2022年上海市上海中学自主招生数学试卷

第1页（共1页）2022年上海中学自主招生数学试卷一、填空题1．（3分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是．2．（3分）下面图1、2、3可分别用于说明．、“勾股定理”；、“平方差公式”；、“完全平方公式”；将、、按对应顺序填入）3．（3分）使得的值是一个正整数的整数一共有个．4．（3分）设动直线与函数的图象交于点，，与函数的图象交于点，，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论：①函数与在上是“逼近函数”；②函数与在上是“逼近函数”；③函数与在上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是．5．（3分）如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数．6．（3分）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为．8．（3分）设，，，，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，，100；②；③，则的最小值和最大值的和为．9．（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有种不同的爬行路径．二、解答题10．斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．11．有一矩形纸片，，，将矩形沿对角线对折后放于桌面上，探究其覆盖桌面的面积．12．我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且，存在唯一实数，使得，记作，，如图，已知、、、为同一直线上顺次四点．（1）若，，则，；（2）若，则称、、、为调和点列，请探究此时、、这三条线段的长度满足的关系，并证明．

2022年上海中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是迎．【分析】正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：由图可知，与“上”字所在面相对的面上的汉字是“迎”，故答案为：迎．2．（3分）下面图1、2、3可分别用于说明、、．、“勾股定理”；、“平方差公式”；、“完全平方公式”；将、、按对应顺序填入）【分析】根据勾股定理、完全平方公式、平方差公式解决此题．【解答】解：由图1得，，那么可说明完全平方公式．由图2得，设大正方形的边长为，则，即，那么可说明勾股定理．由图3得，，那么可说明平方差公式．故答案为：、、．3．（3分）使得的值是一个正整数的整数一共有4个．【分析】因为，根据的值是一个正整数，则可以取0，1，2，3．【解答】解：原式．的值是一个正整数，可以取0，1，2，3，一共有4个．故答案为：4．4．（3分）设动直线与函数的图象交于点，，与函数的图象交于点，，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论：①函数与在上是“逼近函数”；②函数与在上是“逼近函数”；③函数与在上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是①②③．【分析】由“逼近函数”定义逐项判断即可．【解答】解：由“逼近函数”定义知在上，时，函数与在上是“逼近函数”，令，当时，最大为1，最小为，函数与在上是“逼近函数”，①正确；令，在上，当时，最大为1，当时，最小为，函数与在上是“逼近函数”，②正确；令，在上，当和时，取最大值1，时，取最小值为，③正确；故答案为：①②③．5．（3分）如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数6或．【分析】先确定是方程的一个根，再由有两个相等的根或有一个根是2，分别求解的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可．【解答】解：由题意可知有两个相等的根，当时，，，方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，有两个相等的根或有一个根是2，当有两个相等的根时，△，解得，此时方程的根为，三角形的三条边长分别为2，，；当有一个根是2时，，此时方程的根为或，三角形的三条边长分别为2，2，3；综上所述：的值为6或，故答案为：6或．6．（3分）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为．【分析】如图，为边的高，利用两圆相切的性质得到，则可判断为等边三角形，则，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再利用圆与圆相切的性质得到的半径，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．【解答】解：如图，为边的高，所有小圆相切，，为等边三角形，，，，，与相切，的半径，阴影部分的面积．故答案为：．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为．【分析】作点关于轴的对称点，作于，连接交轴于点，由垂线段最短以及两点之间线段最短可知此时最短．【解答】解：作点关于轴的对称点，作于，连接交轴于点，此时，点的坐标为．．由直线可知，是等腰直角三角形，，，，．．故答案为：．8．（3分）设，，，，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，，100；②；③，则的最小值和最大值的和为160．【分析】由题意可设，，，，中有个，个0，个1，个2，再由已知列关于，，，的方程组，把，，用表示，求出的范围，即可求解的最小值和最大值的和．【解答】解：由题意可设，，，，中有个，个0，个1，个2，则，，，可得，，，，由，解得：，当时，的最小值为20，当时，的最大值为140．的最小值和最大值的和为160．故答案为：160．9．（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有64种不同的爬行路径．【分析】如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数．【解答】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数，第一步：2；第二步：2；第三步：4；第四步：2；第五步：2；2×2×4×2×2＝64，∴则共有64种不同的爬行路径．故答案为：64．二、解答题10．斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：全等，理由如下：证明：设点，分别为，的中点，则，于，于，，△，，，，，，，，，△，11．有一矩形纸片，，，将矩形沿对角线对折后放于桌面上，探究其覆盖桌面的面积．【分析】由图形可知：折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是原矩形的面积减去重合的部分的面积，只要求出重合的部分的面积即三角形的面积即可得出结果．【解答】解：如图，解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为，，则：由△，得，设，则，即，，解得：，，；当时，同理，，，故答案为：或．12．我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且，存在唯一