旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第二章函数与基本初等函数第8讲函数与方程

第8讲函数与方程

□知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y=f(x),我们把使画=X)=O的实数X叫做函数y=f{x)的零点.

(2)三个等价关系

方程Ax)=0有实数根o函数尸F(X)的图象与图X轴有交点o函数『f(x)有画零点.

(3)函数零点的判定(零点存在定理)

如果函数y=f(x)在区间［a,6］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有四

f(a)∙f(8)<0,那么，函数v=f(x)在区间画(a,6)内有零点,即存在Ce(a,6),使得阐f(c)

m，这个典也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数尸a*+6x+c(a>0)的图象与零点的关系

/〉0/=021<0

二次函数y=aχ-∖-bx

ɪ

+c(a>0)的图象ɪ

与X轴的交点ISl(小，0),C½,0)BUi,0)无交点

零点个数-2圜100

3.二分法

(1)二分法的定义

对于在区间［a,一上连续不断且圜/'(a)∙F(b)<O的函数K=F(X),通过不断地把函数F(*)

的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法

叫做二分法.

(2)二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度〜用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间［a,b］,验证回FE)∙f(Z>)<O,给定精确度一

②求区间(a,6)的中点c；

③计算『(c)

(i)若f(c)=0,则理L就是函数的零点；

(ii)若F(a)∙Λc)<O,则令若8=c(此时零点XoC(a,C))；

(Hi)若Λc)∙/(6)<0,则令回a=c(此时零点x°∈(c,6))；

④判断是否达到精确度£：若园④一引〈£,则得到零点近似值a(或⑹；否则重复②〜

④.

知识拓展

(1)若连续不断的函数AX)在定义域上是单调函数，则F(X)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)=0的实根.

(5)由函数y=Hx)(图象是连续不断的)在闭区间［a,6］上有零点不一定能推出

f(a)∙/(⅛)<0,如图所示，所以F(a)∙F(A)VO是y=F(X)的闭区间［a,3上有零点的充分不

必要条件.

-1产小)

K/

Oa\_yA*

□双基自测

1.(2021•云南玉溪一中二调)函数f(x)=2,+3x的零点所在的一个区间是()

A.(—2,—1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案B

解析易知函数F(X)=2'+3x在定义域上单调递增，且f(—2)=2^—6<0,/(-1)=2

^1-3<0,Λ0)=l>0,所以由零点存在定理得，零点所在的区间是(-1,0).故选B.

2.函数F(X)=2sinx—sin2x在[0,2冗]的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析令f(x)=0,得2sinX-Sin2X=O9即2sinx—2SinxcosX=0,Λ2sinX(I

—cosx)=0,，sinx=0或COSX=L又x∈[0,2π],，由SinX=O得X=0,JI或2冗，

由CoSX=I得X=O或2兀.故函数F(X)的零点为O,π,2π,共3个.故选B.

答案B

XO

解析构造函数f(x)=θθ—vʃ-F(X)在(0，+8)上单调递减，且/1(0)=θθ—√δ=

4.函数/"(x)=e*+3x的零点有个.

答案1

解析∙.∙f(x)=e'+3x在R上是单调递增函数，且/•(-1)=/'-3<0,/(0)=l>0,Λ

函数F(x)有1个零点.

5.函数尸-勿有两个零点，则R的取值范围是.

答案(0,D

仙1zɪjɪl

解析如图，作出尸⑸的图象.则当(K成1时，直线尸勿与曲线y=⑸的图

象有两个交点，即函数y=(j—0有两个零点.

{x+l%≤0,

6.(2022•四川遂宁模拟)已知函数F(X)=f则函数y=F63)+l的所有

Ilog2/,x>0,

零点所构成的集合为.

解析由题意，知/W))=—1,所以F(X)=—2或A*)=/则函数尸F(∕U))+1

的零点就是使Mx)=-2或F(x)=T的X值.解/1(x)=—2,得X=-3或X=［；解f{x)=1,

得X=-T或X=Λ∕5.从而函数y=f(f(x))+1的零点构成的集合为I―3,—ɪ,

核心「向次破I

考向一函数零点所在区间的判断

A√-2

例1⑴设函数y=*与尸㈤的图象交点为(刘，㈤，则她所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函数/=必与尸(9的图象交点为(粉外),则扬是方程χ2=g)的解，

x-2

也是函数f(x)=。一G)的零点.♦函数f(x)在R上是连续的，且f(0)=—4<0,HD

]17ɪ63

=1-2=-KO,/(2)=22-l=3>0,/(3)=9--=y>0,/(4)=16--=γ>0,Λ∕(l)∙f(2)<0.

