河南省周口市教育科学研究所直属中学高二数学理测试题含解析

河南省周口市教育科学研究所直属中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在直角坐标平面内，由曲线，，和x轴所围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.

2.设椭圆和双曲线有公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，则∠---（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（

）

A、正值

B、负值

C、正值、负值或零

D、正值或负值，但不能为零参考答案：D

【考点】变化的快慢与变化率

【解答】解：△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，

故选D．

【分析】△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，即可得出结论．

4.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略5.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()

A．120

B．720

C．1440

D．5040参考答案：B略6.某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是（

）A.1,2,3,4,5,6

B.6，16，26，36，46，56

C.1,2，4，8，16，32

D.3,9,13,27,36,54参考答案：B略7.若p是真命题，q是假命题，则

参考答案：D略8.△ABC中，若cos(2B＋C)＋2sinAsinB＝0，则△ABC一定是A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形参考答案：C略9.下面给出一个“直角三角形数阵”：，1，，3……其中每一列的数成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且公比相等，则第8行的数之和等于()A.

B.510

C.256

D．72参考答案：B10.有下列数据下列四个函数中，模拟效果最好的为()x123y35.9912.01A．y＝3×2x－1

B．y＝log2x

C．y＝3x

D．y＝x2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出命题：①直线互相垂直，则实数的值的个数是；②过点的直线与圆相切，则切线的方程为；③点到直线的距离不小于；④上，则的重心的轨迹方程是。其中正确命题的序号为

。参考答案：①③④12.已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于x++≥﹣3a．令g（x）=x++，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x++≥﹣3a．令g（x）=x++，则g'（x）=，下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，∴g（x）的最小值为g（2）=，﹣3a≤g（2）=，解得a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．13.△ABC中，BC边上有一动点P，由P引AB,AC的垂线，垂足分别为M,N，求使△MNP面积最大时点P的位置。参考答案：解：，

当时，△MNP取最大值。P点位置满足。略14.已知圆与直线及都相切，且圆心在直线上，则圆的方程为__________________.

参考答案：略15.若直线L1:y=kx-与L2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则L1的倾斜角a的取值范围是

参考答案：(,)略16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：的左顶点，B、C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于___________.参考答案：略17.在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2016的值为

．参考答案：﹣4【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】利用a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列{an}是以6为周期的周期数列，由此能求出a2016的值．【解答】解：∵a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），∴a3=5﹣1=4，a4=4﹣5=﹣1，a5=﹣1﹣4=﹣5，a6=﹣5+1=﹣4，a7=﹣4+5=1，a8=1+4=5，…∴数列{an}是以6为周期的周期数列，∵2016=336×6，∴a2016=a6=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对数列周期性的发现，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知函数，，.（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.ks5u参考答案：解：（Ⅰ）=,=(x>0),（1分）由已知得

得（3分）解得a=，x=e2,（5分）∴两曲线交点为，，切线方程为，即

（6分）（Ⅱ）由条件知

（i）当>0时，令解得，∴

当0<<时，，在（0，）上递减；当x>时，，在上递增.∴

是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.∴

最小值（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值。

故的最小值的解析式为

（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知ks5u则，令解得.当时，，∴在上递增；ks5u当时，，∴在上递减.∴在处取得极大值ks5u∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.∴当时，总有

（14分）ks5u略19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=?．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=?，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|?|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．20.设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；（2）证明：f（x）．参考答案：（1）a＝5；（2）见解析【分析】（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥2．．【详解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，这与x≥a＞0矛盾，故不成立，当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝5．（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，当且仅当a时取等号，故f（x）．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．21.等差数列中，，其前项和为.等比数列的各项均为正数，，且，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设公差为d，数列的公比为，由已知可得，………………2分又.

…………

4分所以，.

…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列中，，，

…………8分，

……10分.

…………12分略22.我校高二同学利用暑假进行了社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组

150.3（1）请你补全频率分布直方图，并求出n，a，p的值；（2）请你利用频率分布直方图估计本次调查人群的年龄的中位数．参考答案：【考点】众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布表和频率分布直方图能求出n，a，p的值，补全频率分布直方图．（2）从左至右六个矩形的面积分别为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，由此能估计本次调查人群的年龄的中位数．【解答】解：（1）