福建漳州市2023年高二年级上册数学期末统考试题含解析

福建漳州市2023年高二上数学期末统考试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={(%»)12+丁2=1},5={(乂训y=x},则A8中元素的个数为()

A.3B.2

C.lD.0

2.设a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若,-1―,依次成公差不为0的等差数列，则()

tanAtanBtanC

A.a,b,c依次成等差数列B./,o2依次成等差数列

C.C，而，无依次成等比数列D./,b2,°?依次成等比数列

22

3.已知倾斜角为:的直线与双曲线C:=—\=1(。〉0力〉0),相交于A,B两点、,M(L3)是弦A3的中点，则

双曲线的渐近线的斜率是()

A.±V3B.+—

■3

C.+V2D.+—

2

4.已知a=(2,0,3)石=(4,—2,1)4=(—2,x,2),若(a—6)，c,则％=()

A.4B.-4

C.2D.-2

5.命题“Vx>l,V—2>0”的否定是()

A.Vx>1,x2-2<0B.V尤<1,x2-2>0

C3x<l,X2-2<0D.3X>1,X2-2<0

6.已知等比数列{为}的公比为正数，且。3—=4。；，“2=1，则。1=()

A.4B.2

1

C.lD.—

2

7.已知直线6+2y—4=0与直线x+（a+l）y+2=0平行，则实数a的值为（）

A.lB.-2

52

C.l或—2D.一—

3

8.圆f+y2-2尤+4y+l=0与圆（x—4）2+（y—2）2=9的位置关系为（）

A.内切B.相交

C.外切D.相离

9.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖腌（"M）.如图所示的三棱锥P-ABC为一鳖腌，且K4,

平面ABC,平面若NPC4=a,NACB=分，/PCB=y,贝！|（）

P

;

C

A.cosy-cosacos0B.cosa=cosP•cosy

C.sin/=sina-sinPD.sina=sin力•sin/

10.已知圆拉与直线2x-y+逐一4二0与2x—y——4=0都相切，且圆心在x+y—5=0上，则圆M的方程为

()

A.(％-3)2+(y-2)2=1B.（x+3）2+（y-2）2=4

C.(x-3)2+(y-2)2=2D.（x-3）2+（y+2y=1

ii.已知抛物线y2=2px(p>0)上曲J一点M（3,2遍），则点M到抛物线焦点尸的距离|加巴等于（）

A.6B.5

C.4D.2

,

12.命题“三46R，%0+2X0+1<0'的否定形式是（）

A.Vxe7?,x~+2x+l>0B.3XQeR,XQ^+2XQ+1〉0

C.BxeT?,x2+2x+l>0DXxeR,x2+2x+l<0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上面一层

有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球….…设各层球数构成一个数列{4},其中4=1,%=3,%=6,

贝！Ia5=______

jr

14.如图，在五面体中，AB/IDC,NBAD=—,CD=A£）=3,四边形ABEE为平行四边形，FA1

2

平面ABC。，FC=5,则直线AB到平面EEC。距离为

15.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案.通过抽样，

获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,...»[4,4.5）分成9组，制

成了如图所示的频率分布直方图，则〃=

频

率

组

距

o

.52

O,40

Q

16

12

O8

O4

00,511.522.533.544.5月均用水量/吨

16.如图，用四种不同的颜色分别给A,B,C,。四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次

使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答）

AB

CD

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=4O,PA=PB=PCAC=8,。为AC的中点.

（1）求证：P0,平面ABC；

（2）若点M在棱上，且MC=2VB,求点C到平面POM的距离.

18.（12分）已知函数/（》）=奴3+%2+法3力€11）的图像在尤=1处的切线斜率为3,且x=-2时，y=/（x）有极

值.

（1）求/（X）的解析式；

（2）求在[-3,2]上的最大值和最小值.

19.（12分）2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每

消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红

色小球、2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球、3个黄色小球

的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个

红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.

（1）若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

（2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

n[x=2cosO

20.（12分）在平面直角坐标系xQy中，过点P（LO）且倾斜角为：的直线与曲线.八（。为参数）交于A3

4[y=sint/

两点.

