江西省新余市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题卷【含答案解析】

新余市2023-2024学年度上学期期末质量检测高二数学试题卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据组合数性质有，再由即可得解.【详解】由组合数性质知，，因为，所以，所以，得.故选：C.2.若直线与直线平行，则与之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或，当时，与重合，不符合题意；当时，与平行，符合题意；此时，可化为，则与之间的距离.故选：D.3.已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为，且四点共面，由空间四点共面的性质可知，即，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.4.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B5.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合椭圆的定义求出，又因为，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为椭圆的方程为：，则，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，因为点P到两个焦点的距离之差为1，所以假设，则，解得：，又因为，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面积为：.故选：C.6.某街道选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（）A.1176 B.2352 C.1722 D.1302【答案】A【解析】【分析】由排列、组合知识及两个计数原理，结合分组分配问题求解即可．详解】某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，若每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，共有三种方案：1,1,5；2,2,3；3,3,1，不同的安排方式共有＝1176，故选：A．7.如图，在四棱柱中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，与交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算可表示，再结合向量数量积公式可得的模.【详解】在四棱柱中，四边形是平行四边形，又与交于点，所以是的中点，所以，又，，，所以，即，故选：A．8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，在下底面作，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，则即，即，，，，，，，.所以，又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知且，则B.已知，则越小，越大C.已知，且，则，D.若变量y关于x的线性回归方程为且，，则【答案】BCD【解析】【分析】利用正态分布的性质判断AB；利用二项分布的期望与方差列式判断C；利用线性回归方程必过样本中心列式判断D.【详解】对于A，因为且，所以，故A错误;对于B，因为，所以越小，的概率曲线越集中于对称轴处，而，所以越大，故B正确；对于C，因为，所以，，而，所以，解得，故C正确;对于D，变量y关于x的线性回归方程为，且，，所以，解得，故D正确.故选：BCD10.当下新能源汽车备受关注，某校“绿源”社团对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（）附：A.68 B. C.70 D.71【答案】CD【解析】【分析】设男女生总人数为，根据题目得到列联表，计算，得到答案.【详解】设男女生总人数为，则男生喜欢新能源汽车的人数，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的.则列出联表如下：类别喜欢新能源汽车不喜欢新能源汽车小计男生女生小计...所以，即，所以，故选：CD11.在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（）A.若A，B相邻，则不同的排序种数有240种B.若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种C.若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种D.A排在B，C之前的概率为【答案】ACD【解析】分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解.【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确；对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误；对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确；对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确.故选：ACD.12.已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（）A.若点满足，则的周长为52B.若点在双曲线的左支，则的最小值为13C.存在点，使得D.若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或【答案】ABD【解析】【分析】由题意首先得到双曲线方程以及渐近线方程，选项A，根据双曲线定义运算即可判断；选项B，画出图形，通过三角形两边之和大于第三边即可判断；对于C通过基本不等式可求得的最小值，从而即可判断；对于D，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理、判别式垂直平分线的求法即可判断.【详解】由题可知，所以，，，双曲线：，渐近线为即.选项A，若，则，所以，，则的周长为，所以选项A正确.选项B，，当且仅当，，三点共线且点线段上时(即点与点重合)取最小值.所以选项B正确.选项C，设，则，所以，，当且仅当，即点为或时，取最小值.所以选项C错误.选项D，设直线的方程为，设，，联立得，所以，，由得，即或；线段的中点为，所以线段的垂直平分线方程为，令得，由得或，所以选项D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于A选项的判断较为常规，判断B选项的关键是数形结合，判断C选项的关键是通过比较的最小值和的大小，判断D选项的关键是联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理、判别式来解决.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中的系数为2025，则实数_______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出的项的系数，结合，即可得的值．【详解】因为，的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：.14.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知取出的3个球全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为X，则______．【答案】【解析】【分析】利用组合与古典概型求得黑球的个数，从而求得的分布列，进而求得的期望，由此得解.【详解】依题意，设黑球的个数为，由，得，则，记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；，，，则分布列如下：123所以.故答案为：.15.已知直线，直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由曲线表示以点为圆心，以为半径的圆的下半圆，考察直线过点以及直线与曲线相切，利用直线与圆的位置关系求解.【详解】直线的方程可化为即为，所以，直线是过点，且斜率为的直线，由可得，可得，整理可得，即，所以，曲线表示以点为圆心，以为半径的圆的下半圆，如图所示：其中，，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，且，整理可得，解得（舍去）或，若直线与曲线有两个公共点，由图象知：实数的取值范围是.故答案为：.16.过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据题意设直线，，，且，联立抛物线方程得关于的一元二次方程，从而可求得，，再利用抛物线的定义即可求得，再结合基本不等式即可得最小值．【详解】依题意可得直线的斜率存在，设直线，，，且，联立，得，则，则，得，所以，当且仅当，时等号成立，故的最小值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知直线l和圆（1）若直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；（2）过点引直线与圆C相切，切点为N，求线段MN的长．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）讨论所求直线是否过原点，分别求出对应方程即可；（2）利用直线与圆相切的性质，结合两点距离公式与勾股定理即可得解.【小问1详解】当直线过原点时，直线的方程是，即.当直线不过原点时，设直线的方程为，即，把点代入方程得，则直线的方程是.综上，所求直线的方程为或【小问2详解】因为圆可化为，则圆的圆心为，半径为，如图，因为直线相切于圆，所以，又，，所以.18.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，期望（3），理由见解析【解析】【分析】（1）应用条件概率公式求概率即可；（2）由题设可能值为，结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望；（3）由，应用方差的性质判断的数量关系即可.【小问1详解】若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，由表格知：，则.【小问2详解】由题意，可能值为，，，，的分布列如下：012所以.【小问3详解】由题设知，所以.19.已知二项式．（1）若，，求二项式的值被7除的余数；（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解；（2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为，，，显然能被7整除，，所以二项式的值被7除的余数为.【小问2详解】因为的二项式系数之和为128，，则的展开通项公式为，假设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以展开式中系数最大的项为第6，7项，即.【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解.20.某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表．年份2017201820192020202120222023年份代码1234567新建社区养老机构（1）若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）（2）已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）参考公式与数据：①，.；②若随机变量，则，，；③，.【答案】（1）约为人（2）回归方程为；约为个.【解析】【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为；（2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果.【小问1详解】解：由题意可知，，，则，，所以，，所以，估计该地参与社区养老的老人人数为.【小问2详解】解：由表格中的数据可得，所以，，由已知条件可得，所以，，所以，，又因为，显然，解得，则，所以，关于的回归直线方程为，当时，.估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个.21.在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点．（1）求证：底面；（2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：在中，，，所以.在中，，，，