江西省景德镇市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题【含答案解析】

景德镇市2023-2024学年度上学期期末质量检测卷高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】由题得又因为，所以．故选：D2.下列调查方式中，可用普查的是（）A.调查某品牌电动车市场占有率 B.调查2023年杭州亚运会的收视率C.调查某校高三年级的男女同学的比例 D.调查一批玉米种子的发芽率【答案】C【解析】【分析】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可.【详解】选项ABD调查对象的数目较多，适合采用抽查；C调查对象的数目较少，适合采用普查.故选：C3.当且时，函数恒过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质即可求解.【详解】当时，，与无关，则函数恒过定点．故选：B.4.已知，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.【详解】因为，所以．故选：D5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数零点存在性定理即可求解.【详解】由题可知，为增函数，再由，所以，根据零点存在定理知，零点在范围内．故选：B.6.国家高度重视青少年心理健康问题，某校为了调查学生的心理健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有45名学生，将每一学生从01到45编号，从下面所给的随机数表的第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（）随机数表如图：251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】【分析】利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可.【详解】从随机数表第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，去掉超过45和重复的号码，选取的前3个数依次为32、37、27，故选取的第三个号码为27.故选：C7.地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（）倍（参考数据：）A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】【分析】根据题意结合对数运算分析求解.【详解】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由题可知，，故选：D．8.已知（且且），则函数与的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案.【详解】由，即为，即有；当时，，函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足；当时，，函数在上为减函数，在为减函数，四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法不正确的是（）A.总体指的是该市高一年级考试的全体学生 B.样本是指2000名学生的数学成绩C.样本容量指的是2000名学生 D.个体指是指2000名学生中的每一名学生【答案】ACD【解析】【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义逐项判断.【详解】对于A：总体指的是该市高一年级考试全体学生的数学成绩，故A错误；对于B：样本是指2000名学生的数学成绩，故B正确；对于C：样本容量指的是2000，故C错误；对于D：个体指是指2000名学生中的每一名学生的数学成绩，故D错误．故选：ACD.10.下列函数为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】借助奇偶性的定义逐项判断即可得.【详解】对于选项A：定义域，关于原点对称，，所以为奇函数，故A正确；对于选项B：定义域或，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确；对于选项C：定义域，关于原点对称，，所以为偶函数，故C错误；对于选项D：定义域，关于原点对称，，所以为奇函数，故D正确．故选：ABD.11.2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意识，让健身成为一种习惯和风俗，为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（）甲、乙步数折线统计图A.这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C.这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差D.这一星期内乙的日步数的分位数是12400【答案】BC【解析】【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项A；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项B；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项C；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第六个数为所求，即可判断选项D.【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：，所以中位数为12600；由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：，所以中位数为12600；故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A错误；这一星期内甲的日步数的平均数为：，这一星期内乙的日步数的平均数为：，因为，故B正确；由图知，甲的波动程度较大，故方差，标准差较大，故C正确；乙一星期内的步数从小到大的排列为：，故这一星期内乙的日步数的分位数是13800，故D错误．故选：BC.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递减C.函数存在零点D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】计算即可得A，结合复合函数的单调性的判断方式可得B，由可得C，结合单调性可得不等式，解出可得D.【详解】对于A，的定义域为，，故A错误；对于B，，当时，、，且都上单调递增，在上单调递减，故函数在上单调递减，故B正确；对于C，，函数没有零点，故C错误；对于D，由前可知，不等式满足或或，解得，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.【详解】由题意结合对数函数定义域可知，解不等式得，因此函数的定义域是.故答案为：.14.某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是______．【答案】30【解析】【分析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求出结果．【详解】由题意知，抽取的比例为，则中级教师抽取人.故答案为：3015.已知函数，且满足，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】判断的奇偶性和单调性，再结合一元二次不等式的求解方法，求解即可.【详解】易知的定义域，关于原点对称，又，故为奇函数，，又均为上的增函数，故为上的增函数，又为奇函数，故为上的增函数；即，故．故答案为：.16.已知函数定义域为，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】将转化为，构造函数，说明其在单调递减，又将化为，令，则，又，从而利用函数单调性即可求得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以，则,又因为，，所以，则，令，则，又，所以在内单调递减函数.因为，所以可变为，即①，令，则①可变为②，又因为，故②变为，又在内单调递减函数，则．故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）应用指数幂的运算法则运算即可；（2）应用对数运算法则运算即可.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知函数（1）在给出的坐标系中画出函数的图象．（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为.【解析】【分析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象；（2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数的图象为：（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为单调递减区间为，函数的值域为19.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值和样本成绩的四分位数；（2）已知落在的平均成绩是65，方差是11，落在的平均成绩为75，方差是16，求两组成绩的总平均数和总方差．【答案】（1），65，75，84（2）71，38【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；（2）由和组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差.【小问1详解】利用每组小矩形的面积之和为1可得，，解得．四分位数分别第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，设第百分位数为，则；设第百分位数为,则；设第百分位数为,则；所以该数据的四分位数分别为65，75，84.【小问2详解】由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为．20.已知函数，（，且）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）存在，或【解析】【分析】（1）根据对数型复合函数单调性即可求解.（2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值.【小问1详解】由题意可得，即函数的定义域为.当时，令，则，对数函数的单调性可知函数在内单调递增.函数图象的对称轴为直线当，函数在上递增，在上递减．所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】，（，且）.令，由，得，则的值域为.（ⅰ）时，在上单调递减，所以函数在上的最大值为，则，，满足题意.（ⅱ）时，在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，则，满足题意．综上所述：的值为或.21.芯片是现代科技发展的重要组成部分，它的出现和发展对科技领域产生了深远影响．芯片的应用非常广泛，从智能手机、电脑、平板电脑到汽车、医疗设备、航空航天等领域有着广泛的应用，为进一步激励国内科技巨头加大科技研发投入的力度．根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入10万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完；平均每万部的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）（2）当产量为40万部时，利润最大，最大利润为550万元【解析】【分析】（1）由，再根据条件即可求出结果；（2）利用分段函数的最值，先求出和范围内的最值