活用几何基本图形解题事半功倍（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题Ol活用几何基本图形，解题事半功倍

几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现.因此，灵活掌握和

运用这些图形是学好几何的必备技能.

8字型

一、基本图形

1.“8字”形

结论：ZA+ZB=ZC+ZD；

2.双垂直

结论：ZCAD=ZCBEi

A

结论：NA=NBCD,NB=NACD;

A

结论：ZCAD=ZCBE.

3.与角平分线有关的三个重要结论

(1)双内角平分线

条件：NI=N2,N3=N4,结论：NBoC=90。+』NA；

2

证明：NA+NABC+NACB=I80°,∕BOC+N2+/4=180°,

即：N4+2N2+2N4=180°,Z2+Z4=90o-ɪZA,

2

.∙.∕BOC=180°—(Z2+Z4)=90°+,/A；

(2)一内角平分线，一外角平分线

O

条件：NI=/2,Z3=Z4,结论：ZO=-ZA

2i

证明：Z4=Z2+ZO,2Z4=2Z2+ZA,

可得：NO=L/4

2

(3)双外角平分线

条件：NI=/2,Z3=Z4,结论：ZBOC=90o--ZA-.

2

证明：ZA+ZABC+ZACB=I80o,ZBOC+Z2+Z4=180o,

即：ZA+180o-2Z2+180o-2Z4=180o,∕2+∕4=90°+!/A,

2

ΛZBOC=I80o-(Z2+Z4)=90o-ɪZA；

4.四边形外角

/1与/2是四边形ABC。的外角，结论：Z1+Z2=ZA+ZB;

5.飞镖模型

C

ZBOC^ZA+^B+ZC

6.与面积相关

A

如上图所示，D、E、尸分别是AABC各边的中点

结论：图中，SAAOF=SAAOE=SABOF=SACOE=SABOD=SACOD

二、典例解析

【例1-1】(2020•安徽淮南月考)如图，BP是aABC中NABC的平分线，C尸是NACB的外角的平分线,

如果NABP=20。，ZACP=50o,则NA=().

A.60oB.80oC.70oD.50°

【答案】A

【解析】解：：8尸是aABC中/A8C的平分线，CP是NACB的外角的平分线，ZABP=20o,NACP=50°,

二ZABC=2ZAB∕,=40o,∕ACM=2NACP=100°,

/.ZA=ZACM-ZABC=60o

故答案为4

【例1-2](2020•平原县月考)如图，在四边形ABCD中，ZA+ZD=a,NABC的平分线与/BCD的

平分线交于点尸，则NP=()

D

A

A.90。」αB.90。+LC.-aD.360°-«

222

【答案】C

【解析】解：由四边形的内角和定理知：NABC+/88=360。一(ZA+ZD)=360。一呢

11ZV

由角平分线的定义可得：ZPBC+ZPCB=-(ZABC+ZBCD)=-(360o-α)=180°—1,

.∙.NP=I80。一(180°-yj=y,

故答案为C.

【变式1-1］（2020.陕西西安•高新一中月考）已知，如图，NXOy=90。，点A、B分别在射线。X、Oy上

移动，BE是NABy的平分线，BE的反向延长线与NO48的平分线相交于点C,试问NACB的大小是否发

生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围.

【答案】NAC8的大小始终保持45。.

【解析】解：作/A80的平分线交AC于点Q,

则ZBDA=180°-(NQAB+ZDBA)^180o-ɪ(ZOAB+/08A)=135°,

因为BD,BE分别是/054和NyBA的平分线，

所以BDVCB,

所以∕AC8=/8QA-NZ)BC=I35°-90°=45°.

即/AC8的大小始终为45。.

【变式1-2](2020.武城县月考)如图①，A4BC中，BD平分NABC,且与△ABC的外角N4CE的角平

分线交于点D.

(1)若NABC=I5°,NACB=45。，求/O的度数；

(2)若把NA截去，得到四边形MNC8,如图②，猜想NM、NN的关系，并说明理由.