（1）将曲线。的参数方程转化为普通方程；

(2)求|AB|长.

21.（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，H4,平面ABC,AC=BC=2,AP=AB=26，。为6?的中点.

（1）证明：平面A4C；

（2）求平面AC。与平面PBC所成二面角的正弦值.

Y—2

22.（10分）已知函数/■（》）=：一

x-a

（1）当。=3时，求"X）的单调区间；

（2）当a<0时，证明：/（%）存在最大值，且/（尤）〈:恒成立.

O

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合4表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集

合5表示直线y=X上所有的点组成的集合，又圆V+y2=1与直线y=x相交于两点—日,一曰］,

则A8中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集

合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值

后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

2、B

221

【解析】由等差数列的性质得---+—利用正弦定理、余弦定理推导出/+/=2廿，从而吩，

tanBtanAtanC

依次成等差数列.

【详解】解：•••”，》，C分别是ABC内角A,B,C的对边,

—,—,依次成公差不为0的等差数列，

tanAtanBtanC

211

/.----------=--------------1-------------,

tanBtanAtanC

用用七跄士国-r阳2cos3cosAcosC

根据正弦定理可得-------=-----+------,

bac

:.2accosB—bccosA+abcsC,

.•./+」2J

22

••-«2+c2=2/,

Aa2,b2,°?依次成等差数列.

故选：B.

【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基

础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.

3、A

【解析】依据点差法即可求得a、6的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.

【详解】设4%%）、A（%,%），贝！=3,21sli=1

[22

纹_j

“b2可得5-%)(%+%)（占一々）（％+马）_0

由＜

22.「a2&2T

也士=1

L2廿一

E62c口…,L

则一^—==0,即〃2=3Z?92，贝n!la=6〃

ab

22

则双曲线C:与—==1(。〉0/〉0)的渐近线的斜率为±@=±73

abb

故选：A

4、B

【解析】先求出a-b的坐标，然后由（a-。可得3-。）・0=0,再根据向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】因为a=（2,0,3）,〃=（4,—2,1）,所以。一日=（一2,2,2）,

因为(a—b)_Lc,所以(a—/?)•c=0,即4+2x+4=0,解得x=—4.

故选：B

5、D

【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可

【详解】命题“Vx>l,V-2>0”的否定是：3x>l,%2-2<0，

故选：D.

6,D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4(q>0),则由已知条件列方程组可求出火

【详解】设等比数列｛4｝的公比为9(q>0),

21028

,82fa(7=4a^

由题意得=4(q/)42,且4乡=1,即，

[c^q=1

/=4

V,

qg—1

因为q>0,所以9=2,%=g，

故选：D

7、A

【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得。，检验后确定正确答案.

【详解】由于直线依+2y—4=。与直线x+(a+l)y+2=0平行，

所以ax(a+1)=2x1,Q-+a—2=0,。=1或。=—2,

当a=—2时，两直线方程都为％-y+2=0,即两直线重合，所以a=—2不符合题意.

经检验可知a=1符合题意.

故选：A

8、C

【解析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切

【详解】圆f+y2—2x+4y+l=0的标准方程为：(X-1)2+(J+2)2=4,所以圆心坐标为(1,—2),半径八=2；圆

5—4)2+(丁一2)2=9的圆心为(4,2),半径4=3,圆心距Q=5(1—4)2+(—2—2)2=5=、+4,所以两圆相外切

故选：C

9、A

【解析】根据24,平面ABC,平面B45求解.

【详解】因为K4,平面ABC,平面Q4B,

所以PA，AC,3C，尸55C，AB,

又NPC4=1,/ACB=。,NPCB=y,

所以cos片里,cos”组cos"生

PCPCAC

cos/=cosa-cos/3,

故选：A

10、A

|2a-（5-a）+75-4|Ra-（5-a）-4

【解析】由题可设M（a,5-a）,结合条件可得,即求.