由零点存在定理可知，方程的解在(1,2)内.故选B.

(2)(2021•江西临川模拟)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意

X,F(f(x)—log∙j)=3,则函数g(*)=AX)+x—9的零点所在的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

答案D

解析因为函数f(*)是定义域为(0,+8)的单调函数，F(Mx)-Iogzx)=3,所以F(X)

-Iogzx为一定值，设为力,即『(*)-IOgzx=力f(x)=log2x+工又由『(力=3,得log2t+t

=3,解得t—2.因此f(x)=logzx+2,所以g(x)=logzx+χ-7,在(0,十8)上单调递增.g(ι)

=­6<0,g(2)=—4<0,⅛∙(3)=log23-4<0,g(4)=—"0,⅛∙(5)=log25-2>0,故函数g(x)

=f(x)+x—9的零点所在的区间为(4,5).

触类旁通

(D定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数尸F(X)的区间[a,目上的图象是否连

续，再看是否有f(a)∙/(⅛)<0.若有，则函数y=F(X)在区间(a,加内必有零点.

(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上.

(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与X轴在给定区间上是否有交点来

判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.

即时训练1.(2022•河南周口摸底)函数f(x)="x+log”的零点所在区间为

)

_1-一11

I~

T--

B.4

,

一218

一

答案A

解析因为f(x)在(0,+8)上单调递增，且g[=∙∣~+iog2"=j2<0,

log9=-^--1>0，所以/ɑj,《3〈。，故函数F(X)="x+Iogzx的零点所在区间为1，I.

23

2.(2021•安徽亳州模拟)已知函数f(x)=l+χ-,+卷.若A(%)=FCL2020)的零点都

乙ð

在(a,8)内，其中a,人均为整数，当6-a取最小值时，6+a的值为()

A.4039B.4037C.1D.-1

答案A

V2V3

解析由f(x)=l+x—不+不，可得/(X)=X2—χ+l>0恒成立，所以函数f(χ)在R上

115

<O

--=一

单调递增，所以函数∕∙(χ)最多只有一个零点.又/.(—1)-2-36ΛO)=1>O,

所以函数F(X)仅有一个零点且在区间(一1,0)内.而力W=Hx-2020)的图象由AX)的图

象向右平移2020个单位长度得到，所以函数力(x)=∕(χ-2020)的零点在区间(2019,2020)

内.根据题意可知a=2019,6=2020,所以a+6=4039.

考向二函数零点个数的讨论

攵一λcx,x≤0,

例2(1)已知函数F(X)={1则函数尸:F(X)+3x的零点个数是()

1+-,x〉0,

X

A.0B.1C.2D.3

答案C

x>0,

*≤0,

解析令f(x)+3x=0,则或4解得X=O或X=-1,所以

f-2x+3x=0l+%3x=0,

函数尸Mx)+3x的零点个数是2.故选C.

(2)(2021•广西宜州联考)若定义在R上的偶函数Hx)满足F(x+2)=f(x),且当x∈[0,

1]时，F(X)=则函数尸/1(x)—log3∣x∣的零点个数是()

Λ.5B.4C.3D.2

答案B

解析；偶函数Ax)满足/'(x+2)=F(X),.∙.函数的周期为2.当*∈[0,1]时，f(x)=x,

故当X£［—1,0］时，F(X)=-X函数y=f(x)—log3∣x∣的零点个数等于函数y=f(x)的图

象与函数尸log3∣x∣的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数y=F(x)的图象与函数

P=Iog3∣x∣的图象，如图所示.显然函数尸F(x)的图象与函数y=log3∣∙的图象有4个交

点，故选B.

I触类旁通.确定函数零点个数的方法及思路

(D解方程法：令HX)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,6］上是连续不断的曲线，且

f(a)∙/(⅛)<0,

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多

少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其

交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

■■即时训练3.函数Ax)=/—©的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案C

一矛

,得/'(一才)=(―x)2—©

解析由F(X)=V=∕U),ʌf(ɪ)为偶函数,

且在(0,+8)上单调递增，又f(0)∙Hl)<0,.∙.f(χ)在(0,+8)上有且仅有1个零点.

