2021年圆板块五圆的规划问题学生版高中数学必修题库

板块五板块五.圆规划问题典例分析典例分析如果实数、满足，则最大值为（）A． B． C． D．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】选取【核心字】无【解析】等式有明显几何意义，它表坐标平面上一种圆，圆心为，半径，（如图），而则表达圆上点与坐标原点连线斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在觉得圆心，觉得半径圆上移动，求直线斜率最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，斜率最大，经简朴计算，得最大值为【答案】D；若集合，集合且，则取值范畴为______________．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】填空【核心字】无【解析】，显然，表达觉得圆心，以3为半径圆在轴上方某些，（如图），而则表达一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然最小逼近值为，最大值为，即【答案】试求圆（为参数）上点到点距离最大（小）值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】分析运用两点间距离公式求解或数形结合求解．解法一设是圆上任一点，则．因此．由于，因此，因而当时，．当时，．解法二将圆代入普通方程得．如图所示可得，、分别是圆上点到距离最小值和最大值．易知：，．阐明⑴在圆参数方程（为参数）中，为圆心，为半径，参数几何意义是：圆半径从轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到所得圆心角大小．若原点为圆心，常惯用来表达半径为圆上任一点．⑵圆参数方程也是解决某些代数问题一种重要工具．【答案】最大值为，最小值为．已知，，点在圆上运动，则最小值是．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】填空【核心字】无【解析】设，则．设圆心为，则，∴最小值为．【答案】．已知圆，为圆上任一点，求最大、最小值，求最大、最小值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一由知，可设坐标为，是参数．则，令，得，．因此，．即最大值为，最小值为．此时．因此最大值为，最小值为．办法二表达点与点连线斜率，其中点为圆上动点，结合图象知，规定斜率最值，只须求出过点圆切线斜率即可，设过点直线方程为：．由，得，因此最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上截距分别是最大、最小值．由，得．因此最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．求函数值域．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】填空【核心字】无【解析】，于是，其几何意义为单位圆上任一点与点连线斜率．结合图象知：过点与单位圆相切直线斜率为，，连线斜率取值范畴为，从而此函数值域为．【答案】设，，求最小值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】填空【核心字】无【解析】分析式子几何意义，它表达两点与距离平方，前者在半圆上，后者在直线上，结合简图知：半圆上点到该直线距离最小值为，从而所求最小值为．【答案】实数满足，求最大值与最小值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一变形得：，此方程表达一条直线．又∵满足，故直线与圆有公共点．故，解得．由于直线与圆无公共点，因而，为所求．即最大值为，最小值为．办法二设，，则，①几何意义为单位圆上点与点连线斜率，求过点单位圆切线斜率：，，从而最大值为，最小值为．②由此式得，从而，解得，因而最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．已知圆，为圆上动点，求最大、最小值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一由圆原则方程．可设点坐标为（是参数）．则（其中）．因此，．办法二是圆上点到原点距离平方，∴规定最值，即求圆上距离原点距离最远和近来点．结合图象知：距离最大值等于圆心到原点距离加上半径，距离最小值等于圆心到原点距离减去半径．因此，．【答案】最大值为，最小值为．若，求函数最小值．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】解答【核心字】无【解析】，先求点与直线距离为，．【答案】．设点是圆是任一点，求取值范畴．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一设，则有，，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．办法二依照几何意义求解几何意义是过圆上一动点和定点连线斜率，运用此直线与圆有公共点，可拟定出取值范畴．由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线距离．∴，解得：．此外，直线与圆公共点还可以这样来解决：由消去后得：，此方程有实根，故，解之得：．【答案】．已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数取值范畴．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一∵右上方面点满足：，结合图象知，要圆上任一点坐标都满足，只需直线在如图所示切线左下方，图中切线纵截距，故只需，即即可．办法二分析设圆上一点，问题转化为运用三角函数求范畴．解设圆上任一点，∴，，∵恒成立，∴恒成立，即恒成立．∴只须不不大于最大值．设，∴即．【答案】．实数、满足，求取值范畴．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】解答【核心字】无【解析】办法一设，方程可化为，由得：办法二方程表达圆心为、半径为圆，表达原点与该圆上点连线斜率．