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(J，M)-弱正则序列与(I，J)-弱余上有限模的综述报告引言：正则序列和上有限模在代数学中是两个非常重要的概念。本文将会介绍弱正则序列和弱余上有限模，包括它们的定义，性质，应用以及与(I，J)-上有限模之间的关系。一、弱正则序列定义：设R是环，（a1，a2，…，an）是R的一个左理想，如果存在b1，b2，…，bn∈R，使得ai=aibi，bi=bi+1bi，其中1≤i<n，则称（a1，a2，…，an）是一个弱正则序列。性质：对于任意环R，弱正则序列是具有如下性质的：1.对于任意的r∈R，若r(a1，a2，…，an)={(ra1，a2，…，an)，a2，…，an}，则r(a1，a2，…，an)和(a1，a2，…，an)r互素。2.若R是一个Noether环，则R的任何一个左理想都可以由一个弱正则序列生成。应用：弱正则序列是一种强大的工具，可在很多不同的领域中应用，如加减同构问题、加性规则问题、同调代数等。在代数学中，弱正则序列可用于链复形和同调理论研究，可对模论和代数几何的进一步发展做出重要贡献。二、弱余上有限模定义：设R是环，M是R-模，如果对于M的一个子模N，存在一个有限生成的R-模Q，使得N+Q=M，且N∩J(Q)N，其中J(Q)表示Q的Jacboson根，则称M是(I，J)-弱余上有限模。性质：假定R是任意环，对于R-模M，其具有以下性质：1.如果M是一个有限生成的模，则M是有限弱余上有限模。2.如果M是一个有限弱余上有限模，则M是一个余上有限模。3.如果M是一个有限余上有限模，则M是一个本质有限模。应用：弱余上有限模在代数学中有很多应用，特别是在模和群表示论中。在模表示的分类问题中，本质有限模是一个关键概念，而（I，J）-弱余上有限模是研究本质有限模的重要工具。三、弱正则序列与弱余上有限模的关系弱正则序列与弱余上有限模之间存在着密切的联系。在R是任意环的情况下，以下结论成立：1.如果R中有一个弱正则序列，则R是左定则环（即，满足公式aa=a只有平凡解的环）。2.如果M是一个R-模，则M是一个有限弱余上有限模的充分必要条件是，存在一个弱正则序列（a1，a2，…，an），使得a1M+J(an-1)M=M。这两个结论表明，弱正则序列是R左定则环的重要标志，且R-模的弱余上有限性质可以通过弱正则序列来描述。结论：弱正则序列和弱余上有限模是代数学中的重要概念，它们广泛应用于同调代数、模表示论等领域。尤其是，弱余上有限模提供了研究本质有限模的有力工具，而弱正则序列与弱余上有限模之间的联系则为理解

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