2022-2023学年福建省泉州市介福中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年福建省泉州市介福中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l1：和l2：互相平行，则实数m=A.m=－1或3 B.m=－1C.m=－3 D.m=1或m=－3参考答案：A由题意得:,选A.2..已知全集U=R，集合,，则（）A. B.C. D.参考答案：B【详解】试题分析：，所以．考点：集合的交集、补集运算．3.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(

)A.

B．4

C．3

D．5参考答案：A4.在△ABC中，若，，，则△ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，，，，则四面体S-ABC的外接球半径R=（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.【详解】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.故选A.【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.5.数列由，确定，则（）A．9902

B．9901 C．9900

D．9899参考答案：B6.已知椭圆的左、右焦点为F1,F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若，且是曲线C2上不同的点，满足，则的取值范围为A.(－∞,－6]∪[10,+∞)

B.[10,+∞)C.(－∞,－10]∪[6,+∞)

D.[6,+∞)参考答案：A7.已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.设是两个非零向量，下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则参考答案：C略9.设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S30=70，则S40等于(

)A．150 B．﹣200 C．150或﹣200 D．400或﹣50参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10，S30=70，分别得到关于q的两个关系式，两者相除即可求出公比q的10次方的值，然后利用等比数列的前n项和的公式表示S40比S10的值，把q的10次方的值代入即可求出比值，根据比值即可得到S40的值．【解答】解：根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10，S30=70得：S10==10，S30==70，则===7，得到1+q10+q20=7，即（q10）2+q10﹣6=0，解得q10=﹣3（舍去），q10=2，则====15，所以S40=15S10=150．故选A【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．10.右图程序运行的结果是

（

）A.515

B.23

C.21

D.19参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点A处取得最大值，则k的取值范围是

.参考答案：12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，若，，则数列{an}的通项公式为

．参考答案：由,得a1=S1=1，由，得4=(+)2，又an>0，∴2Sn=+,即Sn=an+1，当n≥2时,=an，两式作差得：an=an+1?an,即=2，又由S1=1,

,求得a2=1，∴当n≥2时,an=.验证n=1时不成立，∴，

13.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是

．参考答案：﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．14.已知实数x，y满足的最小值为．参考答案：【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】由题意得，所求的最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离．【解答】解：表示直线2x+y+5=0上的点与原点的距离，其最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离=，故答案为：．【点评】本题考查的意义，以及点到直线的距离公式的应用，其中明确表示直线2x+y+5=0上的点与原点的距离，是解决问题的关键．15.过点和的直线的斜率为

．参考答案：-116.为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是

．参考答案：48

略17.函数的定义域为，则函数的定义域是__----------------------------------______参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f(x)=x+ax+bx+5,在曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))处的切线与直线y=3x+2平行。（1）若函数y=f(x)在x=-2时取得极值，求a、b的值；（2）若函数y=f(x)在区间(-2，1)上单调递增，求b的取值范围。参考答案：解：（1）f′(x)=3x2+2ax+b,则f′(1)=3+2a+b=3即2a+b=0

①∵y=f(x)在x=-2时取得极值，故f′(-2)=0∴-4a+b=-12

②∴a=2

b=-4（2）f′(x)=3x2+2ax+b由2a+b=0∴f′(x)=3x2-bx+b依题意，f(x)在(-2，1)上单调递增，故f′(x)在(-2，1)上恒有f′(x)0即3x2-bx+b≥0在(-2，1)上恒成立法一：①当≥1即b≥6时，f′小(x)=f′(1)=3-b+b≥0∴b≥6②当-2<<1即-12<b<6时，f′小(x)=≥0即0≤b<6③≤-2即b≤-12时，f′小(x)=f′小(-2)=12+2b+b≥0，∴b≥-4,此时b不存在综上可知，b的取值范围是b≥0法二：即b≥-

(x∈(-2,1))恒成立又当x∈(-2，1)时，∴1-x>0又-

≤-(6-6)=0∴只须b≥0∴b的取值范围为b≥0略19.（本小题满分12分）设命题:函数f(x)=sin2x-2cos2x+在[，]时恒成立；命题:方程有解，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.

参考答案：在[，]时恒成立

即：P：a<3

由方程有解得，令得在上有解

。即（1）若真假时，；

（2）若真假时，；综上：或为所求.20.（本小题满分16分）已知数列，，其前项和满足,其中．（1）求证:数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求证：；（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．参考答案：证明：当时，，

………1分

当时，

数列为等差数列，首项公差

………4分

………5分（2）

………10分（3）

………13分当为奇数时，，∴当为偶数时，，∴∴

………15分又为非零整数，∴．

………16分21.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB过x轴上一定点．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．【解答】（1）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（，t），B（，﹣t），因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=48．所以（12，t），B（12，﹣t），此时直线AB的方程为x=12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）联立方程，化简得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据韦达定理得到yAyB=，因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以得到xAxB+3yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得到+2yAyB=0，化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为yAyB==﹣48，b=﹣12k，所以y=kx﹣12k，即y=k（x﹣12）．综上所述，直线AB过定点（12，0）．22.求下列各曲线的标准方程（1）实轴长为12，离心率为，焦点在y轴