【答案】(1)ZD=30o(2)ZD=—(ZΛf+Z7V-180°)；

i2

【解析】解：

(1)VZACE=ZA+ZABC,

：.ZACD+ZECD=ΛA+AABD+ZDBE,ZDCE=ZD+ZDBC,

又8。平分NA8C,C。平分NACE,

：.NABD=∕DBE,ZACD=ZECD,

：.NA=2(NDCE-NDBO,ZD^NDCE-ZDBC,

,ZA=2ZD,

VZABC=I5°,ZACB=45o

：.ZA=60o

ZD=30o

(2)ZD=g(NM+NN—180)

理由：延长8M、CN交于点A,

BC

则ZA=ZBMN+ZCNM-180o

ΛZD=-ZA=-（NM+NN-180。）.

22

【例2-1】（2020•广东模考）如图所示，Na的度数是（）

A.IO0B.20°C.30°D.40°

【答案】A.

【解析】解：如图:

Z1=30o+20o=40+zα,则/a=10。，

故答案为4.

【例2-2］（2020•霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，ZA+ZB=ZC+ZD

利用这个结论，完成下列填空.

(1)如图(2),NA+N8+NC+/。+NE=；

(2)如图(3),ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=；

(3)如图(4),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=；

(4)如图(5),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=

【答案】(1)180°,(2)180°,(3)360°,(4)540°

【解析】解：如图：(1)VZl,/2的和与/O,NE的和相等，

.∖∕A+NB+∕C+∕D+NE=NA+N8+NC+∕l+N2=180°;

故答案为：180。；

(2)VZb/2的和与/O,/E的和相等，

,o

..ZA+Zβ+ZC+ZD+ZE=ZA+ZB+ZC+ZI+Z2=180i

故答案为：180。；

(3)VZl,/2的和与/7,/8的和相等，

o

ΛZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z7+Z8+Z3+Z4+Z5+Z6=360i

故答案为：360°；

(4)∙.∙N6,27的和与N8,29的和相等，

ΛZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8+Z9≈540o.

故答案为：540°

【变式1-1](1)如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∕A,NB,ZGN。之间的数量关系:

(2)如图2,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=⅛;

(3)如图3所示，已知/1=/2,Z3=Z4,猜想/8,ZP,NO之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)ZΛ+ZB=ZC+ZD;(2)540°；(3)2NP=ND+NB.

【解析】解：(1)VZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180o,ZAOD=ZBOC,

：.ZA+ZB=ZC+ZD,

故答案为：ZA+ZB=ZC+ZDi

(2)如图,

VZ6,N7的和与N8,N9的和相等,

ΛZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8+Z9=540o;

(3)ZDAP+ZD=ZP+^DCP,

①NPCB+NB=ZPAB+ZP,

②：ND48和NBCQ的平分线AP和CP相交于点P,

：.ZDAP=ZPAB,ZDCP=NPCB,

①+②得：ZDAP+ZD+ZPCB+ZZP+ZDCP+ZPAβ+ZP,

即2ZP=ZD+ZB.

【变式1-2](2020•广东广州月考)如图，已知BC与。E交于点M,则N4+/B+/C+NO+/E+/F的

度数为.

【答案】360°

/.NC+ND=NMBE+NBEM,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=ZΛ÷ZB+ZΛ√BE+ZθEM+ZE+ZF=ZA+ZF+ZAβE÷ZBEF=360o.

故答案为：360°.

【例3】（2020•安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求NA=90。，ZB=32o,ZC=21o,当检验员量得

ZBDC=145o,就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

【答案】这个零件不合格.理由见解析.

【解析】解：如图，连接并延长，

ΛZ1=ZB+ZBAD,Z2=ZC÷ZCAD,

VZA=90o,Zθ=32o,ZC=21o,

ΛZBDC=Z1÷Z2,

=ZB÷ZβΛZHZDAC÷ZC,

=ZB+ZBAC+ZC,

=32o+90o+21o,

V143o≠145o,

.・.这个零件不合格.

