人教版九年级数学上册同步练习 第21课 旋转单元检测（原卷版+解析）

第21课旋转单元检测一、单选题1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()2．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是()A．时针不动，分针旋转了6°B．时针不动，分针旋转了30°C．时针和分针都没有旋转D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小3．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是()A.B.C.D.4．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是()A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C5．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为()A．(3，)B．(3，)C．(，)D．(，)6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，S△ABC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A'恰好落在AB上，A'B′与BC交于点D，则S△A′CD为()A． B． C． D．7．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是()A．(，1)B．(1，﹣)C．(2，﹣2)D．(2，﹣2)8．已知，将点A1(4，2)向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为()A． B． C． D．二、填空题9．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．11．将一个正六边形绕着其中心，至少旋转度可以和原来的图形重合．12．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，∠BCD=45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是_____．13．如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．14．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，进行如下操作:将线段OPo按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，，则(1)点P5的坐标为(2)落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，(n是8的整数倍.)三、解答题16．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．17．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：(1)∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；(2)试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；(3)作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．18．(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD．(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求四边形ABCD的面积．19．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解(如图2)．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．(结果可以不化简)第21课旋转单元检测一、单选题1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【答案】A【解析】试题分析：根据轴对称图形(延某条直线对折能完全重合)与中心对称图形(绕一点旋转180°能完全重合)可以直接判断A符合条件，B均不是，C是中心对称，D是轴对称．故选A考点：轴对称图形与中心对称图形2．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是()A．时针不动，分针旋转了6°B．时针不动，分针旋转了30°C．时针和分针都没有旋转D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小【答案】D【解析】【分析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小。【详解】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D.【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算。3．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是()A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查了旋转。观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度．解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度．故选C．4．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是()A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．故选A．5．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为()A．(3，)B．(3，)C．(，)D．(，)【答案】D【解析】【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．【详解】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，∴∠BE0=∠B′FO=90°，∵四边形OABC是菱形，∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，∴∠AOC+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，∴∠B′OF=45°，在Rt△B′OF中，OF=OB′•cos45°=×=，∴B′F=，∴点B′的坐标为：(，-)．故答案为：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，S△ABC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A'恰好落在AB上，A'B′与BC交于点D，则S△A′CD为()A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，根据旋转的性质得，，证明为等边三角形，得，则可计算出，，然后在△中利用含30度的直角三角形三边的关系得，，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：过作于，，，，，，，，，，，绕点逆时针旋转至△，使得点恰好落在上，，，为等边三角形，，，，在△中，，，，△的面积．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．7．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是()A．(，1)B．(1，﹣)C．(2，﹣2)D．(2，﹣2)【答案】B．【解析】试题分析：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出MQ=1，OM=，即可确定出Q的坐标为(1，﹣)，故选B．【考点】坐标与图形变化-旋转．8．已知，将点A1(4，2)向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据平移规律分别求出A2的坐标为和点A3的坐标为(1，5)，根据旋转变换的性质求出旋转后A3的坐标．【详解】解：点A1(4，2)向左平移3个单位到达点A2的位置，则点A2的坐标为(1，2)，再向上平移4个单位到达点A3的位置，点A3的坐标为(1，5)，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为(-3，2)，故选B．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移、旋转，掌握平移规律、旋转变换的性质是解题的关键．二、填空题9．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．【答案】．【解析】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=1，∴PP′=．故答案为.10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．【答案】5【解析】试题分析：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．考点：旋转的性质11．将一个正六边形绕着其中心，至少旋转度可以和原来的图形重合．【答案】60．【解析】试题解析：∵正六边形的中心角==60°，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．考点：旋转的性质．12．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，∠BCD=45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是_____．【答案】1．【解析】试题解析：如图，过D点作DG⊥BC于G，过E点作EF⊥AD交AD的延长线于F．∠DGC="∠DFE=90°，∠GDC=∠FDE，"在△CDG与△EDF中，∵∴△CDG≌△EDF．∴EF=CG=3-2=1，即EF=GC=1．∴△ADE的面积是×2×1=1．考点：1．旋转的性质；2．直角梯形．13．如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．【答案】9【分析】根据旋转前后对应角相等可知:△FHP∽△FED,又点P为斜面中点,FP=6cm,在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长;把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差,并且这两个三角形都与△ABC相似,根据∠A=90,∠C=30,BC=12cm,求出对应边的长,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可.【详解】解:如图,点P为斜边BC的中点,PB=PC=BC=6,△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90至△DEF的位置,PF=PC=6,∠FPC=90,∠F=∠C=30,PH=PF=6=2,在Rt△CPM中,∠C=30,PM=PC=6=2,∠PMC=60,∠FMN=∠PMC=60,∠FNM=90,而FM=PF-PM=6-2,在Rt△FMN中,∠F=30,MN=FM=3-,FN=MN=3-3,△ABC与△DEF重叠部分的面积=-=62-(3-)(3-3)=9(cm).【点睛】本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识,有一定难度,注意相似三角形性质的熟练运用.14．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．【答案】3．【分析】根据题意得到，当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，从而求得CF的长．【详解】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=cm．故答案为．考点：正方形的性质；旋转的性质．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，进行如下操作:将线段OPo按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，，则(1)点P5的坐标为(2)落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，(n是8的整数倍.)【答案】(1)(-16，-16)；(2)(2n，0).【详解】试题分析：(1)由于点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1=2，那么P1的坐标为(，)，又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2=4，那么P2的坐标为(0，4)，由此类推P3的坐标为(-4，4)，P4的坐标为(16，0)，P5的坐标为(-16，-16)；(2)如果通过旋转最后落在x轴正半轴上，由于每次旋转45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，那么旋转到点Pn的坐标可以求出了．试题解析：(1)∵点P0的坐标为(1，0)，而将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，∴线段OP1=2，∴P1的坐标为(，)，又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，∴线段OP2=4，∴P2的坐标为(0，4)，由此类推P3的坐标为(-4，4)，P4的坐标为(16，0)，P5的坐标为(-16，-16)；(2)∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，∴OPn=2n，∴旋转到点Pn的坐标为(2n，0)，其中n满足的条件是n=8k(k=0，1，2…的整数)．考点：坐标与图形变化-旋转．三、解答题16．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．【答案】PP′和PC的长分别为4，6【分析】△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，故∠PBP′=90°，BP′=BP=4，利用勾股定理可求出PP′=4，由AP=CP′=2，△PCP′为直角三角形即可求出PC.【详解】解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，

