2023年北京重点校初二（上）期末数学试卷汇编：等腰三角形

第1页/共1页2023北京重点校初二（上）期末数学汇编等腰三角形一、单选题1．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在中，，的度数为α．点P在边上（点P不与点B，点C重合），作于点D，连接，取上一点E，使得，连接，并延长交于点F之后，有．若记的度数为x，则下列关于的表达式正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（

）A．4米，4米 B．4米，10米C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米3．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(

)A．3个 B．4个 C．6个 D．7个二、解答题4．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）已知：线段及过点A的直线l．如果线段与线段关于直线l对称，连接交直线l于点D，以为边作等边，使得点E在的下方，作射线交直线l于点F，连结．(1)根据题意补全图形；(2)如图，如果，①；（用含有α代数式表示）②用等式表示线段与的数量关系，并证明．5．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E．(1)求点A到的距离；(2)连接，补全图形并求的面积；(3)若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标．6．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线及直线外一点P．求作：经过点P的直线，使得．分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；②在①中用到的判定的依据是_______．（2）已知：如图，在中，，．求作：凸四边形，使得，且为等腰三角形．请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．7．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点E．(1)作图与探究：①小明画出图1并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：_______°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想．他证明的简要过程如下：请你判断小明的证明是否正确并说明理由；(2)证明与拓展：①借助小明画出的图2证明；②延长到F，使，连结．补全图形，猜想与的数量关系并加以证明．8．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在四边形中，，平分，．(1)画出的高；(2)的面积等于______．9．（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图，在等腰中，，D、E分别为上的点，且满足．(1)求证：；(2)连接，试判断与的位置关系，并证明．10．（2023秋·北京·八年级校联考期末）已知：为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设．(1)请你根据题意，补全图形；(2)连接，①判断：_________；（填“>”、“<”或“=”）②求的大小；（用含有的式子表示）(3)试猜想和之间的数量关系，并证明．11．（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．(1)求证：为等边三角形；(2)若D是的中点，求的值．12．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）在中，．点在的延长线上，的平分线交于点．的平分线与射线交于点．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．13．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点．(1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是：，与的数量关系是：；(2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．14．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）在中，．点在的延长线上，的平分线交于点．的平分线与射线交于点．(1)依题意补全图形：用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．15．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在．(1)求证：；(2)分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积．16．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E．(1)求证：；(2)连接，若，求的周长．17．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交边于点D和点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．18．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）数学课上，李老师布置如下任务：如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使．下面是小莉设计的尺规作图过程．作法：①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接．②作的角平分线，交边于点E；则点E即为所求．根据小莉设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．证明：∵，∴＝．（

）∵是的角平分线，∴．∵，（

）即，∴．∴．19．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段求作：一个直角三角形，使线段为斜边．作法：①过任意作一条射线；②在射线上任取两点，；③分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；④作射线交射线于点．则就是所求作的直角三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)证明：连接，∵______∴点在线段的垂直平分线上（______________________）．（填推理的依据）同理可证：点在线段的垂直平分线上根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．∴．(3)在中，，如果，猜想：与满足的数量关系_____________，并证明．三、填空题20．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．（1）图中与相等的线段是_______；（2）当取最小值时________°21．（2023秋·北京·八年级校联考期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边的长为4，则底边的长为_________．22．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连接．则的度数是______．23．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连接．则的度数是___________．24．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________．25．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为______

