第七章计数原理章节复习讲义 高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

校本化讲义14-高一数学备课组jin_ailiuPAGE编号022§7计数原理章节复习教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．教学目标要求1、复习本章各知识点．2、总结本章各类题型．3、总结本章所涉的各类思想方法和解题技巧．学科素养目标计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．计数问题是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是根据实际问题的需要而提出的，教学中，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入课堂，而计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题，涉及大量的物理、生物、计算机的专业知识，体现了学科之间的渗透，同时体现了问题的时代特征，虽然这些例题背景复杂，所蕴含的数学知识却相对简单，可以根据学生的实际情况，补充一些例题，以增强学生思维的灵活性和发散性，提高学生分析问题和解决问题的能力．本节重点难点重点：计数原理在各章节知识上的应用；难点：用计数原理和二项式定理解决实际应用问题．教学过程赏析基础知识积累1．分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有______________________种不同的方法．2．分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有________________________种不同的方法．3.排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4.排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法__________全排列n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,且QUOTEAnn＝n×(n－1)×…×3×2×1阶乘正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示排列数公式乘积式QUOTEAnm＝__________________________阶乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝_______________性质QUOTEAnn＝______,0!＝____备注n,m∈N*,m≤n5.组合的定义一般地，从n个______________中取出m(m≤n)个元素______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．6．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法________组合数公式乘积式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝___________________________阶乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝_________________性质Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝_______，Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝__________备注①n，m∈N*且m≤n，②规定：Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝17.二项式定理(a＋b)n＝_______________________________________(n∈N*)．这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有_______项，其中________叫作二项展开式的第_____项(也称通项)，用Tr＋1表示，即_________________．________(r＝0，1，2，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．8.二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))，Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))，…，Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))有如下性质：(1)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))；(2)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))＝__________；(3)当r＜eq\f(n－1,2)时，Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))_____Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(n))；当r＞eq\f(n－1,2)时，Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(n))______Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))；(4)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝_____．【思维结构简图】【综合复习演练】题1.＋＝()A.35 B.47 C.45 D.57题2.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为()A.－12 B.－8C.－6 D.－4题3.用1,2,3三个数字组成没有重复数字的三位数,其中三位数为奇数的概率是()A. B. C. D.题4.某医院开设了三个病区,分别是重症监护病区、普通病区、监测病区.现在将甲、乙、丙、丁4名专家分配到这三个病区,指导工作,要求每个病区至少有一名专家,则分配方式的种数为()A.20 B.18 C.36 D.12题5.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲不参加数学竞赛,则不同的安排方法有()A.86种 B.100种C.112种 D.134种题6.春节期间,某村有3个路口,每个路口需要2个人负责安全检查.现有8名志愿者,其中4名为党员,从中抽取6人安排到这3个路口,要求每个路口至少有一名党员,则不同的安排方法的种数为()A.432 B.576 C.1008 D.1440题7．的展开式中的系数是A．10 B．2 C． D．34题8.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为A．5123 B．9167 C．9176 D．9163题9(多选题).某省的新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是()A.若任意选科,选法总数为B.若化学必选,选法总数为C.若政治和地理至少选一门,选法总数为D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为＋1题10(多选题).将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子的放法种数表述正确的有()A. B.C. D.18题11（多选题）．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法数是 C．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为D．每人安排一项工作，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为题12.某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级,要求每个班级至少一个,则不同的分配方案有_______种.题13.某校在高二年级开设校本课程选修课,有5名同学要求改选中国文化史,现中国文化史开有三个班(A班、B班、C班),若A班至少接收2名同学,其余两班每班至少接收1名同学,则不同的接收方案共有___________种.题14（多空题）.二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有_______种．（用数字作答）题15.有5名同学站成一排拍照.(1)若甲乙必须站在一起,则共有多少种不同的排法?(2)若最左端只能排甲或乙,且最右端不能排甲,则共有多少种不同的排法?(3)求出现甲必须站正中间,并且乙、丙两位同学不相邻的排法种数.题16.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种.题17.有4个不同的小球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内:(1)共有多少种放法?(2)若每个盒子不空,共有多少种不同的放法?(3)恰有一个盒子不放球,共有多少种放法?题18.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(3)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.题19.已知，且.(1)求的值；(2)若，集合，求证:.编号022§7计数原理章节复习教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．教学目标要求1、复习本章各知识点．2、总结本章各类题型．3、总结本章所涉的各类思想方法和解题技巧．学科素养目标计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．计数问题是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是根据实际问题的需要而提出的，教学中，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入课堂，而计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题，涉及大量的物理、生物、计算机的专业知识，体现了学科之间的渗透，同时体现了问题的时代特征，虽然这些例题背景复杂，所蕴含的数学知识却相对简单，可以根据学生的实际情况，补充一些例题，以增强学生思维的灵活性和发散性，提高学生分析问题和解决问题的能力．本节重点难点重点：计数原理在各章节知识上的应用；难点：用计数原理和二项式定理解决实际应用问题．教学过程赏析基础知识积累1．分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3.排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4.列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法全排列n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,且QUOTEAnn＝n×(n－1)×…×3×2×1阶乘正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示排列数公式乘积式QUOTEAnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝性质QUOTEAnn＝n!,0!