2024届北京市80中高三数学下学期开学考试卷附答案解析

届北京市80中高三数学下学期开学考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2024年2月一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则在复平面上所对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量满足，，，则（

）A． B． C． D．4．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A．B．C． D．5．的展开式中，x的系数为（

）A． B． C．5 D．106．设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．47．在中，为的角平分线，在线段上，若，，则（

）A． B． C．2 D．8．已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列满足：，则下列命题正确的是（

）A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有10．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为（

）A． B． C． D．二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数的定义域为．12．已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为.13．已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为，．14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．15．已知函数，则下列说法正确的是.①是的周期②的图象有对称中心，没有对称轴③当时，④对任意在上单调三､解答题：本大题共6小题，共70分.16．如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，．(1)求证：；(2)若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长．17．已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.18．某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份2013201420152016201720182019202020212022年生产台数（单位：万台）35566991010a年返修台数（单位：台）323854585271648075b年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.659.9810.0011.50c注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..(1)从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；(3)记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）（注：，其中为数据的平均数）19．已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点．(1)求椭圆的方程和离心率．(2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上．20．已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．21．记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．(1)若，请写出的值；(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；(3)若，求证：存在，使得，有．1．B【分析】化简集合，结合并集的概念即可得解.【详解】由题意集合，所以.故选：B.2．C【分析】借助复数运算法则计算出后，由共轭复数的定义可得，由复平面的性质可得其在复平面上所对应的点所处象限.【详解】，则，故在复平面上所对应的点位于第三象限.故选：C.3．C【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合可求得，由此可得，进而求得结果.【详解】，，，解得：，，解得：.故选：C.4．C【分析】根据偶函数的定义，结合函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，定义域为，故是非奇非偶函数，A错，对于B，当时，在上为减函数，∴B不对，对于C，∵定义域为，且为偶函数，设，∵在上为增函数，在上为增函数，∴在上为增函数，∴C对.对于D，∵为奇函数，∴D不对.故选：C.5．A【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为1求得值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为．令，得．的系数为．故选：A．6．B【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.【详解】抛物线C：的焦点，准线方程，显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.故选：B7．B【分析】根据角平分线利用三角形等面积公式可得，再由余弦定理即可求得.【详解】如下图所示：依题意设，由可得，即，也即，显然，可得；在中，由余弦定理可得，解得.故选：B8．B【分析】按照的取值范围进行分类讨论，结合反比例函数图像性质分析题意，找出在[1,＋∞）上存在最小值的等价条件，然后借助的取值范围得出结论.【详解】①当时，恒成立，所以在上存在最小值为0；②当时，，可以看做是函数()图像向左平移个单位得到，所以在只有最大值，没有最小值；③当时，，可以看做是函数()图像向右平移个单位得到，所以若要在单调递增，需要，即.综上所述：当时，在上存在最小值，所以“”是“”的必要不充分条件,即“”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.故选：B.9．D【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误；对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误；对C,令，则，故不是递减数列，故C错误；对D,用数学归纳法证明当显然成立，假设当，则时，，故当时成立,由选项B知，对任意则数列为递减数列，故故D正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.10．A【分析】设平面的法向量为且，应用向量法表示点面距，进而求到平面的距离.