【变式3-1］（2020.山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我

们不妨把这样图形叫做“规形图”，

图⑴BB(2)图（3）图（4）

（1）观察“规形图”，试探究/8。C与/A、NB、/C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XyZ放置在AABC上,使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过点B、C,/4=40。,

则ZABX+/ACX等于多少度；

②如图3,OC平分NAoB,EC平分NAEB,若ND4E=40。，ZDBE=130°,求/OCE的度数；

③如图4,ZABD,NACO的10等分线相交于点Gi、Ga…、Gg,若NBOC=I33。，NBGIC=70。,求NA

的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，连接AO并延长至点凡

ai^ZBDF=ZBAD+ZB,ZCDF=ZC+ZCAD,

'：NBDC=NBDF+NCDF,NBAC=NBAD+NCAD,

：.NBDC=NA+NB+NC；

(2)①由(1),可得：AABX+ZACX+ΛA=ΛBXC,

VZA=40o,ZBXC=90o,

.∙.ZABX+ZΛCX=90o-40o=50o；

②由⑴，aiZDBE=ZDAE+ZADB+ZAEB,

：.ZADB+NAEB=NDBE-NDAE=130o-40o=90o,

：.-(NAD8+/AE8)=90o÷2=45o,

2

•；力。平分/4。8,EC平分乙4E8,

：.ZADC=ɪNADB,ZAEC=ɪZAEB,

22

/.NDCE=NADC+NAEC+NDAE,

=-(ZADB+ZAEB)+ZDΛE=85o;

2

③由②得NBGiC=L(NABC+/ACO)+ZA,

VZBGιC=70o,

设NA为x。,

∙/ZABD+ZACD=∖33o-xo

1

一(133-X)+x=7O,

IO

Β

..I3.3-'X+X=70,

10

解得x=63,

即NA的度数为63。.

【变式3-2](2020•山东岱岳期末)如图1六边形的内角和N1+N2+N3+N4+N5+N6为根度，如图

【解析】解：如图1所示,

Λ∕n=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=l80o×2+360o=720o

如图2所示，

ΛH=Z1+Z2+Z3+Z4÷Z5+Z6=180O×4=720O

m-n=0

【例4】（2020•唐山市月考）如图所示，在AABC中，已知点DfE"分别是BCAD,CE的中点，S^ABC=4

平方厘米，则S△8M的值为（)

A.2平方厘米B.1平方厘米

C.L平方厘米D3平方厘米

2

【答案】B.

【解析】解：；。是BC的中点，

∙*∙SAABZ)=S∆ACD=—SAΛBC~—×4=2c∕n2,

22

是AQ的中点，

•∙SABDE=SACDE=X2=lθ,

2

S∆BEF^—(SGBDASGCDE)=­×(I+1)=IfW2.

22

故答案为8.

【变式4-1](2020•山东历下期中)如图，AABC的面积为1.第一次操作：分别延长AB，BC,C4至

点4，Bl,C1,使AB=A8,BIC=BC,QA=CA,顺次连接A∣,B1,C1,得到△•第二

次操作：分别延长Ag,S1C1,GA至点&，鸟，C2,使4B∣=A4，BC=BC,C2A1=C1A1,

顺次连接4，层，C2,得到△ABG,…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020,最少经过多少

次操作（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】4

【解析】解：连接4C,如图，

Bi

VAB=A∣B,

・•.ZVlBOtSAAiBC的面积相等，

「△ABC面积为1,

∙,∙*^∆4∣BC=].

丁BBI=2BC,

•∙∆iAyBiB-2Sz^∕c=2,

同理可得，S.clBtc~2,S^AAG=2,

♦'♦^ΔAlBlCl-S&c、B\C+S"AG+S4AiB∖B+SMBC=2+2+2+1=7;

△A2B2C2的面积=7XAAIBICI的面积=49,

第三次操作后的面积为7x49=343,

第四次操作后的面积为7x343=2401.

故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020,最少经过4次操作.

故答案为：A.

【变式4-2]（2020•台州市月考）在四边形ABCo中，P是A。边上任意一点，当AP=。时，SPBC

与SASC和SZX°BC之间的关系式为：；一般地，当Ap=LA0（〃表示正整数）时，SPBC

n

与S.C和S△。品之间关系式为：.