＝1备注n,m∈N*,m≤n5.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．6．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))组合数公式乘积式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）,m！)阶乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！（n－m）！)性质Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))，Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))备注①n，m∈N*且m≤n，②规定：Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝17.二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))an＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))an－1b＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))an－rbr＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))bn(n∈N*)．这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))an－rbr叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))an－rbr．Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))(r＝0，1，2，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．8.二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))，Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))，…，Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))有如下性质：(1)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))；(2)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))；(3)当r＜eq\f(n－1,2)时，Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))＜Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(n))；当r＞eq\f(n－1,2)时，Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(n))＜Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))；(4)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝2n．【思维结构简图】【综合复习演练】题1.＋＝()A.35 B.47 C.45 D.57【解析】选B.＋＝＋＝12＋35＝47.题2.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为()A.－12 B.－8C.－6 D.－4【解析】选A.从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种,正方体的六个面四点共面不能构成四面体有6种,正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种,所以可得到的四面体的个数为－6－6＝－12.题3.用1,2,3三个数字组成没有重复数字的三位数,其中三位数为奇数的概率是()A. B. C. D.【解析】选A.由1,2,3三个数字组成的没有重复数字的三位数共有＝6个,其中奇数有＝4个,所以三位数是奇数的概率为＝.题4.某医院开设了三个病区,分别是重症监护病区、普通病区、监测病区.现在将甲、乙、丙、丁4名专家分配到这三个病区,指导工作,要求每个病区至少有一名专家,则分配方式的种数为()A.20 B.18 C.36 D.12【解析】选C.由题知,要将甲、乙、丙、丁分配到重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区,要求每人去一个病区,有×＝6×6＝36种分配方式.题5.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲不参加数学竞赛,则不同的安排方法有()A.86种 B.100种C.112种 D.134种【解析】选B.若只有1人参加数学竞赛,有(＋)＝4×(4＋3)×2＝56种安排方法,若恰有2人参加数学竞赛,有＝6×3×2＝36种安排方法,若有3人参加数学竞赛,有＝4×2＝8种安排方法,所以共有56＋36＋8＝100种安排方法.题6.春节期间,某村有3个路口,每个路口需要2个人负责安全检查.现有8名志愿者,其中4名为党员,从中抽取6人安排到这3个路口,要求每个路口至少有一名党员,则不同的安排方法的种数为()A.432 B.576 C.1008 D.1440【解析】选C.由题意可得至少有3名党员,分两类讨论,分为恰有3名党员,恰有4名党员.若从中选取6人中恰有3名党员,从4名党员中抽取3名党员分配到3个路口,从4名非党员中抽取3人分配到三个路口,则安排方法有＝576(种).若从中选取6人中恰有4名党员,4名党员全部抽取,再从4名非党员中抽取2人,4名党员分成3组,安排到3个路口,再将两名志愿者安排,则安排方法有()＝432(种).由分类计数原理可得所求结果共有576＋432＝1008(种).题7．的展开式中的系数是A．10 B．2 C． D．34【解答】解：，故展开式中的系数是，故选：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．题8.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为A．5123 B．9167 C．9176 D．9163【分析】根据算筹表示数字的规则，依次寻找表格中对应的数字即可．【解答】解：按每一位数上算筹的根数分类,一共有15种情况:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).由题图可知,2根及2根以上的算筹可以表示两个数字,则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,故5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选：．【点评】本题考查数学文化，此类题目读懂规则，注意对应关系，属于基础题．题9(多选题).某省的新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是()A.若任意选科,选法总数为B.若化学必选,选法总数为C.若政治和地理至少选一门,选法总数为D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为＋1【解析】选BD.若任意选科,选法总数为,A错;若化学必选,选法总数为,B正确;若政治和地理至少选一门,选法总数为(＋1),C错;若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为＋1,D正确.题10(多选题).将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子的放法种数表述正确的有()A. B.C. D.18【解析】选BC.根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法:方法一:分2步进行分析:①先将四个不同的小球分成3组,有种分组方法;②将分好的3组全排列,对应放到三个盒子中,有种放法;则没有空盒的放法有种.方法二:分2步进行分析:①在四个小球中任选2个,在三个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有种情况;②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有种放法;则没有空盒的放法有种.综上,BC正确.题11（多选题）．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法数是 C．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为D．每人安排一项工作，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为【解答】解：对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，正确；对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，错误；对于，甲乙看作一组，与其余三人看作4组，分配到4种工作中去，共有种不同安排方法，正确；对于，分2步分析：需要先将5人分为3组有与二种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种不同安排方法，正确；故选：．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，属于中档题．题12.某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级,要求每个班级至少一个,则不同的分配方案有_______种.【解析】将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级,要求每个班级至少一个,则不同的分配方案有＝＝220种.答案:220题13.某校在高二年级开设校本课程选修课,有5名同学要求改选中国文化史,现中国文化史开有三个班(A班、B班、C班),若A班至少接收2名同学,其余两班每班至少接收1名同学,则不同的接收方案共有___________种.【解析】分两种情况,①A班接收3名同学,其余两班每班接收1名同学,有＝10×2＝20;②A班接收2名同学,其余两班分别接收2名和1名同学,有·(＋)＝10×(3＋3)＝60.所以共有20＋60＝80种接收方案.答案:80题14（多空题）.二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有_______种．（用数字作答）【解答】解：二项式的展开式中，通项公式为，令为整数，，1，2，，6，可得，2，4，6，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为．展开式共有7项，其中有4个有理项，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻，即把3个无理项排列好，再把4个有理项插入，方法共有种，故答案为：32；144．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，排