2022-2023学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）期中数学试卷（附答案）

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2022-2023学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）期中数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.将方程3x（久-1）=5。+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（）

A.3B.-8XC.—8D.-10

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.抛物线y="（x-6）2+3的顶点坐标为（）

A.（6,3）B.（-6,3）C.（3,3）D.（-3,∣）

4.方程2M-3x-∣=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.将抛物线y=/向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（）

A.y=（x+3）2+5B.y=（x—3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y=（%—5）2+3

6.如图，在AABC中，∆BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△4B'C'.若点B'

恰好落在BC边上，且4B'=CB',则4C'的度数为（）

B,

A.18oB.20oC.24oD.28o

7.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每

月的增长率为％,那么％满足的方程是()

A.50(1+%2)=196B.50+50(1+X2)=196

C.50+50(1÷x)÷50(1+%)2=196D.50+50(1÷%)÷50(1+2%)=196

8.函数y=∣α∕+bx∣(α<0)的图象如图所示，下列说法

正确的是()

方程有四个不等的实数根

A.∣Q∕+BX∖=k

B,α+6>1

C.2α+h>0

D.5α+3b<1

第∏卷(非选择题)

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

9.当Tn=时，关于X的方程(τn-3)Nn2-7-χ=5是一元二次方程.

10.如果抛物线y=-/+(m-i)χ+3经过点(2,1),那么zn的值为.

11.点4(2,—1)关于原点对称的点的坐标为.

12.若关于X的一元二次方程ɑ/=b(αwθ)一根为2,则另一根为.

13.把一个物体从地面以IOnl/s速度竖直上抛，那么物体经过X(S)时，离地面高度为九(m),

∕ι与X的函数关系为无=10%-4.9X2,则物体回到地面的时间为s.

14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染

给个人.

15.已知关于％的一元二次方程。-3)(x-2)-P2=0,下列结论：①方程总有两个不等的

实数根；②若两个根为且＞%2，则＞3,%2V3；③若两个根为%1，则(Xl-

2)(x2-2)=(x1-3)(x2-3)i④若X=可匠I(P为常数)，则代数式。一3)(无一2)的值

为一个完全平方数，其中正确的结论是.

16.如图，∆ABC=90o,AC=6,以AB为边长向外作等边△ABM,连CM,则CM的最大值

为.

三、解答题(本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

解方程：

(1)3(X-3)2+X(X-3)=0;

(2)x2-2x-3=0(用配方法解)

18.(本小题8.0分)

已知关于X的一元二次方程kχ2+(3∕c+l)χ+2fc+2=0(⅛≠0).

(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值.

19.(本小题8.0分)

抛物线y=ax2+bx-3(α≠O,a、b为常数)上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表:

X-1O123

yO-3一4-3m

(1)求抛物线的解析式；

(2)直接写出方程a/+bx-3=O的解.

20.(本小题8.0分)

如图，在8X8的正方形网格中，点4B,C,P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格

中按要求画图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).

(1)ΔABC的形状为；

(2)在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90。，画出图形；

(3)在图2中作PNIaC,且PN=AC,若4C绕某一点旋转得到PN(P与C对应)，在图中标出旋

转中心0.

21.(本小题8.0分)

用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m.

(1)设垂直于墙的一边长为％τ∏,则是菜园的面积为；

(2)若菜园的面积为IOoTn2,求X的值.

22.(本小题10.0分)

如图，AABC为等边三角形，点P在AABC左侧且NyIPC=30。，将△4PC绕点4顺时针旋转60。

(1)画出图形.

(2)在(1)的条件下，求证：PB=AC.

A

23.(本小题10.0分)

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽

车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护

费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维

护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费一月维护费；③两公司月利润差=月利润较

高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；

(2)当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；

(3)求两公司月利润差的最大值.

24.(本小题12.0分)

己知抛物线y=。/+以-2与％轴交于点4(一1,0),B(4,0),与y轴交于C点.

Q)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线K=Tn(O<m<4)交抛物线于M点，交BC于N点，旦CM"ON,求m的值；

(3)如图2,若点P为抛物线X轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•

ON=g，求P点坐标.

4

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：方程整理得：3/一8x-10=0,其中一次项系数为—8,

故选：C.

方程整理为一般形式，找出一次项系数即可.

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：α∕+bχ+c=0(α,b,c是常

数且α≠0)特别要注意α≠。的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ɑ/叫

二次项，bx叫一次项，C是常数项.其中α,b,C分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

2.【答案】A

【解析】解：4、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

从原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.【答案】A

【解析】解：抛物线y=(X-6)2+3的顶点坐标为(6,3).

