP=2AB=2,AB=BC,且屈?前=0,可扩充为长方体，长宽高

分别为1,1,2,其对角线长度为＞1+1+4=捉,可得球的半径，即可求出球的表面积.

【解答】解：VAB?BC=0,

；.AB_LBC,

：PA_L平面ABC,

可扩充为长方体，长宽高分别为1,1,2,其对角线长度为3+1+4=&,

返

球的半径为2,

冗.(返)2

球的表面积是4JIR2=42=6”.

故答案为：6n.

14.设“W乂，一元二次方程--4X+M=0有正数根的充要条件是”=

参考答案：

3或4

略

x=14/cosaX=COS0

15.已知直线G：=i加a1为参数），处y=仙,（o为参数）.

当3时，则G与c的交点坐标为.

参考答案：

略

16.记“点M(x,y)满足x//Wa(a>0)”为事件A,记“M(x,y)满足

'x-y+l》O

,5x-2y-440

2x+y+2>0”为事件B,若P(B1A)=1,则实数a的最大值为一.

参考答案：

1

2

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】画出约束条件表示的可行域，利用条件概率，判断圆与可行域的关系，再求出a

的最大值.

<5x-2y-440

【解答】解：M(x,y)满足2x+y+2>0,画出可行域如图所示三角形；

记”点M(x,y)满足x'+JWa(a>0)“为事件A,

x-y+l》O

<5x-2y-440

记“M(x,y)满足2x+y+2》0”为事件B,

若P(B|A)=1,说明圆的图形在可行域内部，

实数a的最大值是圆与直线x-y+l=O相切时对应的值，

此时d=r,

1

即修F,

解得a=2,

1

所以实数a的最大值为

故答案为：2.

【点评】本题考查了线性规划的基本应用问题，利用目标函数的几何意义是解题的关键，

是中档题.

x+y<4

(xj)满足，1y2x

17.已知点P的坐标，过点P的直线/与圆Ud+y=14相交

于A、B两点，则M却的最小值为一

参考答案：

4

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换

在平面直角坐标系中，矩阵”对应的变换将平面上任意一点变换为点

改工+工3。

（1）求矩阵膻的逆矩阵

（2）求曲线布+，-1=。在矩阵”的变换作用后得到的曲线b的方程.

参考答案：

0

2

■J"2"l=0

(1)

试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一，一个mxii的矩阵就是wxit个数排成m

行H列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示

一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握

ab

相乘k*

,列方程组求得.

试题解析：（1）设点尸（工力在矩阵M对应的变换作用下所得的点为-WS,

贝卷X吩C：）©,

（2n

M~

1分

又ysf

0-

3

T,

3J3分

（2）设点在矩阵”对应的变换作用下所得的点为

则

即*5分

4⑶*2

，代入4*+，T=°,得I3)3

即变换后的曲线方程为x+A+l=0.•7分

考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.

19.在AABC中，角A,B,C的对应边分别是a,b,c满足b'+cMjc+a、

(I)求角A的大小；

(II)已知等差数列差J的公差不为零,若aiCosA知,且a2,a4,a.成等比数列,求

4

｛anan+l)的前n项和S„.

参考答案:

【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理.

【专题】等差数列与等比数列.

999

b+c-abe1j.

【分析】(I)由已知条件推导出诙—=2U=2,所以COSA=2由此能求出

n

A=T.

2

(II)由已知条件推导出(ai+3d)=(ai+d)(ai+7d),且dWO,由此能求出an=2n,从

--—111——

而得以an&n+l=n(n+1)=n进而能求出｛anan+l｝的前n项和S0.

【解答】解：(I)•.•苗+(?-/=元,

b12+,c2_a2bLe1

/.2bc2bc=2,

_1

.*.cosA=2,

n

VAe(0,n),,A=3.

(II)设｛aj的公差为d,

VaiCosA=l,且a4,成等比数列，

12

/.ai=cosA=2,且为-d2?38,

(ai+3d)之二(ai+d)(ai+7d),且dWO,解得d=2,

=

・・an2n,

---11_1

anan+l=n(n+1)=nn+1,

11_11_111

/.Sn=(1-2)+(23)+(34)+,,,+(nn+1)

1_n_

=1-n+l=n+l.

【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认

真审题，注意裂项求和法的合理运用.

20.(本小题满分14分)

已知椭圆’亍泊(通>"的右焦点与抛物线02丁=4万的焦点尸重

合，

椭圆匚；与抛物线巳在第一象限的交点为F,『“卜5.

