
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文档简介
第六章二次型第1页,课件共50页,创作于2023年2月二次型及其矩阵表示矩阵合同在平面解析几何中,为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质,可以坐标变换(二次曲线)(标准型)第2页,课件共50页,创作于2023年2月二次型定义及其矩阵表示定义1
含有n个变量的称为二次型.二次齐次函数第3页,课件共50页,创作于2023年2月记则二次型可记作
第4页,课件共50页,创作于2023年2月第5页,课件共50页,创作于2023年2月其中A为对称矩阵().第6页,课件共50页,创作于2023年2月二次型用矩阵记号写出来第7页,课件共50页,创作于2023年2月因此二次型一一对应对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.我们把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵,也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.第8页,课件共50页,创作于2023年2月例1已知二次型解
二次型f的矩阵为
由知,即的秩为2,求参数c.第9页,课件共50页,创作于2023年2月矩阵的合同对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换
第10页,课件共50页,创作于2023年2月或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换(1)代入二次型,能使定义2(线性变换定义的扩充)的线性变换(1)的系数矩阵为记从变量到变量第11页,课件共50页,创作于2023年2月当C是满秩矩阵时,称(1)为满秩(线性)变换(或非退化变换).当C是降秩矩阵时,称(1)为降秩(线性)变换(或退化变换).当C是正交矩阵时,称(1)为正交变换.第12页,课件共50页,创作于2023年2月定义3设为两个
阶方阵定理1若矩阵
与
合同,则
与
等价,合同性质:(1)反身性(2)对称性(3)传递性如果存在可逆矩阵,使则称矩阵与合同,或
合同于
.且第13页,课件共50页,创作于2023年2月例2设和
为实对称矩阵,则由与相似可推出与
合同,反之不然.证由与
相似可知,与有相同的特征值又由和都是实对称矩阵可知,存在正交矩阵和使得和都与对角矩阵相似,即第14页,课件共50页,创作于2023年2月从而记,则由有于是,即与
合同.第15页,课件共50页,创作于2023年2月反之,虽然都是实对称矩阵,且取有,即与合同.第16页,课件共50页,创作于2023年2月但由于对任意可逆矩阵故和不相似,反例说明,在所给条件下合同不一定相似.第17页,课件共50页,创作于2023年2月二、化二次型为标准形化二次型为标准形,就是对实对称矩阵(1)正交变换法定理1对于二次型,寻找可逆矩阵,使成对角矩阵.总有正交变换,将化为标准形是的矩阵的特征值第18页,课件共50页,创作于2023年2月例1求一个正交变换,化二次型为标准形,并指出方程表示何种二次曲面第19页,课件共50页,创作于2023年2月解二次型的矩阵为它的特征多项式为第20页,课件共50页,创作于2023年2月于是的特征值为当时,解方程组第21页,课件共50页,创作于2023年2月得基础解系单位化即得第22页,课件共50页,创作于2023年2月当时,解方程组得基础解系第23页,课件共50页,创作于2023年2月将正交化,令再将单位化,第24页,课件共50页,创作于2023年2月令于是所求的正交变换为第25页,课件共50页,创作于2023年2月化二次型为标准形显然,表示的二次曲面为单叶双曲面.(2)配方法例2用配方法化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.第26页,课件共50页,创作于2023年2月解先将含的项配方,有再对后面含有的项配方,有第27页,课件共50页,创作于2023年2月令即第28页,课件共50页,创作于2023年2月所求的满秩变换为相应的变换矩阵为将原二次型化为标准形第29页,课件共50页,创作于2023年2月(3)初等变换法构造矩阵,对每施以一次初等行变换,就对施行一次同种的初等列变换;当
化为对角矩阵时,将化为满秩矩阵;得到满秩线性变换及二次型的标准形第30页,课件共50页,创作于2023年2月例3用初等变换法化例1中的二次型为标准形,并求所作的满秩线性变换.解二次型的矩阵为第31页,课件共50页,创作于2023年2月于是第32页,课件共50页,创作于2023年2月第33页,课件共50页,创作于2023年2月令则所求的满秩线性变换为将原二次型化为第34页,课件共50页,创作于2023年2月小结比较例1和例3的结果可以看到,用不同的满秩线性变换化二次型为标准形,其标准形一般是不同的,但有两点是相同的:标准形中平方项的项数,即二次型的秩.标准形中正平方项和负平方项的项数.第35页,课件共50页,创作于2023年2月惯性定理和二次型的正定性惯性定理和规范形
定理1设实二次型的秩为,使标准型有两个实满秩变换及第36页,课件共50页,创作于2023年2月及则,且称
为二次型(或矩阵)的这个定理称为惯性定理.正惯性指数为二次型(或矩阵)的负惯性指数第37页,课件共50页,创作于2023年2月对二次型
的标准形再作满秩变换第38页,课件共50页,创作于2023年2月则有称之为二次型的规范形.定理2实对称矩阵与合同的充分必要条件是
与
有相同的规范形.第39页,课件共50页,创作于2023年2月二次型的正定性
定义1设实二次型,如果对任何都有(显然)则称为正定二次型,并称对称矩阵是正定的,记作;如果对任何,都有则称为负定二次型,并称对称矩阵是负定的,记作.第40页,课件共50页,创作于2023年2月例1设均为阶正定矩阵,,证明为正定矩阵.
证由为正定矩阵,故对任意非零向量所以为正定矩阵.而于是第41页,课件共50页,创作于2023年2月定理3若是阶实对称矩阵,则下列命题等价(1)是正定二次型(或是正定矩阵);(2)的个特征值全为正;(3)的标准形的个系数全为正;(4)的正惯性指数为;(5)与单位矩阵合同(或为
的规范形)第42页,课件共50页,创作于2023年2月(6)存在可逆矩阵
,使;(7)的各阶顺序主子式都为正,即第43页,课件共50页,创作于2023年2月证(1)=>(2)由实二次型的性质知,存在正交变换,分别取其中为的特征值.化二次型为标准形第44页,课件共50页,创作于2023年2月相应地,使又由二次型的正定性可知,显然.因为与合同,故存在可逆矩阵使即取即可.第45页,课件共50页,创作于2023年2月对任意,有,于是等价条件(7)在此不予证明.第46页,课件共50页,创作于2023年2月例2设二次型试问
为何值时,该二次型为正定二次型.解该二次型的矩阵为第47页,课件共50页,创作于2023年2月由定理3可知,要为正定矩阵,则解之得即当时,该二次型为正定二次型.第48页,课件共50页,创作于2023年2月定理4若
是
阶实对称矩阵,则下列命题等价(1)是负定二次型(或
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