故选:A.

根据顶点式直接解答即可.

本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.利用解析式化为y=α(x-h)2+k,顶点坐标是

(h,k),对称轴是直线X=九得出是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：・：方程2/_3乂-|=0中，

△=(-3)2-4X2XV)=9+12=21>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断.

2

本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ɑ/+bx+c=0(a≠0)的根与△=b~

4αc有如下关系：①当A>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两个相等

的两个实数根；③当△<()时，方程无实数根.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键.

根据二次函数的平移变换，先得到将抛物线y=炉向上平移3个单位的解析式为y=χ2+3,再得

到将抛物线y=x2+3向右平移5个单位的解析式即可.

【解答】

解：将抛物线y=/向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=∕+3,

将抛物线y=X2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y=Q—5)2+3,

所以，将抛物线y=/向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的抛物线为y=Q-

5)2+3.

故选：D.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用

这些性质解决问题是本题的关键.

由旋转的性质可得NC=NC',AB=AB',由等腰三角形的性质可得4C=NCAB',乙B=LAB'B,

由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.

【解答】

"AB'=CB',

∙∙Z.C=/.CAB',

：.乙AB'B=NC+乙CAB'=2Z.C,

••・将44BC绕点4按逆时针方向旋转得到小AB'C',

.∙.ZC="'，AB=AB',

••AB—Z-AB'B-2/.C,

VZB+ZC+∆CAB=180°,

.∙.3/C=180°-108°,

.∙.ZC=24°,

.∙.Z.C=Zr=24°,

故选：C.

7.【答案】C

【解析】解：依题意得八、九月份的产量为50(1+为、50(1+x)2,

50+50(1+x)+50(1+X)2=196.

故选：C.

主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果该厂八、九月份平均每

月的增长率为X,那么可以用X分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为α(l+x)2=b,α为起始

时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.

8.【答案】D

【解析】解：由图象可得IaX2+M=Jt有无实数根与k的大小有关，实数根可能有0个，2个，3个，

4个.

••・选项A错误，不符合题意.

•••X=1时，y<1,

••∣α+fc∣<1,

•••—1<ɑ+h<1,

••・选项2错误，不符合题意.

•••图象对称轴为直线％=且O<-g<l,α<0,

2a2a

.∙.b<—2a,即2Q÷6<0,

・•・选项C错误，不符合题意.

由图象可得0<x≤l时，y=ax2÷bx,

x≥2时，y=-ax2—bx,

ʌX=1时，Q+bV1①，

X—2时,一4Q-2b>0②，

由①-②得5α÷36<1,

・・・选项。正确，符合题意.

故选：D.

A选项，由图象可得IQX2+bχ∣=Zc有无实数根与Zc的大小有关，B选项，由图象可得％=1时，yV1,

即Ia+b∖<1∙C选项由图象对称轴为直线X=-及可得0<-?<1进行判断.D选项分别将X=1

112a2a

和X=2代入函数解析式由对应y的大小关系求解.

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图

象及二次函数的性质求解.

9.【答案】-3

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的概念的知识，只含有一个未知数且未知数最高次数为2、系数不为0的

整式方程叫做一元二次方程，一般形式是α/+bx+c=0(且α≠0).特别要注意α≠0的条件.这

是在做题过程中容易忽视的知识点.根据一元二次方程的定义进行解答即可.

【解答】

解：依题意得：τ∏2—7=2且τn-3片0,

解得Tn=-3.

故答案为-3.

10.【答案】2

【解析】解：•.・抛物线y=-X2+(m-I)X+3经过点(2,1),

ʌ—4+2τπ—2+3=1,

解得m=2.

故答案为2.

把点(2,1)代入函数解析式，计算即可求出m的值.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系

式是解题的关键.

11.【答案】(一2,1)

【解析】解：••・关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

•••点4(2,-1)关于原点的对称点的坐标为(一2,1).

故答案为:(—2,1).

由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可知点4(2,-1)关于原点的对称点的坐标.

本题考查中心对称中的坐标变化.

12.【答案】-2

【解析】解：设方程的另一个根为加，

则2+m=0,

解得：m=—2,

故答案为：-2.

设方程的另一根为m,根据根与系数的关系得到2+m=0,然后解一次方程即可.

本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ɑ/+bχ+c=0的两根分别为h与小，则与+

h_c

“2=一£'xl-χ2=a-

13.【答案】甯

49

【解析】解：回到地面则∕ι=0,即10%-4.9/=0,

解得：X1=O,Q=端，

球从弹起至回到地面需罂S,

故答案为：嘴.

49

回到地面则九=0,解方程求解即可.