B

【合案】SPBC=7Sdbc+GSABC；SPBC=~SDBCSABC

22nn

【解析】解：YAP=LAD,ZkABP和的高相等，

2

∙,∙SABP=2S

ABD'

VPD=AD-AP=ɪAD,△COP和△COA的高相等,

2

∙'∙SACDp=Z—S∆CDA，

2

•SPBC=S四边形ABCD-SABP—SCDP

-Ic

。S四边形ABCD^2ɔABD^A^2sɔCDA

二S四边形ABCD―/（S四边形ABCD-SDBC5（S四边形ABCD-SABC）

=∣5DBC+∣5ABC;

当AP=LAO（"表示正整数）时,

n

∖'AP=-AD1ΔABP和^ABD的高相等,

n

∙,∙SABP=­SABD，

n

/2—1

'."PD=AD-AP=----AD,ACoP和△COA的高相等,

n

*∙SCDP旦

nCDA'

∙"∙SPBC=S四边开乡ABCD-SABP-SCDP

S四边形ABCDSABDSCDA

nn

S四边形ABCD（S四边形ABCD-SDBC）（S四边形ABCDABC

nn

=-SHS；

nDBCnabc

=

故合案为：Spbc~Sdbc+~S'abc；SPBC=-SDBCABC,

22nn

【例5】（2020•庆云县月考）探究与发现:

（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与

它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

B

图①图②图3

己知：如图①，/FQC与/ECD分别为Af）C的两个外角，试探究/A与/FDC+/EC。的数量关系,

并证明你探究的数量关系.

（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图②，在A。C中，DP,CP分别平分/AOC和/ACD,试探究NA与NP的数量关系，并证

明你探究的数量关系.

（探究三）若将∙AOC改成任意四边形ABa）呢？

己知：如图3,在四边形ABCf）中，DP,CP分别平分C和N8CZ）,试利用上述结论直接写出NA+/3

与/尸的数量关系

【答案】见解析.

【解析】解：探究一：".'ZFDC^ZA+ZACD,ZECD^ZA+ZADC,

：.ZFDC+ZECD=^ZA+ZACD+ZA+ZADC=∖SQo+ZA↑

探究二：'：DP,CP分别平分乙40C和NAC。，

.∙.NPDC=—ZADC,NPCD=—ZACD,

22

,NP=1800-ZPDC-ZPCD

=180°-—ZADC--ɪ-ZACD

22

=180°--(NADC+NACD)

2

=180°--(180o-ZA)

2

=90。+LZA；

2

探究三：YDP、C尸分别平分NAoQ和NBCO,

/.ZPDC=ɪZADC,ZPCD=ɪ/BCD,

22

NP=I80。-ZPDC-ZPCD

=180°--ZADC--/BCD

22

1

180o-(NAoC+NBCO)

2

=180o--(360o-ZA-NB)

2

=—(ZA+ZB).

2

故答案为：探究一：ZFDC+ZECD=ɪ80°+ZA；探究二：ZP=90°+—ZA；探究三：ZP=ɪ(ZA+ZB).

22

【变式5-1](2020•河南宛城月考)问题情景：如图1,ΔA3C中，有一块直角三角板PMV放置在AABC

上(尸点在AAjBC内)，使三角板9W的两条直角边PA/、PN恰好分别经过点B和点C.试问Z4BP与

NACP是否存在某种确定的数量关系？

(1)特殊探究：若NA=50°,则NABC+NACB=度，APBC+/PCB=度，

ZABP+ZACP=度；

(2)类比探索：请探究NABP+NAC尸与NA的关系;

(3)类比延伸：如图2,改变直角三角板EMV的位置；使P点在ZVLBC外，三角板尸MV的两条直角边

PM、PN仍然分别经过点3和点C,(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.