参考答案1．B【分析】由等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质可求，由平角的定义即可求出．【详解】∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴．故选：B．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．2．C【分析】根据米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．【详解】解：当米为底时，腰长为米，另两边为7米、7米，，符合三角形三边关系，能组成三角形；当米为腰时，底边为，另两边为4米、10米，，不符合三角形三边关系，故不能组成三角形．∴另两边为7米、7米．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．3．C【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形，②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；；④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形；⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．综上所述，最多有7个等腰三角形．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．4．(1)见解析(2)①；②，理由见解析【分析】（1）根据要求作出图即可；（2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可；②结论：，在上截取，使得，连接，证明，推出，推出，可以得出结论．【详解】（1）图形如图所示：（2）解：①∵线段与线段关于直线对称，∴垂直平分线段，∵是等边三角形，，，故答案为：；②结论：理由如下：在上截取，使得，连接，是等边三角形在和中，，即．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．(1)5(2)，图见解析(3)【分析】（1）作于点F，得到，进而根据点到直线的距离和点A，B，C的坐标求解即可；（2）根据题意补全图形，首先求出是等腰直角三角形，然后由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，，得到为等腰直角三角形，进而求出，最后根据三角形面积公式求解即可；（3）由（2）可得，，可得到点P和点E重合，然后根据点D的坐标和的长度求解即可．【详解】（1）作于点F，则．由，可得．∴点A到的距离为5．（2）补全图形如下：由，可得．∴．∴．∴在中，．由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，．∴．∴．∴为等腰直角三角形，．∴．∴∴．（3）由（2）可得，，∴点P和点E重合，∵，∴点E的坐标为，∴点P的坐标为．【点睛】此题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．6．(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析【分析】(1)①过点P任意作一条直线，交直线于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，根据交点即可求得．【详解】解：(1)①作法：a、过点P任意作一条直线，交直线于点G，b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线于点M，交直线于点N，c、以点P为圆心，长为半径画弧交直线于点K，d、以点K为圆心，长为半径画弧交上一弧于点Q，e、过点P、Q作直线，直线即为所求作的直线作图如下：②由①作法可知：，(同位角相等，两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，由作法可知：，、、都是等腰三角形，作图见图．则凸四边形、、为所求作的凸四边形．【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．7．(1)①36；②不正确，理由见解析(2)①见解析；②，证明跟图形见解析【分析】（1）①增加，证明，即可证明结论成立；②他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“”来证明；（2）①根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可解决问题；②根据题意可补全图形；作于点G，证明，可得到，然后利用线段的和与差以及等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：①增加，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故增加时，成立，故答案为：36；②小明的证明不正确．他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“”来证明；（2）①证明：如图．∵，∴．∵，，，∴．∴．②补全图形见图．．证明：作于点G，如图．∵，∴，即．∵，∴．在与中，，∴．∴．①∵，于点G，∴．∵，∴，即．又∵于点G，∴．∴．②由①②得，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．8．(1)见解析；(2)3．【分析】（1）根据三角形高线的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示，高即为所求；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】题目主要考查三角形高线的作法，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．9．(1)详见解析(2)垂直平分，详见解析【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得；（2）由，，推导出，则，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明．【详解】（1）解：证明：在和中，，，．（2）连接，，证明：，，，，，，在和中，，，，．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．10．(1)见解析(2)①=；②(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）①通过证明是等边三角形，可得，由轴对称的性质可得，可得结论；②由外角的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解；（3）由“”可证，可得，通过证明是等边三角形，可得，可得结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）①是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，点关于直线的对称点为，，，故答案为：；②，，点关于直线的对称点为，，，，，，；（3），理由如下：如图，连接，点关于直线的对称点为，，，，，，，，，，，，，，又，，，，是等边三角形，，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．11．(1)详见解析(2)【分析】（1）先根据直角三角形的的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立；（2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得．【详解】（1）证明：∵于F，∴，∵，∴在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴为等边三角形；（2）解：连接，如下图，由（1）得，，，∵D为中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，即．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．(1)作图见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法即可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∴．【点睛】本题考查基本尺规作图-角平分线，在熟练掌握五种基本作图的基础上按照题意进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法灵活求解，在第一问基础上由等腰三角形性质、角平分线定义、邻补角定义及外角性质求解是解决问题的关键．13．(1)(2)①；见解析；②，证明见解析【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出；（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：，点与点关于直线对称，，，，则，，，，∴．

故答案为：；．（2）选择图2时．①补全图形如图2，

图2②数量关系：．证明：在上取点，使，连接．点与点关于直线对称，，．，．．，．，．，．．．，．选择图3时．①补全图形如图3，图3-②数量关系：．证明：在的延长线上取点，使，连接．点与点关于直线对称，，．，．，．，．，．，．．．，．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）由等腰三角形性质得到，再根据角平分线的性质得到，，从而，在中，由三角形内角和定理即可得到即可确定答案．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵平分∴，∴，在中，．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握尺规作图作角平分线是解决问题的关键．15．(1)见解析(2)16【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；（2）过点D作，交的延长线于点E，根据题意可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答.【详解】（1）在中，∵,∴.∵,∴.∴；（2）过点D作的延长线于点E，由作图得，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，在中，∵,,∴，∴的面积．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16．(1)见解析(2)9【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，再根据角平分线的性质得到；（2）判定是等边三角形，即可求出周长．【详解】（1）证明：∵在中，，∴，∵是边的垂直平分线，∴，∴，∴∴平分，∵，∴；（2）解：∵在中，，，

∴，

∵是边的垂直平分线，∴，∴，∵，

∴是等边三角形，∴的周长为9．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．17．(1)见解析(2)，见解析【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论；（2）延长至F，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出．【详解】（1）证明：在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2），证明：延长至F，使，连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，即：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据所给作法即可得；（2）根据等边对等角得，根据是的角平分线得，根据三角形外角性质得，即，可得，即可得．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：∵，∴．（等边对等角）∵是的角平分线，∴．∵，（三角形外角性质）即，∴．∴．【点睛】本题考查了尺规作图，等边对等角，三角形的外角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．19．(1)见解析；(2)，线段垂直平分线的判定定理；(3)，证明见解析．【分析】（1）根据题中的作法步骤，求解即可；（2）根据线段垂直平分线的判定，求解即可；（3）连接，通过证明为等边三角形，求证即可．【详解】（1）解：如下图所示：（2）证明：连接，∵∴点在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．同理可证：点在线段的垂直平分线上根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．∴，故答案为：，线段垂直平分线的判定定理；（3），证明如下：连接，如下图：由（2）可得，，,可得为等腰三角形，即平分，又∵，∴，∴为等边三角形，∴．【点睛】此题考查了尺规作图－作垂线，线段垂直平分线的判定以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．20．/95【分析】（1）根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理得出，再由全等三角形的判