第六章二次型

第六章二次型第1页，课件共50页，创作于2023年2月二次型及其矩阵表示矩阵合同在平面解析几何中，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质，可以坐标变换（二次曲线）（标准型）第2页，课件共50页，创作于2023年2月二次型定义及其矩阵表示定义1

含有n个变量的称为二次型.二次齐次函数第3页，课件共50页，创作于2023年2月记则二次型可记作

第4页，课件共50页，创作于2023年2月第5页，课件共50页，创作于2023年2月其中A为对称矩阵（）.第6页，课件共50页，创作于2023年2月二次型用矩阵记号写出来第7页，课件共50页，创作于2023年2月因此二次型一一对应对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.我们把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.第8页，课件共50页，创作于2023年2月例1已知二次型解

二次型f的矩阵为

由知，即的秩为2，求参数c.第9页，课件共50页，创作于2023年2月矩阵的合同对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换

第10页，课件共50页，创作于2023年2月或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换（1）代入二次型，能使定义2（线性变换定义的扩充）的线性变换（1）的系数矩阵为记从变量到变量第11页，课件共50页，创作于2023年2月当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩(线性)变换（或非退化变换）.当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）变换（或退化变换）.当C是正交矩阵时，称（1）为正交变换.第12页，课件共50页，创作于2023年2月定义3设为两个

阶方阵定理1若矩阵

与

合同，则

与

等价，合同性质：（1）反身性（2）对称性（3）传递性如果存在可逆矩阵，使则称矩阵与合同，或

合同于

.且第13页，课件共50页，创作于2023年2月例2设和

为实对称矩阵，则由与相似可推出与

合同，反之不然.证由与

相似可知，与有相同的特征值又由和都是实对称矩阵可知，存在正交矩阵和使得和都与对角矩阵相似，即第14页，课件共50页，创作于2023年2月从而记，则由有于是，即与

合同.第15页，课件共50页，创作于2023年2月反之，虽然都是实对称矩阵，且取有，即与合同.第16页，课件共50页，创作于2023年2月但由于对任意可逆矩阵故和不相似，反例说明，在所给条件下合同不一定相似.第17页，课件共50页，创作于2023年2月二、化二次型为标准形化二次型为标准形，就是对实对称矩阵（1）正交变换法定理1对于二次型，寻找可逆矩阵，使成对角矩阵.总有正交变换，将化为标准形是的矩阵的特征值第18页，课件共50页，创作于2023年2月例1求一个正交变换，化二次型为标准形,并指出方程表示何种二次曲面第19页，课件共50页，创作于2023年2月解二次型的矩阵为它的特征多项式为第20页，课件共50页，创作于2023年2月于是的特征值为当时，解方程组第21页，课件共50页，创作于2023年2月得基础解系单位化即得第22页，课件共50页，创作于2023年2月当时，解方程组得基础解系第23页，课件共50页，创作于2023年2月将正交化，令再将单位化，第24页，课件共50页，创作于2023年2月令于是所求的正交变换为第25页，课件共50页，创作于2023年2月化二次型为标准形显然，表示的二次曲面为单叶双曲面.（2）配方法例2用配方法化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.第26页，课件共50页，创作于2023年2月解先将含的项配方,有再对后面含有的项配方，有第27页，课件共50页，创作于2023年2月令即第28页，课件共50页，创作于2023年2月所求的满秩变换为相应的变换矩阵为将原二次型化为标准形第29页，课件共50页，创作于2023年2月（3）初等变换法构造矩阵，对每施以一次初等行变换，就对施行一次同种的初等列变换；当

化为对角矩阵时，将化为满秩矩阵；得到满秩线性变换及二次型的标准形第30页，课件共50页，创作于2023年2月例3用初等变换法化例1中的二次型为标准形，并求所作的满秩线性变换.解二次型的矩阵为第31页，课件共50页，创作于2023年2月于是第32页，课件共50页，创作于2023年2月第33页，课件共50页，创作于2023年2月令则所求的满秩线性变换为将原二次型化为第34页，课件共50页，创作于2023年2月小结比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满秩线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的，但有两点是相同的：标准形中平方项的项数，即二次型的秩.标准形中正平方项和负平方项的项数.第35页，课件共50页，创作于2023年2月惯性定理和二次型的正定性惯性定理和规范形

定理1设实二次型的秩为，使标准型有两个实满秩变换及第36页，课件共50页，创作于2023年2月及则，且称

为二次型（或矩阵）的这个定理称为惯性定理.正惯性指数为二次型（或矩阵）的负惯性指数第37页，课件共50页，创作于2023年2月对二次型

的标准形再作满秩变换第38页，课件共50页，创作于2023年2月则有称之为二次型的规范形.定理2实对称矩阵与合同的充分必要条件是

与

有相同的规范形.第39页，课件共50页，创作于2023年2月二次型的正定性

定义1设实二次型，如果对任何都有（显然）则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的,记作；如果对任何，都有则称为负定二次型，并称对称矩阵是负定的,记作.第40页，课件共50页，创作于2023年2月例1设均为阶正定矩阵，，证明为正定矩阵.

证由为正定矩阵，故对任意非零向量所以为正定矩阵.而于是第41页，课件共50页，创作于2023年2月定理3若是阶实对称矩阵,则下列命题等价（1）是正定二次型(或是正定矩阵)；（2）的个特征值全为正；（3）的标准形的个系数全为正；（4）的正惯性指数为；（5）与单位矩阵合同（或为

的规范形）第42页，课件共50页，创作于2023年2月（6）存在可逆矩阵

，使；（7）的各阶顺序主子式都为正，即第43页，课件共50页，创作于2023年2月证(1)＝＞(2)由实二次型的性质知，存在正交变换，分别取其中为的特征值.化二次型为标准形第44页，课件共50页，创作于2023年2月相应地，使又由二次型的正定性可知，显然.因为与合同，故存在可逆矩阵使即取即可.第45页，课件共50页，创作于2023年2月对任意，有，于是等价条件（7）在此不予证明.第46页，课件共50页，创作于2023年2月例2设二次型试问

为何值时，该二次型为正定二次型.解该二次型的矩阵为第47页，课件共50页，创作于2023年2月由定理3可知，要为正定矩阵，则解之得即当时，该二次型为正定二次型.第48页，课件共50页，创作于2023年2月定理4若

是

阶实对称矩阵,则下列命题等价（1）是负定二次型(或