【答案】(I)130,90,40；(2)ZABP+ZACP=90o-ZA,理由见解析；(3)不成立，ZACP-ZABP=90o-ZA

【解析】解：(I∙.'ZA=50o,

.∙.ZABC+ZACB=∖80o-50°=130°,

VZP=90o,

/.NPBC+NPCB=90:

：.ZABP+ZACP=130o-90o=40o.

故答案为：130,90,40；

(2)结论：ZAβP+ZACP=90o-ZA.

证明：V90°+CZABP+ZACP)+ZΛ=180o,

二ZABP+ZACP+ZA=90o,

，ZABP+ZACP^90o-ZA.

(3)不成立；存在NACR∕ABP=90"NA.

理由：AA8C中，NABC+NAC8=l80"NA,

∙/NMPN=9Q0,

：.∕P8C+NPCB=90°,

.∙.（NABC+NACB）-（NPBC+NPCB）=180o-ZA-90o,

即ZABC+ZACP+ZPCB-NABP-NABC-ZPCB=90o-ZA,

：.ZACP-ZABP=90o-ZA.

【变式5-2］（2020•吉林宽城期末）将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处.

（感知）如图①，若点A'落在四边形BCQE的边防上，则NA与Nl之间的数量关系是.

（探究）如图②，若点A'落在四边形BCOE的内部，则NA与Nl+N2之间存在怎样的数量关系？请

说明理由.

（拓展）如图③,若点A'落在四边形BCDE的外部，Zl=80o,N2=24。，则NA的大小为度.

【解析】解：【感知】根据外角定理，易得2NA=N1

【探究】2ZΛ=Z1+Z2.

理由：连结AA',

C

•：Z∖=ZDAA,+ZDA,A,Z2=ZEAA,+ZEA,A,

：.Zl+Z2^ZDAE+ZDA,E,

由翻折，得ND4E=∕D4'E

Λ2ZDAE=Z1+Z2

Λ2ZA=ZI+Z2

【拓展】VZ1=80°

ΛNADE=NEDA=50。

设NOEBr,由n2=24。，则NAEE>=x+24。

Λx+x+24=l80o

・•・m78。

ZΛ=78o-50o=28o

故为28度.

三、习题专练

1.（2020•安徽淮南月考）如图，ZΛ+Zβ+ZC+ZD+ZE+ZF=

Z3=ZE+ZF,

工Z1+Z2+Z3=ZA+ZB÷ZC+ZD+ZE+ZF,

又・・・/1、N2、/3是三角形的三个不同的外角,

ΛZl+Z2+Z3=360o,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360o.

故答案为360°.

2.（2020∙惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形A3CO中，N45C与NBC。的平分线的交点E恰

好在4。边上，则NBEC=（)

A.ZA+ZD-45oB.—(ZA+ZD)+45°

2

C.180o-(ZA+ZD)D.—ZA+-ZD

22

【答案】。

【解析】解：：四边形的内角和=360。,

，NABC+N8CO=360°-(ZA+ZD),

,/ZABC与NBeD的平分线的交点E恰好在AD边上,

：.4EBC=-NABC,NECB=-ZBCD,

22

/.NEBC+NEC6=g(NABC+N8C0=gx[360-(ZA+ZP)],

ΛZBEC=180o-(NEBC+NECB)=∙∣(ZA+ZP),

故答案为D.

3.（2020•山东潍坊期末）如图，点。是AABC的边BC的延长线上的一点，NABC的平分线与NAC。的

平分线交于点4,/4BC的平分线与/4CD的平分线交于点A2,依此类推…，己知NA=α,则NA2020

【解析】解：在AABC中，NA=NACO-NABC=α,

VZABC的平分线与NACQ的平分线交于点Ai,

ΛZAI=ZAICD-ZAiBC=—(ZACD-ZABO=-ZA=-a,

222

同理可得NA2=LΛA∖-∖a,

22

NA3=­ΛAz=-a,

223

以此类推，ZA2020=-^ɪɑa,

故答案为：a.

4.（2020・信阳市月考）如图，BE、CF是AABC的角平分线，ZBAC=SOo,BE、CF相交于£>,则/8。C

的度数是

【解析】解：ZBDC=W0+LNBAC=I30°.