本题考查了二次函数和一元二次方程的应用I,关键是理解题意把实际问题转化为函数问题.

14.【答案】7

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设每轮传染中平均一个人传染给%个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于X

的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】

解：设每轮传染中平均一个人传染给X个人，

根据题意得：1+X+x(l+x)=64,

解得：x1=7,X2=-9(不合题意，舍去).

故答案为：7.

15•【答案】①③

【解析】解：由(X-3)(x—2)—p2=O得/—5x+6—p2=0,

①4=25-4X(6-p2)=1+4p2>0,

(x-3)(X-2)-P2=。总有两个不等的实数根，故①正确；

②设p=0,关于X的一元二次方程为(X-3)(x-2)=0,若两个根为修，X2-且%I>Λ⅛,

则Xl=3,X2=2,这与Xl>3不符合，故②不正确；

2

③若—5x+6—p?=0两个根为X1，x2,则XI+Λ⅛=5,X1-X2=6—p,

-22

(x1—2)(X2-2)=x1∙X22(x1+x2)+4=6—p-2×5+4=-p,

22

(Xl—3)(X2-3)=XI∙X2^^ɜ(ɪi+%2)+9=6—p-3×5+9=-p>

∙'∙(ɪi-2)(3⅛-2)=(Xl—3)(*2—3)，故③)正确；

④∙∙∙X=4≡(p为常数)，

∙∙∙(ɪ-3)(X-2)=X2-5x+6=(x-1)2-ɪ=(5+J：+1-1)2-ɪ=γ=φ2'

当P为奇数时，与不是整数，此时(x-3)(x-2)不是完全平方数，故④不正确：

故答案为：①③.

2

由4=1÷4p>0,可判定①正确；设P=0,可得％=3,X2=2,可判断②不正确；根据(与一

2)(X2—2)=—P2,(XI-3)(X2-3)=-p2,可判定③正确；由(χ-3)(x-2)=⑤2,可判定④

不正确.

本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念.

16.【答案】3/3+3

【解析】解：过点M作MDIBC,交BC的延长线于点D,如图，

设4B=X,则BC=√AC2-CB2=√36-x2.

•••△力BM是等边三角形，

・・.BM=AB=X,Z-ABM=60°.

V∆ABC=90°,

・・•乙MBD=30°.

•・•MD1BC,

.∙.MD=~BM=^x,

BΓ>DΓ¼=-BMΓ>ħΛ=—3X-

∆MDCψ,

VCM=√MD2+CD2

=JGX)2+(?X+V36-久2)2

=√36+√^x∙√36-X2

=√36+√^3x4+108x2

=J36+J-3(x2-18)2+972,

...当#2=18时，CM有最大值J36+√~5TΣ∙

•：√36+√^^97^=√36+18ΛΛ1=3√4+2√3=(√^3+I)2=3θ+3>

.∙.CM的最大值为：3√^3+3.

故答案为：3C+3∙

过点M作MOJ.BC,交BC的延长线于点0,设AB=x,利用勾股定理表示出BC,利用解直角三角

形表示出MD,BD,再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的

最大值.

本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的知识，配方法，过点M作MDIBC,构造直角三角形

是解题的关键.

17.【答案】解:

(l)(x-3)(3x-9+x)=0

o9

Xi=3,X2=0

(2)配方得/-2x+1=4

即(X—I)2=4

X-1=±2

Xl=3,X2=~1.

【解析】(1)把X-3看成整体，提公因式分解因式求解；

(2)用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程

左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解.

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分

解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根•因式分解法是解

一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公

式法，此法适用于任何一元二次方程.解一元二次方程的方法还有配方法，直接开平方法，应灵

活掌握.

18.【答案】解：(1)证明：∆=(3k+I)2-4fc(2k+2)

=(⅛-l)2.

∙.∙(fc-I)2≥0,

ʌ4≥0,

.∙.无论k取何值，方程总有两个实数根;

(2)解：kx2+(3k+l)x+2k+2=O(fc≠0)

_-(3fc+l)±(fc-l)

X-2k

因为该方程的两根都是整数，

所以三二为整数，

所以整数A为±1.

【解析】(1)先计算判别式得值得到4=(3k+1)2-4kX(2fc+2)=(k-1)2,然后根据非负数的

性质得到4≥0,则根据判别式的意义即可得到结论；

(2)先理由求根公式得到∕cχ2+(3k+l)x+2%+2=0(k≠0)的解为XI=4ɪ,X2=-2,则二次

函数y=∕c%2+(3k+l)x+2fc+2的图象与X轴两个交点的横坐标分别为专ɪ和一2,然后根据整

数的整除性可确定整数k的值.