函数F(X)的零点个数为2,故选C.

4.(2022•南昌模拟)已知函数MX)=ʃI(-χ)I,后0,函数g(x)是周期为2的偶函

IIOg5才，x>0,

数，且当x∈［0,1］时，g(x)=2'-L则函数y=f(x)—g(x)的零点个数是()

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析函数尸f(χ)—g(χ)的零点个数就是函数尸:f(χ)与y=g(χ)图象的交点个数.在

同一坐标系中画出这两个函数的图象，如图.

由图可得这两个函数的交点为4O,B,C,D,E,共6个点.所以函数尸f(x)—g(x)

共有6个零点.故选B.

精准设计考向，多角度探究突破

考向三函数零点的应用

角度1利用零点比较大小

例3⑴已知a是函数MX)=2'-log∕的零点，若(Km<a,则f(㈤的值满足()

2

A.F(xo)=OB./U)>0

C./(ʌb)<0D.f(xo)的符号不确定

答案C

解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=2",y=logj的图象(图略)，由图象可知,

2

当0<Λb<a时，有2Ab<log]Xo,即F(Ab)<0.

2

(2)(2021•山西大同高三阶级考试)已知&b,gd都是常数，Gb,c>d若AX)=2021

一(x—a)(x—8)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()

A.a>c>b>dB.a>b>c>d

C.c'>d>a>bD.c>a>b>d

答案D

解析F(X)=2021—(x—a)•(%—⅛),又/'(a)=f(6)=2021,ctd为函数f(x)的零点,

且a>b9c>d9所以可在平面直角坐标系中作出函数F(M的大致图象，如图所示，由图可知

c>a>∆>√,故选D.

触类旁通在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进

行分析，找出零点的范围，进行大小比较.

即时训练5.已知函数/U)=Q-logɜɪ,若实数於是方程/(ʃ)=0的解，且Ai><x1,

则HM)的值()

A.恒为负B.等于零

C.恒为正D,不大于零

答案A

解析由于函数f(x)=(∣j—lθg3X在定义域内是减函数，于是，若/"(加=0,当Xo<Xι

时，一定有f(xJ<O∙故选A.

6.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e*+χ-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x

—2的零点为6,则下列不等式中成立的是()

A./(a)<f(l)<f(∆)

B.f(a)<ΛZ?)<Al)

C.fW<f(,a)<f(b)

D.Λ⅛)<ΛD<∕-(a)

答案A

解析由题意，知/(x)=e'+l>O恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而F(O)

=e°+0-2=—1<0,f(l)=e'+1—2=e—1>0,所以函数f(x)的零点ad(0,1)；由题意，

知g'(x)=1+l>0,所以函数g(x)在(0,+8)上是单调递增的，又g(l)=ln1+1—2=一

KO,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函数g(x)的零点6G(1,2).综上，可得(KaG<伙2.

因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(l)<f(扮.

角度2由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)设函数f(x)=

Inx∖,x>0,

一，、-C若函数g(χ)=Mx)有三个零点，则实数8的取值范围是()

(e(Λ-+1),ʃ≤0.

A.(1,+∞)B.A,Oj

C.(1,+∞)U{0}D.(0,1]

答案D

解析令g(x)=f(x)—6=0,函数g(x)=f(x)—6有三个零点等价于/'(x)=6有三个

根.当x≤0时，f(x)=e'(x+D,则F(x)=er(*+l)+e'=e*(x+2),由F(x)<0得e'(x

+2X0,即水一2,此时f(x)为减函数，由/(x)>0得e'(x+2)>0,即-2<*W0,此时f(x)

为增函数，即当X=T时，M*)取得极小值/1(一2)=一二，作出F(X)的图象如图，要使F(X)

e

=6有三个根,贝∣JO<6WL故选D.

(2)已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),且当χe［l,3)时，f(x)=lnx,若在区间［1,9)

内，函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()

答案B

解析因为f(x)=f(3x)=F(X)=当χg［3,9)时，［1,3),F(A)=《胃=In

InX,1≤X3,

V

W，所以f(x)=<Xg(x)=F(x)-ax有三个不同零点=y=F(x)与y=ax的图象

JIn~,3≤X9.