【详解】•••圆心在x+y—5=0上,

...可设圆心"（a,5—。），又圆M与直线2x—y+6—4=0与2x—y—6―4=0都相切,

Ra-（5-。）+君-4|2«-（5-«）-^-4|

解得1=3,

也fl）?#+（-1）2

•,•M（3,2）,」6-；6,即圆的半径为1,圆M的方程为（x—3y+（y—2）2=1.

故选：A.

11、B

【解析】将点"（3,2而）代入抛物线方程求出。，再由抛物线的焦半径公式可得答案.

详解】将点"（3,2#）代入抛物线方程可得24=22x3,解得p=4

贝!|阿盟=3+々=3+2=5

故选：B

12、A

【解析】特称命题的否定是全称命题

【详解】3x0G7?,XQ+2/+1<。的否定形式是\/%£氏犬2+21+1>0

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、15

【解析】由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案.

【详解】由题意可知，q=2?4=&+-+,生=/+3=1+2+3?：

4=1+2+3+...+“=^^

所以，%=空3=15

2

故答案为：15

【解析】利用等价转化的思想转化为点到面的距离，作AGLFD,利用线面垂直的判定定理证明AG，平面EFCD,

然后计算ARDF使用等面积法，可得结果.

【详解】作AGLED

如图

由AB//DC,

£>Cu平面及CD,AB<Z平面£FC£>

所以A3〃平面跖CD

所以直线AB到平面EFCD距离

等价于点A到平面EFCD距离

又E4_L平面ABC。，CDu平面ABC。

TT

所以E4LCD,又NBAD=—,则CDLAD

2

AD,E4u平面E4D,ADr^FA=A,

所以CD,平面E4。

AGu平面E4。，所以CDLAG

又CRFDu平面EEC。，CDcFD=D

所以AG，平面EEC。

所以点A到平面EFCD距离为AG

由CD=AD=3,所以AC=JC£)2+5=3匹

又FC=5,所以AF=y/FC?—AC?=布

在AAFD中，FD=VAD2+AF2=4

又LED.AG=LADAR=AG=逆

224

故答案为：m

4

【点睛】本题考查线面垂直的综合应用以及等面积法求高，重点在于使用等价转换的思想，考验理解能力，分析问题

的能力，属中档题.

3

15、3##—

10

【解析】由频率之和等于1,即矩形面积之和为1可得.

【详解】由题知，0.5x(0.08+0.16+a+0.4+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=l

解得a=0.3.

故答案为：0.3

16、48

【解析】由已知按区域分四步，然后给A,B,C,。区域分步选择颜色，由此即可求解

【详解】解：由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，第二步3区域有3种选择，

第三步C区域有2种选择，第四步。区域也有2种选择，

则由分步计数原理可得共有4x3x2x2=48种，

故答案为：48

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)亚

5

【解析】(1)POLC4易得，再由勾股定理逆定理证明05,即可得线面垂直；

(2)根据(1)得/WMC=%.POM，进而根据几何关系，利用等体积法求解即可.

【详解】解：(D连接08,

VPA=PC,。是AC中点，

/.P0±AC,po=y/pC2-OC2=A/82-42=473»

又AB=BC=4®,AC=8,AB2+CB~^AC~，

：.ABLBC,：.OB=-AC=4,

2

PB=8,APB2BO-+OP-,：.OBVPO,

AC।OB=O,AC,08u平面ABC,

:.PO,平面ABC；

(2)•.•点M在棱BC上，且MC=2VB,AB=BC=4>j2,AC=8,。为AC的中点.

OC=4,NOCM=三,MC=^!^

43

...由余弦定理得OA/2=。。2+M。2—2.OC-MC.COSNOCM=16+唯—2义4义包2乂正=型，即

9329

S4A/58岳%c.」x4x逑在』

AOPM=gx4Gx-------=---------

33△OCM2323

由（1）PO,平面ABC,

设点C到平面POM的距离为h

'^P-OMC=yC-POM^即工义更X4^=」义处x/2,解得：11=处

33335

所以点C到平面POM的距离为〃=述.

5

18、(1)f(x)——x^+；

20

(2)最大值为,，最小值为0.