【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图，则，，不妨设平面的法向量为且，由已知，所以，则，故选：A11．【分析】由对数复合型、分式复合型函数的定义域即可得解.【详解】由题意，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.12．##【分析】根据给定条件，求出值，进出求出离心率即可.【详解】显然，双曲线的渐近线方程为，依题意，，即，因此双曲线方程为，即，所以双曲线的离心率.故答案为：13．（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根据立方和公式以及基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.所以，若，则，所以为假命题.所以一组的值为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）14．【分析】先得到新数列，是首项为，公差为的等差数列，求出通项公式，解不等式即能求出数列的项数.【详解】由题知，满足上述条件的数列为，该数列为首项是，公差为的等差数列，则，解得，故该数列的项数为.故答案为：15．①③④【分析】利用函数周期的定义判断①；根据函数对称性的定义求出对称中心或对称轴判断②；借助辅助角公式可得，结合正切函数的单调性及三角恒等变换判断③；当，时，探讨函数单调性判断④.【详解】对于①，，则是的周期，①正确；对于②，，且，有，，则的图象关于点对称，关于直线对称，②错误；对于③，当时，，又，即，则，即，则，③正确；对于④，由是的周期知，只需考虑，时函数的单调性，当时，，函数与均单调递增，而在上递增，则单调递增；当时，，函数与均单调递减，而在上递增，则单调递减，④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：①函数奇偶性、周期性和对称性的判断常用定义去验证；②要证明周期函数的单调性往往只需证明函数的一个周期的单调性，复杂函数的单调性判断优先尝试利用复合函数的“同增异减”.16．(1)证明见解析(2)直线与平面所成角是，.【分析】（1）先证明平面，再由线面平行的性质定理得证线线平行；（2）如图建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角，然后设，设，然后由与平面的法向量垂直求得，从而得点坐标，再计算出向量的模（线段长）．【详解】（1）证明：在正方形中，是的中点，，又平面，平面，平面，平面，且平面平面，；（2）底面，，底面，，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，设直线与平面所成的角为，则，，直线与平面所成的角为，设，在棱上，可设，即，，，，是平面的法向量，，即，解得，，．17．(1)；(2)【分析】（1）先将解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得在附近的五个零点，从而得到关于的不等式组，由此得解.【详解】（1）选条件①②：由题意可知，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，因为函数的图象经过点，所以，所以，所以，所以.选择条件①③：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，所以，所以.选条件②③：，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，因为函数的图象经过点，所以，所以，所以或，显然此时的值有多个，的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.（2）由（1）知，令，得，所以或，即或，所以在附近的五个零点为，，，，，因为在区间上有且仅有2个零点，所以，为在区间上的两个零点，故，解得，所以的取值范围是.18．(1)(2)分布列见解析，期望为(3)7或12【分析】（1）计算出各年产品的平均利润，得到平均利润不小于100元/台的有6个，小于100元/台的有3个，利用组合知识求出概率；（2）计算出各年的年返修率，得到不超过千分之一的年份有7个，超过千分之一的年份有2个，得到X的可能取值和对应的概率，求出分布列及期望值；（3）计算出，从而得到方程，求出a的值.【详解】（1）2013年产品的平均利润为元/台，2014年产品的平均利润为元/台，2015年产品的平均利润为元/台，2016年产品的平均利润为元/台，2017年产品的平均利润为元/台，2018年产品的平均利润为元/台，2019年产品的平均利润为元/台，2020年产品的平均利润为元/台，2021年产品的平均利润为元/台，故平均利润不小于100元/台的有6个，小于100元/台的有3个，故从2013~2021年中随机抽取两年，这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为；（2）2013年产品的年返修率为，2014年产品的年返修率为，2015年产品的年返修率润为，2016年产品的年返修率为，2017年产品的年返修率为，2018年产品的年返修率为，2019年产品的年返修率为，2020年产品的年返修率为，2021年产品的年返修率为，年返修率不超过千分之一的年份有7个，超过千分之一的年份有2个，X的可能取值为1,2,3，则，，，故分布列为：123故，（3）2013~2017年年生产台数的平均数为（万台），故，2018~2022年的年生产台数的平均数为，故，解得：或12（万台），故a的值为7或12.19．(1)；.(2)点在定直线上【分析】（1）由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程和离心率；（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据可得间的关系式．设，再由可得间的关系式，将韦达定理代入化简即可得出点在定直线上，再检验直线的斜率不存在是否满足.【详解】（1）由椭圆的定义知，，故，所以椭圆的方程为，故，所以椭圆的离心率为.（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则联立可得：，则，解得：，设，，则，，由可得：，即，设，由可得：，即，即，则，因为点在直线上，所以，所以点在定直线上，若直线的斜率不存在，过的直线与椭圆交于、两点，，，所以，则，所以，解得：，满足点在定直线上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.20．(1)有极小值，无极大值.(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用极值的定义求解即可；（2）分类讨论求的单调区间即可；（3）利用“恒切函数”的定义，列方程组得出，然后结合的范围求解即可.【详解】（1）函数,,当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故有极小值，无极大值.（2），当时，，在单调递减；当时，，,，,且为增函数，时，，在单调递增；时，，在单调递减；综上得：