ð

有三个不同交点，如图所示，可得直线尸ax应在图中两条虚线九A之间，易知Z的斜率

ln1

1„ZX11^3

为于，心与尸InN切，设切点为4°,㈤.因为/=?所也=丁

解得刘=3e,所以心的斜率址'所以［Λa<⅛故选B.

触类旁通J已知函数零点求参数范围的常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数

形结合求解.

即时训练7.(2022•安徽蚌埠高三第一次教学质量检查)设Λx)=

4—χ/2

1''、若关于X的方程"(x)r+aF(*)+l=0有6个实数解，则实数a的取

Hln(X-I),*22,

值范围是()

U(2,+∞)

U[2,+∞)

答案ʌ

4—Z,矛〈2,

解析作函数『(%)=的图象如图所示，令/(ɪ)=t,则方程"(x)］

41n(X-I)，x22

+af(x)+l=O可化为-+af+l=O,要使关于X的方程［f(x)F+af(x)+1=0有6个实数

zl=a2-4>0

解,则方程d+at+l=O在(0,4)内有两个不同的实数根，.•.〈

O2+a∙0+l>0,

42+4a+l>0,

-2,故选A.

8.若函数f(x)=4,-2'—a,*e［—1,1］有零点，则实数a的取值范围是.

答案-；，2

解析因为函数F(X)=4'—2'—a,XG［-1,1］有零点，所以方程4'-2,-a=0在［-1,

,、2

1］上有解，即方程a=4,-2'在［-1,1］上有解.方程a=4'-2'可变形为a=6］)-ɪ

因为x∈［T,1］,所以2'∈2,所以(2T)-∣∈一52.所以实数a的取值范围是

课时作业I

1∙函数f(x)=lnL占的零点的个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析在同一平面直角坐标系中作出函数尸—与y=lnX的图象(图略)，由图象可

知有两个交点.

2.(2021•贵阳模拟)设f(x)=3'-V,则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是

()

A.[0,1]B.[1,2]

C.[-2,-1]D.[—1,0]

答案D

解析Vf{x)=2>s-χ,：.Λ-2)=3^2-(-2)2=-y<0,∕,(-l)=3^'-l=-∣<0,/(0)

=3o-O=l>O,/(l)=3'-l2=2>0,/(2)=32-22=5>0,Λ∕(-l)•/(0)<0,则函数=X)在

区间[-1,0]内有零点.

2"—1,x≤l,

3.(2022•山西太原摸底)已知函数f(x)=一则函数AX)的零点为()

1+log2x,x>l,

1

Æ-O民-O

2,

2,

1

-O

2D.

答案D

解析当x≤l时，由F(X)=2*—1=0,解得x=0；当x〉l时，由F(X)=I+log2*=0,

解得不=看又因为x>l,所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.

4.设a是方程21nχ-3=-χ的解，则a在()

A.区间(0,1)内B.区间(3,4)内

C.区间(2,3)内D,区间(1,2)内

答案D

解析令F(x)=21nX—3+%则函数F(X)在(0,+8)上单调递增，且F(I)=-2〈0,

Λ2)=21n2-l=ln4-l>0,所以函数F(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内.

5.函数/V)=*cos2x在区间［0,2n］上的零点的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析F（X）=XCoS2x=0=x=0或COS2x=0,又COS2κ=0在［0,2冗］上的根有彳,

牛，『，共4个，故F（X）在［0，2n］上有5个零点.

6.若於是方程=>的解，则施属于区间（）

答案C

111

解析令g(x)=(O.f(x)=x,则g(0)=l>f(O)=0,∙sQ)=Cdl)=S,

7.（2022•重庆模拟）函数f（x）=3,—logz（一才）的零点的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

答案B

解析AX）的定义域为（-8,0）,且f（χ）在（-8,0）上单调递增，A-I）W>0,/（-

ɔ

2)=，所以函数F（X）=3'-logz（一χ）有且仅有1个零点，故选B.

8.若函数F3=E-2）/+而*+（2叶D的两个零点分别在区间（一1,0）和区间（1,2）

内，则勿的取值范围是（）

答案C

∕w≠2,

解析依题意，结合函数F(X)的图象可知勿需满足IF(—1)•/(0)<0,即

ʃ(l)•/(2)<0,

⅛≠2,

V(/Z/—2—%+2〃?+1)(2切+1)<0,

、(%一2+∕zz+2nr∖-1)[4(In—2)+2πr∖~2zσ+1]<0,

解得;〈水;.