2

5.（2020•惠州市月考）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.

【解析】解：是A08C的外角，

ZB+ZC=Z2,

VZl是AAEF的外角，

ΛZA+Zf=Zl,

VZl+Z2+ZD=180o,

：*ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180o.

故答案是：18（）.

6.（2020•商城县月考）如图，AABC的两个内角平分线相交于点P,过点尸向A8,AC两边作垂直线公、

h,若/1=40°,则ZBPC=.

【答案】IIO0.

四边形AMPN中，ZA=360o-90o-90o-140o=40o,

♦；PC、P8分别是NAC8和NA8C的角平分线，

.∙.∕2+∕3=LZACB+-ZABC=—(ZACB+ZABC)=—(ɪ80o-ZA)=-×140o=70o,

二在^PBC中，ZCPB=180o-(Z2+Z3)=l10°,

故答案为：H0°∙

7.(2020.临沐县月考)如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=.

【答案】540°.

【解析】解：由三角形的外角性质可知N6+N7=N8,

ΛZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8,

XVZ1+Z2+Z3+Z10=360o,Z4+Z5+Z8+Z9=360o,Z10+Z9=180o,

ΛZ1+Z2÷Z3÷Z4+Z5+Z8=(Zl+Z2+Z3÷Z10)+(Z4+Z5+Z8+Z9)-(Z10+Z9)=540°.

8.（2020•霍林郭勒市月考）如图，B4和C4分别是△48C的内角平分线和外角平分线，BAz是NAlBD

的角平分线，。2是NACD的角平分线，Ah是NA23O的角平分线，C4是N4CO的角平分线，若N4=",

则ZA20I8为.

■QCC

【口案】22017

【解析】解：YA出是N48C的平分线，4C是NACO的平分线,

ΛZAiBC=ɪZABC,ZAiCD=ɪZACD,

22

XVZACZ>ZA+ZΛBC,ZΛ∣CD=ZΛ∣BC÷ZA∣,

(NA+NA8C)」NA8C+N4,

22

∙*∙NAI=-NA,

2

*.*ZA∣=α,

同理理可得N42=L∕4=-α,

22

a

则NA2018：

2≡,

a

故答案为:22017

9.（2020・四川师范大学附属中学期中）如图，已知AABC中，NA=60。，点。为AABC内一点，月.N30C

=140o,其中08平分∕A80,OIC平分NAeO,O?B平分/A80ι,O2C平分NACol,…，。/平分NAB0“

-1,O,,C平分NAe。"一"…，以此类推，则/BOiC=°,ZBO2Oi7C='

【解析】解：如图,

ΛZl+Z2=180o-140o=40o.

，NA8O+NACO=180°-60°-40°=80°

•：点、Oi是NABC与/AC8的角平分线的交点，

ΛZBO∣C=180o-(LX80°+40°)=100°.

2

oo

.∙.ZBO2C=180-fl20-(NA8Q+NACO2)=80°.

oo2017o20l7o

依次类推，ZBO2Oi7C=ISO-[120-(ɪ)×80]=60°+(ɪ)×80

故答案为：100,∣60+(ɪ-)2o'7×8O].

10∙(2020∙重庆月考)如图，ERG,“分别为四边形ABe。的边A8,8C,SZM的中点，并且图中四个

小三角形的面积之和为1，即S∣+S2+S3+S4=l,则图中阴影部分的面积为

H

【答案】1

【解析】解：如图，连接AC、BD,

TE,F、G、”分别为A3、BC.CD、D4的中点，

∙,∙SABCE=SAACEJSΔADG=SAACGJSΔABH=SADBH,SACDF=SABDF,

,_1

・・SABCE+5∆AZX7=SΔDBH+SΔBDF=-S四边匕ABCD，

2

Sl+S四边形8WMr+S4÷S2+S四边形HQ。。+S3=SPqiZiJfiBMNS阴影+S四边形//QPfb

∙*∙5∣+S4+S2÷S3=S阴断

*∙*S∣+Sz+S3+S4=],

•'•5朗彬=1.