∴△PB

P′是等腰直角三角形，

∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，

在Rt△PP′C中，PC===6．

答：PP′和PC的长分别为4，6．【点睛】此题主要考察旋转的性质.17．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：(1)∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；(2)试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；(3)作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．【答案】(1)∠BAE+∠CAD＝150°，理由见解析；(2)见解析；(3)在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，∠MAN＝75°．【解析】【分析】(1)根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和差即可得到结论；(2)根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论；(3)根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．【详解】(1)∠BAE+∠CAD＝150°．理由如下：∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°；(2)∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；(3)在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化．理由如下：如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD．∵AM，AN分别是∠∠BAD和∠CAE的平分线，∴∠MAD∠BAD＝30°∠CAD，∠NAC∠CAE＝45°∠CAD．∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°∠CAD+∠CAD+45°∠CAD＝75°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．18．(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD．(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)108【解析】试题分析：(1)、根据正方形的性质以及BE=DF得出△CBE和△CDF全等，从而得出答案；(2)、延长AD至F，使DF=BE．连接CF，然后证明△ECG和△FCG全等，从而得出GE=GF，从而得出答案；(3)、过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，根据(1)(2)得出DG=6，设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，根据Rt△AED的勾股定理求出x的值，最后根据四边形的面积=得出答案.试题解析：(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE＝GF∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．∴AG＝BC．已知∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG．所以10=4+DG，即DG=6.设AB