设方程为，由点到距离得：∴所求取值范畴是．【答案】已知点在圆上运动．⑴求最大值与最小值；⑵求最大值与最小值．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】⑴设，则表达点与点连线斜率．当该直线与圆相切时，获得最大值与最小值．由，解得，∴最大值为，最小值为．⑵设，则表达直线在轴上截距．当该直线与圆相切时，获得最大值与最小值．由，解得，∴最大值为，最小值为．【答案】⑴最大值为，最小值为⑵最大值为，最小值为．若集合，集合，且，则取值范畴是．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】是一种圆心在原点，半径为半圆（不涉及端点），代表斜率为，截距为直线．原问题相应几何问题为：若直线与圆有交点，则直线截距范畴是多少?如图，容易得到是截距极限位置，通过计算求出，．于是取值范畴是．【答案】．解集为，求取值范畴．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】函数可化为，因此表达圆心为，半径为圆在轴上方某些，于是．表达斜率为，截距为直线．如图，为极限位置，此时，因此取值需要满足为，解之得取值范畴是．【答案】．求函数值域．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】解答【核心字】无【解析】解法1定义域为．配方，有，设，即，有，即．于是．当时，为增函数，因此；当时，，为减函数，因此．综上，值域为．解法2同解法1，将函数化为．以原点为圆心，为半径作圆，设在轴上运动，则时，如图中位置，过作圆切线，切点为，显然，，分析，当位于时最小，为，于是；时，如图中位置，过作圆切线，切点为，显然，，分析，有（当位于时，最大，为，于是；综上，值域为．解法3定义域为．设，则可以涉及实数对转化为满足解，由得．由范畴，可以求得值域为．解法4定义域为或求导，有．当时，，因此原函数为增函数，取值范畴为；当时，，∴，原函数为减函数，取值范畴为．从而，原函数值域为．解法5设，，则．，于是（），其几何意义是中心在双曲线在轴上方某些．是过原点，斜率为一条直线．如图，为双曲线一条渐近线，方程为，，显然．当时，，随着越来越小，到距离越来越小，于是到距离越来越大（之间距离为定值），从而越来越大，取值范畴为；当时，随着越来越大，也越来越大，取值范畴为；综上，原函数值域为．【答案】．设，为内一点，且，，过任意作一条直线分别交射线、于点、，求最大值．【考点】圆规划问题【难度】5星【题型】填空【核心字】无【解析】如图1，作内切圆，设其半径为，则，问题转化为内切圆半径最大值．分析图形可得当在上时，内切圆半径最大，设此时半径为，如图2．若否则，设在某情形下半径不不大于，那么点将会在内，这与是内切圆矛盾（如图3，圆心只能在射线上运动）．显然，此时点为切点．设，而，于是，即，化简有∴从而题中所求为．【答案】设，为内一点，且，，过任意作一条直线分别交射线、于点、，求：⑴最大值与函数关系式；⑵当在内变化时，求取值范畴．【考点】圆规划问题【难度】6星【题型】解答【核心字】无【解析】⑴求得⑵设，则．；．于是．由于，因此，．如图，当时，获得最小值，此时，，，；当时，获得最大值，此时或，，，．【答案】⑴求得⑵已知实数、满足，则最大值是．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】可看作是过点与直线斜率，其中点在圆上，当直线处在图中切线位置时，斜率最大，最大值为．【答案】无论为什么实数，直线与曲线恒有交点，则实数取值范畴是．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】题设条件等价于点在圆内或圆上，或等价于点到圆圆心距离半径，∴．【答案】如果实数、满足，则最大值为．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】实数、满足方程，即点轨迹是圆心为，半径为圆．此时，为连接点与直线斜率．这样，该代数问题可转化为如下几何问题：圆圆心为，半径为，动点在圆上移动，求直线斜率最大值．过作圆切线，设为第一象限切点，当动点在位置时，直线斜率最大．容易在中求出：，．于是，最大值为．显然，当动点在位置时，取最小值为．【答案】函数最大值为________，最小值为________．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】表达点与点连线斜率取值范畴，点在单位圆上，如图，过作单位圆切线、．易知，为斜率最大值和最小值，那么最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．若直线与曲线有两个不同交点，则实数取值范畴是___________．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】表达倾斜角为，纵截距为直线，而则表达觉得圆心，觉得半径圆在轴上方某些（涉及圆与轴交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线纵截距，即．明确方程几何意义，在同一坐标系中画出相应几何图形，依照直线系特点，由图形研究直线与半圆位置关系．【答案】曲线与直线有两个交点时，实数取值范畴是．【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】曲线，即，为如图所示半圆；直线，表达过定点直线系；要使半圆与直线有两个交点，则只能在之间移动，设斜率分别为，则．解得，，从而．【答案】过点直线将圆提成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线斜率【考点】圆规划问题【难度】2星【题型】填空【核心字】无【解析】由图形可知点在圆内部，圆心为，要使得劣弧所对圆心角最小，即被圆截得弦长最短，只能是直线，因此．对于直线与圆位置关系以及某些有关夹角、弦长问题，往往要转化为点到线距离问题来解决．【答案】．一束光线从点发出，经轴反射到圆上，其最短路程是（）A． B． C． D．【考点】圆规划问题【难度】3星【题型】选取【核心字】无【解析】设光线与