故答案为：∣∙

11.（2020•江苏祁江期末）（1）如图1,A5〃CO,点E是在A3、CQ之间，且在3。的左侧平面区域内

一点，连结BE、DE.求证：NE=∕ABE+NCDE.

(2)如图2,在(1)的条件下，作出NEBo和NEQ8的平分线，两线交于点F,猜想/尸、ZABE.ZCDE

之间的关系，并证明你的猜想.

(3)如图3,在(1)的条件下，作出N"。的平分线和AEQB的外角平分线，两线交于点G,猜想NG、

/ABE、NCDE之间的关系，并证明你的猜想.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2ZG=ZABE+ZCDE

【解析】解：(1)如图，

过点E作

ΛNBEH=NABE,

VEH//ABfCD//AB.

J.EH∕∕CD1

JZDEH=ZCDE9

：.ZBED=ZBEH^ZDEH=ZABE+ZCDE；

(2)2ZF-(NABE+NCDE)=180o,

理由：由(1)知，ZBED=ZABE+ZCDEi

:ZEDB+ZEBD+ZBED=180°,

/.AEBD+AEDB=ISOo-ZBED=180o-(NABE+NCDE),

VBF,。产分别是NO5E,NBOE的平分线，

ΛZEBD=2ZDBFfNEDB=2NBDF,

：.2ZDBF+2ZBDF=180o-(∕ABE+ZCDE),

工NDBF+NBDF=90°--(.ZABE+ZCDE)

2f

在ABO尸中，ZF=180o-(ZDBF÷ZBDF)=180o-[90o-^∙(ZABE^ZCDE)]=90°+ɪ(ZABE+ZCDE),

即：2/尺(NABE+NCDE)=180°；

(3)2ZG=ZABE+ZCDEf理由:

B

由(1)知，/BED=NABE+/CDE,

・.・8G是NEBO的平分线，

NDBE=2NDBG,

YOG是NEoP的平分线，

NEDP=2/GDP,

.∙.ZBED=ZEDP-ZDBE=2ZGDP-IZDBG=2(NGDP-NDBG),

：.ZGDP-ZDBG=ɪZBED=ɪ(NABE+NCDE)

22

：.NG=NGDP-NDBG=L(ZABE+^CDE),

2

.∙.2NG=∕ABE+∕CDE.

12.(2020.莆田月考)如图，点。为AABC的边BC的延长线上一点.

(1)若N4:N4BC=3:4,ZACD=140°,求NA的度数；

(2)若NABC的平分线与NAa)的平分线交于点M,过点C作CPL于点P.试探究NPcM与NA

的数量关系.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)VZA:ZASC=3:4,

设NA=3k,NABC=4k.

'：NACO=∕A+NABC=140°,

Λ3Λ+4⅛=140O,

解得420。，

/.ZA=3⅛=60o.

(2)。是△MBC的外角，

，NM=NMCD-ZMBC.

同理可得：ZA=ΛACD-ZABC.

,：MC,分别平分NACr>,ZABC,

：.ZM-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA.

2222

'JCPYBM,

.,.ZPCM=90o--ZA.

2

13.(2019•全国月考)如图，四边形ABCQ中，BE、QF分别平分四边形的外角NMBC和NNQC,若NBAo=ɑ,

ZBCD=β.

(1)如图①，若a+4=150。，求NMBC+NNDC的度数；

(2)如图①，若BE与。尸相交于点G,ZBGD=30°,请写出a、夕所满足的等量关系式；

(3)如图②，若a=夕，判断BE、CF的位置关系，并说明理由.

