湖北省咸宁市大白中学高二数学理模拟试题含解析

湖北省咸宁市大白中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在①处应填（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．【详解】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.2.设为正整数,计算得

观察上述结果可推测出一般结论（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C3.点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A． B． C．3 D．4参考答案：C【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】求出A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出结果．【解答】解：∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（x，y），则，解得x=2，y=3，∴A′（2，3）∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|==3．故选：C．【点评】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用．4.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则的内切圆半径为(

)A. B. C. D.参考答案：C分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出的面积，利用椭圆的定义求出三角形的周长，代入内切圆半径，从而可得结果.详解：椭圆的左、右焦点分别为，则的坐标为(1,0)，过且斜率为1的直线为，即，代入，得，则，故的面积，的周长，故的内切圆半径，故选C.点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.5.某市有大、中、小型商店共1500家，它们的家数之比为1∶5∶9，要调查商店的每日零售额情况，要求从中抽取30家商店进行调查，则大、中、小商店分别抽取家数是A．2，10，18B．4，10，16C．10，10，10D．8，10，12参考答案：A6.下列四个不等式：①；②；③，④恒成立的是(

).A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B7.某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：

男生女生总计喜爱302050不喜爱203050总计5050100附K2=P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（）A．99%以上 B．97.5%以上 C．95%以上 D．85%以上参考答案：C【考点】独立性检验的应用．【分析】利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：K2==4＞3.841，∴该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”．故选C．【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心则→PA+→PB+→PC+→PD+→PE+→PF等于（

）A.→PO

B.3→PO

C.6→PO

D.→0参考答案：C略9.F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A． B．2 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选C．10.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10 C．10 D．10参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、、、是三棱锥内的四点，且、、、分别是线段、、、的中点，若用表示三棱锥的体积，其余的类推．则

．参考答案：12.如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为______。参考答案：13.已知直线l的参数方程（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．则直线l和圆C的位置关系为（填相交、相切、相离）．参考答案：相交【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l的直角坐标方程和圆C的直角坐标方程，求出圆心C（1，1）到直线l：2x﹣y+1=0的距离d，由d小于圆半径得到直线l和圆C相交．【解答】解：直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：2x﹣y+1=0，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．∴=2sinθ+2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=2y+2x，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∵圆心C（1，1）到直线l：2x﹣y+1=0的距离d==＜1=r，∴直线l和圆C相交．故答案为：相交．14.小明所在的高二年级共有1500名同学，现在以简单随机抽样的方式抽取30名同学来填写调查问卷，则小明被抽到的概率为

．参考答案：用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为，故答案为.

15.如下茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是

．参考答案：16.已知向量与向量平行，则λ＝_______参考答案：17.抛物线的焦点到准线的距离是

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）若几何体的体积为，求实数的值；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：（1）体积；

……3分（2）法一：过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，；即异面直线与所成角的余弦值为。……4分法二:以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（图略），则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。

……4分（3）平面的法向量，

……1分平面的法向量，，，……1分由，可得，。…3分此时，与正视图为直角梯形条件不符，所以舍去，因此不存在实数，使得二面角的平面角是。

……2分19.已知椭圆E：（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．20.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中不放回随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．参考答案：⑴

⑵.⑴从袋中随机抽取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．因此所求事件的概率p＝……6分⑵先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．又满足条件的事件为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个，所以满足条件的事件的概率为p1=故满足条件的事件的概率为1－p1＝1－＝……12分21.已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知得b和，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）所在定直线方程．【解答】解：（1）依题意，b=1，，又a2=b2+c2，∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4．∴椭圆E的方程为：；（2）由（1）知，A