河北省石家庄市新乐博林中学高二数学理模拟试卷含解析

河北省石家庄市新乐博林中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．【解答】解：函数，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．2.已知i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=1+ai，若z1?z2是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：z1?z2=（1﹣i）（1+ai）=1+a+（a﹣1）i纯虚数，∴1+a=0，a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选：B．3.已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4.若两条直线与同一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A.

平行

B.异面

C.相交

D.平行、异面或相交参考答案：D略5.已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2=1上的动点，且=0，则?的取值是（）A．[，1] B．[1，9] C．[，9] D．[，3]参考答案：C【考点】圆锥曲线与平面向量；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的关系．【分析】利用=0，可得?=?（﹣）=，设A（2cosα，sinα），可得=（2cosα﹣1）2+sin2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵=0，可得?=?（﹣）=，设A（2cosα，sinα），则=（2cosα﹣1）2+sin2α=3cos2α﹣4cosα+2=3（cosα﹣）2+，∴cosα=时，的最小值为；cosα=﹣1时，的最大值为9，故选：C．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．7.函数，则（

）A、

B、3

C、1

D、命题意图：基础题。考核常数的导数为零。参考答案：C8.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；

②垂直于同一平面的两平面平行；

③平行于同一直线的两直线平行；

④平行于同一平面的两直线平行．

其中是“可换命题”的是

(A)①②

(B)①④

(C)①③

(D)③④参考答案：C9.曲线的切线的斜率的取值范围是（

）A.(-,0)

B.(0,

+)

C.(-,+)

D.(

0,1)参考答案：B10.已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()A．3x＋4y－1＝0

B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0

D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知：m，l是直线，α、β是平面，给出下列5个命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；

②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；

④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；

⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l。其中正确的命题序号是

。（写出所有真命题的序号）参考答案：①④12.已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为

；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为

．参考答案：（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．13.椭圆上一点A到左焦点的距离为，则A点到右准线的距离为

．参考答案：314.直线(a+1)x－(2a+5)y－6=0必过一定点，定点的坐标为

参考答案：（－4，－2）15.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=

.参考答案：19216.若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于 ．参考答案：217.在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.参考答案：（1），，，

………………1分曲线在点处的切线斜率为.

…………2分又，所求切线方程为，即．……3分（2），①若，当或时，；当时，.的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…5分②若，，的单调递减区间为.…6分③若，当或时，；当时，.

的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…8分（3）当时，由（2）③知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

在处取得极小值，在处取得极大值.

……………10分

由，得.

当或时，；当时，.

在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.

…12分

函数与函数的图象有3个不同的交点，

，即.

.…………14分19.已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．参考答案：【考点】71：不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为420.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为，所以，所以，，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.（本题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.参考答案：(Ⅰ)∵为，的等差中项，，

2分∵,∴A＝. 4分(Ⅱ)△ABC的面积S＝bc