图①图②

【答案】(1)150°；(2)4-a=60。；(3)BE//DF,理由见解析

【解析】(1)解：(1)在四边形A8CZ)中，ZBAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360o,

ΛZABC+ZADC=360o-Ca+β),

'：ZMBC+ZABC=ISOo,ZNDC+ZADC=ISOo

.∙.∕M8C+NNOC=180°-NABC+180°-NAQC=360°-(ZABC+ZADO=36()°-[360°-(a+β)]=a+式,

Va+//=150°,

：./MBC+NNDC=I5。。；

(2)β-a=60o

理由：连接BQ,

由(1)得，ZMBC+ZNDC=a+βf

•：BE、。产分别平分四边形的外角NMBC和NNoe

：•ZCBG=-NMBCZCDG=ɪNNDC,

22

：.ZCBG+ZCDG=ɪNMBC+ɪZNDC=ɪ(∕MBC+/NDC)=

g+β),

在“BC。中，ZfiDC+ZCDB=180o-ZBCD=ISOo-β,

在<.BDG中，ZGBD+ZGDB+ZBGD=180°,

/.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180°,

(ZCBG+ZCDG)+(ZBDC+ZCDB)+ZBGD=180°,

ɪ(a+β)+180°-夕+30°=180°,

:*β-α=60o;

(3)平行，

理由：延长8C交。F于，，

由⑴，NMBC+4NDC=a+β,

'：BE、。尸分别平分四边形的外角NMBC和NNDC,

：.ZCBE=—NMBC,ZCDH=~/NDC,

22

：・/CBE+/CDH=LZMBC+-/NDC=L(NMBC+/NDc)=I

("协

2222

∙.∙ZBCD=ZCDH+ZDHB,

・•・ZCDH=ZBCD-∕DHB=β-NDHB,

.,.ZCBE+β-NDHB=ɪ-(a+β),

Va=/7,

.∙.ACBE+β-ZDHB=ɪ-(β+β)=β,

：.ZCBE=ZDHB,

:,BE//DF.

14.(2020・贵州赫章期末)数学问题：如图，在ABC中，NA=20,NA5C,NACB的2020等分线分

别交于点O1,02,.....,O10,02020,根据2020等分线等分角的情况解决下列问题：

(I)求NBOC的度数.

(2)求NBqC的度数.

(3)直接写出NBo202OC的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)VZA=20°,

二NA6C+NACS=180°-NA=I8()。—20°=160°,

BO,Ca分别是ZABC和ZACB的二等分线，

.∙.NOBC+/OCB=^(ZABC+ZACB)=∣×160o=80o,

.∙.NBoC=I80°-80。=100°.

(2)VBO3,CQ分别是NABC和4CS的四等分线，

33oo

・•・ZO3BC+ZO3CB=-(ZABC+ZACB)=-×160=120,

ooo

.∙.ZBO3C=180-120=60,

,

(3)∙∙BOn_^CO3,1分别是NABC和NACS的〃等分线，

Vi—1〃一1

・•.NO,1BC+/02CB=——(ZABC+ZACB)=——×160o,

nn

NBoIC=180。—匕X160。=(20"⑹］。，

n∖n)

20x2021+160V=(40580、

NB02θ2θC=2021)-12021,

15.(2020.山西月考)综合与实践：

阅读下面的材料，并解决问题.

(1)已知在AABC中，NA=60°,图1,图2,图3中的A4BC的内角平分线或外角平分线都交于点

请直接写出下列角的度数如图1,No=；如图2,No=；如图3,NO=；

如图4,ΛABC,NAeB的三等分线交于点。「O2,连接。O2,则NBaOl=

(2)如图5,点。是A4BC两条内角平分线的交点，求证：ZO=90o+-ZA.

2

(3)如图6,在AABC中，NABC的三等分线分别与N4CB的平分线交于点。I,O2,若Nl=Il5°,

/2=135°,求NA的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)∙.∙Bo平分ZABC,Co平分ZACB,

ΛZOBC=-ZABC,NoCB=LZACB,

22

.∙.ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)=g(180。—NBAe)=∣(180o-60o)=60。,

：.ZO=180o-(ZOBC+ZOCB)=120°.

如图2,YBO平分NABC,CO平分NACr),

：.ZOBC~ZABC,ZOCD-ZACD.

22

YZACD=ZABC+ZA,

：.ZOCD=ɪ(ZABC+ZA)

,/ZOCD=ZOBC+ZO,

：.ZO=ZOCD-ZOBC=-NABC+-ZA--ZABC=-ZA=30°