⑴求椭圆G的方程；ks5u

⑵若过点A：一1，。)的直线与椭圆g相交于〃、曾两点，求使两+否?=或成立

的动点£的轨迹方程;

⑶若点R满足条件(2),点T是圆卜-1)+丁=1上的动点，求国刀的最大值.

参考答案：

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结

合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力

和创新意识)

⑴解法1：抛物线；/="的焦点尸的坐标为(1.0),准线为x=-i,

设点「的坐标为依据抛物线的定义，由?"卜三，得解得

2

=­

3.

..........1分

•.•点户在抛物线上，且在第一象限,

“F=4X；解得

26

＞。=亍.

..•点P的坐标为

(22⑹

..........2分

..•点户在椭圆/b3

_4_8

上，；.彳+犷=—1...........3分

又C=l,且

—=/+J=/+i,

..........4分

解得=3.

••.椭圆C1的方程为

23

xy1

43

..........5分

解法2:抛物线的焦点户的坐标为(1.0),

设点F的坐标为>。，%>0.

产力

，(而7»；=今①

..........1分

•••点尸在抛物线C2：V=4x上，

.•.乂=4%②

%，加=巫

解①②得为3,°3.

...点F的坐标为

2⑻

..................2分

-Ci+

..•点尸在椭圆一b1

_4_+_8_=1

上，.•.彳3^=.........3分

又c=l,且

a3=b2+c2=b'+1,

..................4分

解得J=4®=3.

...椭圆射的方程为

x2y21

43

..................5分

（2）解法L设点”（加必）、"（知乃）、&

则尸亚=（%-LyJ,FN=（与-1,为）,FR=（x-

.FM+FN=（x,+-2,必+乃）

FM+FN^FR,

.Xi+Xj-2**-1,^)+^.尸①

6分

:好、曾在椭圆G上,

(可士切看二2)+(乂+%3？)=0

上面两式相减得43.②

(x+l)&F1一%)_.

把①式代入②式得43­.

当近工为时，得

=3(x+l)

七・占41y.③.........7

分

设划?的中点为Q,则Q的坐标为

怨3

•••M、£、Q、月四点共线，

即

y

M-必_5.>

七・町i±l+ix+3

2^④.........8分

■X二3(/+1)

把④式代入③式，得x+3-4)，，

化简得

4/+3（?+4x+3）=0

.........9分

当原=通时,可得点火的坐标为（-3,0）,

经检验，点火（-3,0）在曲线4y+3（/+4x+3）=。上.

动点云的轨迹方程为

4/+3（xJ+4x+3）=0.........I。分

解法2：当直线MV的斜率存在时，设直线力必9的方程为="（x+D,

>=k（x+1）,

42/

由巳++=1消去九得（3+缺>+*+止-12=。

设点时3，必）、》（与，为）、R（x,y）,

姆

X[+X）----------------------r

则।23+4好，

%+当=之+1）+无（与+I）=*（个+々+2）=

.…6分

斤川=（z-1,必）,两=（刍一1,为），尸&=（x-1,y）

•FM+FN=（$+X]-2,必+为）

FM+FN=FR,

Axl+xa-2=x-L^1+y2=^

y=----6-k----

3+4k3.②

...........7分

①-②得

1

4〉，③

...........8分

把③代入②化简得

4八3K+4X+3）=0（*）...........9分

当直线•的斜率不存在时，设直线的方程为x=-1,

依题意，可得点火的坐标为（一土。），

经检验，点网TO）在曲线4y+3（x、4x+3）=0上

动点火的轨迹方程为

4y3+312+4K+3）=0

⑶解：由⑵知点Ra力的坐标满足4,+3（/+4x+3）=0,

即4y，=-3（/+4x+3）,

由y20,得-3（x2+4x+3）N0,解得

-34x4-1..........11分

•.圆卜W+/=I的圆心为"（L。），半径r=1,

...网=&-『+-=j（x-W，+4x+3）

=17（x-w）3~105

...........12分

.•.当x=-3

13分

时，附L=4+】=5

...........14分

（x=cos0

21.（2015秋?大理州校级月考）若曲线G：1厂sinS（e为参数），曲线C?：

\二acos,

产bsin«（?为参数）,以0为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，射线1：e=a

兀

a——

与Cl,G分别交于P,Q两点，当a=o时，|PQ|=2,当2时，P与Q重合.

（I）把3、C2化为普通方程，并求a,b的值;

5条

(II)直线1：尸-1+号t(t为参数)与&交于A,B两点，求|AB|.

参考答案:

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.

【专题】坐标系和参数方程.

7T

a——

【分析】(I)消去参数，即可把G、C2化为普通方程，当2时，P与Q重合，即可

求a,b的值；

5条