9.(2021•宁夏银川模拟)已知M是f(x)=(7)+：的一个零点，xι∈(-8,X0),Λ2∈

U,0),则()

A.ΛΛ.)<0,ΛX2)<0

B.f(x)>O,∕U)>0

C.∕U)>0,/(Λ2)<0

D.f(%)<0,『(就>0

答案C

/1、X

解析如图，在同一平面直角坐标系内作出函数尸,尸一1的图象，由图象可知,

当x£(—8,施)时∙，f-J当X∈(xo,0)时，(])<—ɪ,所以当Xl£(—8,Xo),X2EL

10.已知函数F(X)=2*-log]X,且实数於力c>0满足Fg)F(力F(C)<0,若实数照是函

2

数y=f(x)的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是()

A.Λb≤aB.Λo>a

C.x«bD.xo<c

答案D

解析因为函数Ax)是(0,+8)上的增函数，且AXo)=0,所以当X〉质时，F(X)>0.

若c〉xo,则f(c)>O,f(6)>0,f(a)>0,这与F(a)f(6)f(c)<0矛盾，故c>x0不可能成立.故

选D.

∩2Λ-11,水2,

11.(2021•吉林长春高三监测(三))若函数F(x)={3则函数g(x)=

---后2,

(>一］

f(f(x))-2的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析原题等价于求方程f(f(x))=2的根的个数，令t=f(x),则f(t)=2,方程AJ)

=2有两个不等实数根，t,=log23,t2=~,画出函数f(x)的图象如图，由图可知方程Hx)

=3,Ax)=上各有两个不等实数根，故原函数共有4个零点.故选B.

[cos(2∏ɪ-2πa)，x<a,

12.(2021•天津高考)设a∈R,函数f(x)=?,,、,、若HX)在

Ix-2(a+l)x+la2+5,x^a.

区间(0,+8)内恰有6个零点，则a的取值范围是()

C。，IUγ,3)D.e,2)Uγ,3)

答案A

解析因为/一2(2+1)»+才+5=0最多有2个根,所以CoS(2兀X—2冗a)=0可能有

j［Alk

4个，5个，6个根，由2人才一2冗a="y+4n,4∈Z可得才=］+彳+a,A∈Z,由0<万+彳+

11179

水Η可得一2〃一5〈伏一］,①当x<a时，当一5W—2a—］〈一4时，F(X)有4个零点，即1〈忘了

当一6W-2a—永一5,HX)有5个零点，即/a*；当一7W—2a-/<—6,f(x)有6个零点,

1113

即7<"W-p②当时，f{x)=χ-2(a+l)x+a+5,Δ=4(a÷l)2-4(^+5)=8(^—

2),当尿2时，J<0,AX)无零点；当a=2时，4=0,F(X)有1个零点；当a>2时，令F(a)

=a°—2a(a+l)+a2+5=-2a+520,则2<<aW*此时f(x)有2个零点；所以当a>∣时，f(x)

有1个零点.综上，要使f(x)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足4或

[2〈丐

44—<a≤-,(9^1/511'

5或j44则可解得a的取值范围是(2,IlUG了

a=2或a>5.a<2,

13.已知函数尸f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表:

X123456

y124.435-7414.5-56.7-123.6

则函数y=f(x)在区间口，6]上的零点至少有个.

答案3

解析由零点存在定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,

5)内均有零点，所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.

Inχ-χ+2x,*>0,

14.函数F(X)=,一C的零点个数是

[4x+l,x≤0--------

答案3

解析当x>0时，作出函数尸111%和7=1-2X的图象如图，由图知，当上0时，F(X)

有2个零点；当x≤0时，由F(x)=0,得X=一；.综上,F(x)有3个零点.

flog(x+l),x>0,

15.(2021•山西大同模拟)已知函数f(x)=《22C-八若函数g(x)=Hx)—

[-χ—2x,XW0,

必有3个零点，则实数加的取值范围是.

答案(0,1)

解析函数g(x)=F(x)—必有3个零点，转化为f(x)—加=O的根有3个，进而转化为y

=『(")和尸勿的图象有3个交点.画出函数y=f(x)的图象，由图象可知要使函数尸Hx)

和y=勿的图象有3个交点，/应满足0<成1,所以实数力的取值范围是(O,D.

2-

］一