3

【解析】(1)由题得3。+6=1①，12a+b=4②，解方程组即得解；

(2)令/'00=炉+2X=0解得工=一2或％=0,再列表得解.

【小问1详解】

解：求导得/'(X)=3奴2+2x+6,

因为/'(x)在％=1出的切线斜率为3,贝!］/'⑴=3,即3。+6=1①

因为x=-2时,y=f(x)有极值，贝！)为'(-2)=0.即12。+6=4②

1

a——132

由①②联立得3,所以/(x)=一X-\~X.

3

b=0

【小问2详解】

解：由(1),令/'(x)=%2+2x=0解得》=一2或％=0,

列表如下：

(-3,-2)(-2,0)

X-3-20(0,2)2

/'(X)+—+

极大值

4

20

/(尤)0极小值0T

所以，Ax)在［-3,2］上的最大值为M，最小值为0.

（2）选择方案二更划算

【解析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件

的概率公式即可得出答案；

（2）若选择方案一，则需付款10000-800=9200（元），若选择方案二，设付款金额为X元，则X可取6000,7000,

8000,10000,求出对应概率，从而可求得X的期望，在比较X的期望与9200的大小即可得出结论.

【小问1详解】

解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，

设没有抽出红色小球为事件A,

八2233

则P（A）=—x—x—=—

v744416

247

所以所求概率P=1-P（A）P（A）=1

256

【小问2详解】

解：若选择方案一，贝懦付款10000-800=9200（元）,

若选择方案二，设付款金额为X元，

则X可取6000,7000,8000,10000,

2211

P（X=6000）=—x—x—=

44416

/X2232212215

P（X=7000）=—x—x—+—x—x—+—x—x—=

,,44444444416

7

P（X=8000）=-x-x-+-x-x-+-x-x-=

,J44444444416

3

=10000）=—

故X的分布列为

X60007000800010000

1573

P

16161616

1s73

所以石（X）=6000x—+7000x—+8000x—+10000x—=7937.5（元）,

16161616

因为9200>7937.5,

所以选择方案二更划算.

20、（1）—+/=1；（2）逑.

4-5

【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.

（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到5r+2①-6=0,再利用直线参数方程的几何意义求弦

长即可.

x=2cos。

【详解】（1）因为曲线C:.八（。为参数），

y=sm"

2

所以曲线。的普通方程为：—+/=1.

4

1+

旦2

（2）由题知：直线的参数方程为「a为参数）,

忆

y二

——2t

2_

将直线的参数方程代入\+y2=i,得5/+2®-6=0.

2V2_6

4+芍=—z-'----

所以=J

5JI5；5

21、(1)证明见解析

⑵半

【解析】（1）根据勾股定理先证明AC然后证明进而通过线面垂直的判定定理证明问题;

（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.

【小问1详解】

,•*AB=272-AC=BC=2,：.AB2=AC2+BC2,

AC±BC,；PAL平面ABC,BCu平面ABC,APA±BC,

'：PA±BC,AC±BC,APoAC=A,BC_L平面PAC.

【小问2详解】

以点。为坐标原点，向量&，&的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则c(o,o,o),5(2,0,0),

A(0,2,0),P(0,2,272),£>(1,1,⑹,

设平面ACD的法向量为m=(玉,％,Z])

CAm=2y=0,

由&=(0,2,0)，CD=(1,1,V2)，有,1

CD•相=玉+%+02]=0,

取玉=0,可得平面AC。的一个法向量为蔡=(、巧,0,-1)

设平面PBC的一个法向量为*=(%,%,Z2)

CP•n=2y+2A/2Z=0,

由百=(0,2,20)，&=(2,0,0)，有<22

CB-n=2X2=0,

取为=0，可得平面PBC的一个法向量为n=(o,A/2,-1).

1二1，故平面AC。与平面PBC的夹角的正弦值为，「】=述

所以|COSVW>1=

73x73-393

22、(1)f(x)的单增区间为(1,6)，(、月3)；单减区间为(-8,-百)，卜后1),(3,+8)；(2)证明见解析.

【解析】(1)先求出函数的定义域，求出厂(龙)，由/'(%)<0,