本题考查了一元二次方程ɑχ2+bχ+c=0(ɑ≠0)的根的判别式d=b2一4ɑc：当4>0,方程有

两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当/<0,方程没有实数根.也考查

了抛物线与X轴的交点.

19.【答案】解：⑴将(T0),(1，-4)代入丫=52+.一3得｛?；1：：［23，

解硼工

Λy=X2—2%—3.

(2)由表格可得抛物线对称轴为直线％=1,且％=-IBjy=0,

由抛物线对称性可得％=3时，y=0,

，方程α/+6%—3=O的解为％=—1或%=3.

【解析】⑴将(T0)，(1,一4)代入y=ax2+bx-3求解.

(2)由表格可得抛物线对称轴为直线％=1,再由％=—1时y=O可得％=3时7=0.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与不等式的关系.

20.【答案】直角三角形

【解析】解：(1)•••AC2=22+42=20,BC2=22+I2=5,AB2=32+42=25,

ʌAB2=AC2+BC2,

：.∆ACB=90°,

••.△4BC是直角三角形.

故答案为：直角三角形：

(2)将线段BC绕点B逆时针旋转90。，线段BC'即为所求，如图所示:

(3)如图，线段PN或PN',点。或点0'即为所求.

(1)利用勾股定理的逆定理判断即可；

(2)根据要求作出图形即可；

(3)利用数形结合的思想作出线段PN,作出线段PC,AN的垂直平分线的交点。即可.

本题考查作图-旋转变换，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解

决问题，属于中考常考题型.

21.【答案】x(30—2x)m2

【解析】解：(1)设垂直于墙的一边长为X巾，则平行于墙的一边长为(30-2x)τn,

二菜园的面积为％(30-2x)m2.

故答案为:x(30—2x)m2.

(2)依题意得：x(30—2x)m2=100,

整理得：X2-15x+50=0,

解得：Xl=5,X2=10-

当X=5时，30-2x=30-2X5=20>18,不合题意，舍去；

当X=IO时，30-2x=30-2x10=10<18,符合题意.

答：X的值为10.

(1)设垂直于墙的一边长为Xm,则平行于墙的一边长为(30-2x)m,利用矩形的面积计算公式,

即可用含X的代数式表示出菜园的面积；

(2)根据菜园的面积为IoOrn2,即可得出关于X的一元二次方程，解之即可得出X的值，再结合墙的

长度为18m，即可确定X的值.

本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含

X的代数式表示出菜园的面积；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

22.【答案】(1)解：如图所示，

(2)证明：如图2,连接PP',

由旋转得，AP'=AP,∆PAP'=60o,UP'B=Z.APC,

.∙∙AAPP'是等边三角形，

：.ΛAP'P=60o,AP=AP'=PP,

.∙.zPP,β=60o-30o=30o,

∙.∙∆PP,B=∆AP'B,BP'=BP,

AP'B三4PP'B(SAS),

PB--AB,

•••△ABC是等边三角形，

AB=AC,

ʌPB=AC.

【解析】(1)根据题意画图即可；

(2)如图2,连接PP',只需要证明4AP'B三APP'B,得到PB=48,再由△ABC是等边三角形，得

至∣L4B=AC,即可证明PB=AC.

本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，

正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

23.【答案】4800037

【解析】解：(l)[(50-10)×50+3000]×10-200×10=48000元,

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元，

故答案为：48000；

(2)设每个公司租出的汽车为X辆，

由题意可得:[(50-x)×50+3000]x-200x=3500x-1850,

解得：X=37或X=-I(舍)，

当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等，

故答案为：37：

(3)设两公司的月利润分别为V科丫乙，月利润差为y,

则V平=[(50—x)×50+3000]x—200x,

y—3500x—1850,

当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37,

y=y尹一y乙=[(50-X)X50+3000]x-200X-(3500x-1850)

=-50x2+1800%+1850,

当*=一点*=18时，利润差最大，且为18050元；

当乙公司的利润大于甲公司时∙，37<x≤50,

y=yz-y甲=3500x—1850—[(50—x)×50+3000]x+200x

=50/-1800%-1850,

••・对称轴为直线K=18,50>0,

二当37<X≤50时，y随X的增大而增大，

••,当％=50时，利润差最大，且为33150元，

综上：两公司月利润差的最大值为33150元.

(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润:

(2)设每个公司租出的汽车为X辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果：

(3)设两公司的月利润分别为y砂yz,月利润差为y,由题意可得y伊和丫乙的表达式，再分甲公司

的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于X的表达式，根据二次函数的

性质，结合X的范围求出最值，再