人教版九年级数学上册同步压轴题专题10与圆有关的最值问题（原卷版+解析）

专题10与圆有关的最值问题隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径例1．如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为(

)A．2 B． C．3 D．例2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为(

)A． B．2 C． D．【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为(

)A．2 B．3 C． D．【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．【变式训练3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为()A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2【变式训练4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为(

)A． B． C． D．课后训练1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为(

)A．6 B．8 C．4 D．102．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为(

)A． B． C． D．13．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为(

)A．3 B．4 C．5 D．64．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为(

)A． B． C． D．25．如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，5)，点C是⊙D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为(

)A．14 B． C． D．6．如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是(

)A． B． C． D．专题10与圆有关的最值问题隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径例1．如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为(

)A．2 B． C．3 D．【答案】D【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，∵D为AP的中点，∴DE=AP，∴当AP最小时，DE最小．∵是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，∴点P在的外接圆的上，找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3，∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，AF===3，∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，∴DE的最小值=AP=×2=．故选：D．例2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为(

)A． B．2 C． D．【答案】D【详解】，，，，，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，，点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在中，，，，，，最小值为故选：D．【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为(

)A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】解：如图，∵BE⊥CP，∴点E在以BC为直径的圆上，作点E关于AB的对称点F，∴QE=QF，∴QD+QE=QD+QF，连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小．作半圆Ｈ与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且为最小值，此时CD=2，BH=1，HC=3，在中，，．故选：D【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．【答案】【详解】解：正方形ABCD中，BC=CD=8，，连接BD，交EF于点O，如图所示：则，在中，由勾股定理，得：，∵EF平分正方形ABCD的面积，∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，∴,∵EF⊥BP交BP于G，∴，∴以OB为直径作，如上图，则点G在上，,∴连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，此时，,过点M作MN⊥BC于点N，如上图，则，在中，，，∴,在中，由勾股定理，得：，∴，即的最小值是．故答案为：．【变式训练3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为()A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2【答案】B【详解】解：如下图所示，以AP为直径作，连接OD，过D作DM⊥AP于M．∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP．∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．∴DE是中60°圆周角所对的弦．∴当直径最小时，DE取得最小值．∴当AP⊥BC时，DE取得最小值．∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．∵∠ADE和∠APE都是所对的圆周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴＝．设AE＝2x，则PE＝2x．∴．∴OA＝OD＝x，．∴．∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝15°．∵∠DOP和∠DAP分别是所对的圆心角和圆周角，∴∠DOP＝2∠DAP＝30°．

∴DM＝OD＝．∴．∴AM＝OA+OM＝．∴AD＝＝．∵，∴．∴DE＝．∴线段DE的最小值为．故选：B．【变式训练4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，∴BC＝AB＝2，∴∠BAF＝∠EDF，在△AFB和△DFE中，，∴△AFB≌△DFE(AAS)，∴BF＝EF，∴∠BEF＝45°，∴∠AEB＝135°，∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：CE′即为CE的最小值，如图，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝2，∴∠MBA＝45°，BM＝AB＝，∴∠MBC＝90°，∴在Rt△MBC中，MC＝＝＝，∴CE′＝CM﹣ME′＝﹣．即CE的最小值为﹣．故选：A．课后训练1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为(

)A．6 B．8 C．4 D．10【答案】B【详解】解：∵EF=4，点G为EF的中点，∴DG=2，∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧(一部分)，作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，当G点刚好在直线上时，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；∵AB=4，AD=6，∴，∴在Rt△利用勾股定理有，∴，∴PA+PG的最小值为8，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为(

)A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，∴，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为．∵AB＝2，点E为AB中点，∴，∵矩形ABCD，∴，∵，，，∴，∴．∵将沿EF折叠，∴，∴，∵，∴．故选：A．3．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，∵∠ACB=90°，即在中，，∵E是斜边AB上的中点，∴，∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，∴在中，，即；当C、M、E三点共线时有或者；即，∴CM最小值为5，故选：C．4．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为(

)A． B． C． D．2【答案】A【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM==CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，∴OM=CD=，即OM的最大值为；故选A5．如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，5)，点C是⊙D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为(

)A．14 B． C． D．【答案】D【详解】解：如图：连接OC∵，是直角三角形∵点A、点B关于原点O对称，∴AO=BO∴OC是Rt△ABC的斜边上的中线，