2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1 图形的相似 同步分层训练基础题

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1图形的相似同步分层训练基础题班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、选择题1．下列图形中−定相似的是（）A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似2．下列说法正确的有个（）（1）任意两个矩形都相似（2）任意两个正方形都相似（3）任意两个等边三角形都相似（4）任意两个菱形都相似．A．0 B．1 C．2 D．33．下列命题中真命题是（）A．四个内角都相等的两个四边形一定相似B．所有菱形都一定相似C．所有的等边三角形都相似D．一条线段只有一个黄金分割点4．下列说法正确的个数有（）①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（）A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：66．矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25)，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（）A．5 B．55 C．5107．如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（）A．2：1 B．2：28．四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A=117°A．77° B．83° C．117° D．80°二、填空题9．若两个相似多边形的面积之比是4：9，则这两个相似多边形的周长之比是10．对应角，对应边的两个三角形，叫作相似三角形．相似三角形的比叫作两个三角形的相似比(或相似系数)．11．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，点M，N分别在AC，BC边上，将△ABC沿直线MN翻折，点C恰好落在边AB上，记为点C1，如果△C1MN13．某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是米．三、解答题14．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．15．如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．四、作图题16．图①、图②均是边长为1的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个△A1B（2）在图②中将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B五、综合题17．如图，▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.（1）求证：▱ABEF是菱形：（2）若▱ABCD∽▱FDCE，则BCCD的值为18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.（1）在图①中，PC：PB=.（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.①如图②，在AB上找一点P，使AP=3.②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD.

答案解析部分1．答案：D解析：解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；

B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；

C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；

D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．

故答案为：D．

根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．2．答案：C解析：解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；

（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；

（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；

（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．

综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，

故答案为：C．

根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3．答案：C解析：A：四个内角都相等的两个四边形不一定相似，还需要对应边成比例，A错误；B：所有菱形不一定都相似，还需要对应角相等；B错误；C：所有的等边三角形都相似，C错误；D：一条线段有2个黄金分割点，D错误。故答案为：C

根据相似多边形的定义可知：多边形相似需要对应角相等，对应边成比例。根据定义判断即可。4．答案：A解析：解：当各边对应成比例，各角对应相等时两个图形相似，

①所有正方形各边对应成比例，各角对应相等，故都相似，此选项符合题意；②所有的矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项不合题意；

③所有的菱形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意；

④所有的等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意．

故答案为：A.根据“相似图形的对应边成比例，对应角相等”，分别判断得出答案．5．答案：C解析：解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。故答案为：C.

根据相似三角形的性质，即可得出答案。6．答案：B解析：解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和x，每一个小矩形均与原矩形相似，∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，∴25x=x5，解方程得，故答案为：B．

根据相似图形的性质可得25x7．答案：A解析：解：∵M和N分别为AB和CD的中点，∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，

∵果矩形ABCD∽矩形MNCB

∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为2：1.

根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.8．答案：B解析：解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，

∴∠D=∠D1=83°故答案为：B.

利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.9．答案：2：3解析：解：∵两个相似多边形的面积之比是4：9，

故答案为：2：3.相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.10．答案：相等；成比例；对应边解析：根据相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义可知：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形；相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.

故答案为：相等；成比例；对应边.

注意相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义与全等三角及其对应边和对应角的定义的区别：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形相等的角叫做对应角，相等的边叫做对应边.“全等三角形”一定是“相似三角形”，全等三角形的相似比（或相似系数）是1，“相似三角形”不一定是“全等三角形”．11．答案：16解析：解：设第二个矩形较长的一边长是x，

∵两个矩形相似，

∴34=4x，

∴x=163.

故答案为：163。12．答案：5或125解析：解：在△ABC中，∠C=90°，∴tanA=∴BC=6，AB=6由折叠的性质知△CMN≌△C要使△C1MN与△ABC相似，即△CMN∵△CMN≌△C∴MN是C1C的垂直平分线，设MN与C1∴OC=1如图所示：当△CMN∽△CAB时，则∠CMN=∠A，∴MNAB∴MN=1如图所示：当△CMN∽△CBA时，则∠CMN=∠B，∴∠CMN+∠MCO=90°=∠A+∠B，∴∠A=∠ACC∴AC同理，BC1=C∴OC=1设△ABC中，AB边上的高为ℎ，∴S△ABC=1∴ℎ=24∵△CMN∽△CBA，∴MNAB∴MN=125故答案为：5或12524

分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。13．答案：24解析：解：设另外一快草坪的周长为x米，

∵相似比为2：3，

∴x36故答案为：24.

设另外一快草坪的周长为x米，直接利用相似多边形的周长比等于相似比进而求解.14．答案：解：BC＝27，∠H＝83°解析：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴BCFG=ABEF，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，

∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，

∴BC6=184，

解得：BC=27，

在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，

∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，

15．答案：解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，即6：8＝7：x，解得：x＝283∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．解析：利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.16．答案：（1）解：如图，△A（2）解：如图，△A∵BC=2∴旋转过程中B点所经过的路径长=90π×2解析：（1）考虑网格大小，取相似比2：1画图比较合适，原底3个格放大后是6个格，原底边上高是2个格放大后是4格；

（2）根据题意旋转过程中B点所经过的路径长就是以点C为圆心，BC长为半径，圆心角为90°的扇形的弧长，根据弧长公式即可求取。17．答案：（1）证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AEB.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.同理，AB=AF.∴BE=AF.∵AD∥BC∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形.（2）1+解析：解：（2）由（1）知，四边形ABEF是菱形，∴AB=BE=EF=FA又四边形CDFE是平行四边形，∴FD=CE，∴AB=BE=EF=FA=CD设FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则有：BC=BE+CE=x+y∵▱ABCD∼▱FDCE∴ADCD=整理得，x解得，x=∵x>0∴x=5∴BCCD=故答案为：1+5（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；

（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.18．答案：（1）1（2）解：①在网格图②中，AB=3如图2所示，连接CD，交AB于点P，∵BC∥AD，

∴△PBC∽△PAD，∴APBP解得：AP=3，∴点P即为所要找的点；②如图3所示，作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，∵AB∥CD，∴△A'PB∽△CPD，

∵△ABP≌△A'BP，

∴△APB∽△CPD，∴点P即为所要找的点.解析：解：（1）解：图1中，∵AB∥CD，

∴△PCD∽△PBA，∴PCPB故答案为：13（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；

（2）①连