安徽省安庆市某中学2023年高二数学第二学期期末质量检测模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.演绎推理“因为/（x0）=0时，/是/（X）的极值点，而对于函数/（幻=》3,/'（0）=0,所以0是函数

的极值点.”所得结论错误的原因是（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.全不正确

2.从区间［1,8］上任意选取一个实数m,则双曲线V-g=1的离心率大于2的概率为（）

2345

A.-B・—C.一D.-

7777

3.已知函数/（x）=x+xlnx,若keZ,且以x-2）</（x）对任意的x>2恒成立，则%的最大值为

A.3B.4C.5D.6

2+i

4.复数——的虚部为（）

1

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知二-=2+"则复数归=（）

1+z

A.MB.2C.1-3/D.1+3；

6.设函数y=/（x）的定义域为{x|x>0},若对于给定的正数K,定义函数£（尤）=一、“，则当函数

/（x）=,，K=1时，定积分J；£（x）公的值为（）

X4

A.21n2+2B.21n2-lC.21n2D.21n2+l

7.若抛物线y2=4x,过其焦点F的直线/与抛物线交于A,B两点，则|A月+2忸可的最小值为（）

A.6B.3+20C.9D.3-2V2

8.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命

3

中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是士o则打光子弹的概率是（）

4

9n13八459

A.----B・----C.D.

2562565121024

9.直线x=0,x=3,y=0与曲线y=/所围成的曲边梯形的面积为()

2727

A.9B.—C.—D.27

42

4xx4-27xxx27.士,

10.已知XG(0,+CO)有下列各式：xH—N2,xH——=—1----1—23,xH--=—1-----1-----1—24成立，观察上

x%222x2%3333%3

面各式，按此规律若x+=25,则正数。=()

X

A.43B.54C.44D.55

11.“x>l”是“复数z=x2-x+(x—l)i(xeR)在复平面内对应的点在第一象限”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()

A.10种B.20种C.25种D.32种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(%)=»+"，""°，若方程/(幻=m(meR)恰有三个不同的实数解a，h.c(a<b<c),^(a+b)c

lnx+l.x>0.

的取值范围是.

14.由曲线y=4,直线y=X-2及y轴所围成的平面图形的面积为.

15.函数/(x)=x-lnx的极值点为x=.

16.已知点尸为椭圆C:J+y2=i的左焦点，点P为椭圆。上任意一点，点。的坐标为(4,3),则|PQ|+|P目取最

大值时，点P的坐标为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。为菱形，24_L平面ABC。，AB=2,ZABC=60，E,

尸分别是BC,PC的中点.

(I)证明：AE±PDi

(II)设”为线段尸。上的动点，若线段长的最小值为石，求直线尸。与平面AEF所成的角的余弦值.

18.(12分)已知椭圆。：0+£=1(。>6>0)的离心率为日，过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于M,N两

点，且=为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：y=依+加与椭圆C相交于两点，若OA_LO6.

2

①求-^一的值；

k2+\

②求AAOB的面积S的最小值.

19.(12分)已知zeC,且满足|z「+(z+W)i=5+2九

(1)求z；

(2)若m€R,w=zi+m,求|w|的取值范围.

f-TI

20.(12分)已知函数〃x)=-x——+21nx,m^R.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)有两个极值点内,》2，且王<々，证明：y(x,)>i-x2.

21.(12分)设锐角三角形戚的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,a=2Z?sinA.

(1)求8的大小.

⑵若a=3百，c=5,求6.

22.(10分)某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如

下：甲无保底工资送出50件以内(含50件)每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元,

且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：

甲

999848X9

22IIOO500III22

（1）记甲的日工资额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；

（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方

面都正确，才能得到这个演绎推理正确.根据三段论进行判断即可得到结论.

详解：演绎推理““因为/'（%）=（）时，/是“X）的极值点，而对于函数/（x）=d,/'（0）=0,所以0是函数

/（力=V的极值点.”中，

大前提：/'伍）=0时，/'（X）在/两侧的符号如果不相反，则/不是/（力的极值点，故错误，

故导致错误的原因是：大前提错误，

故选：A.

点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题

2、D

【解析】

分析：求出m的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.

详解：由题意得a=l,b=m,c=J1+加，

:.e=—=-Jl+m>2,解得m>3»即3</xW8

a

八8—35

:.P=----=-.

8-17

故选：D.

点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所

占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

3、B

【解析】

由x>2,则%（工一2）</（力=%+*比可化简为火<土土学,构造函数

X—2

⑺二立竿小)(lnx+2)(x-2)-(x+xlnx)_x-21nx-4

8*>2,，令

X—1(If(XT

2丫一2

〃（x）=x—21nx—4,则”（x）=l—==上」>0,即/z（x）在（2,4W）单调递增，设〃（%o）=O,因为

XX

/1（8）=4-2如8<0,/1（9）=5—2如9>0,所以8</<9,且1113=当±故8（.在（2,%）上单调递减，（%”）

ATQ-4

上单调递增，所以且⑴而小且小人血土*2+%一—=%e(4,2］，又攵<g(力哂，r"V4,即k的最小

工0一2XQ—2,2\2y

值为4,故选B.

点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题，属于较难题目.首先根据自变量x的范围，分离参数和变量,转化为新函数g（x）

的最值，通过构造函数求导判断单调性，可知g（x）在（2,与）上单调递减，（%,用）上单调递增,所以8（）血=8（%）,

且In/=也『/</<9,通过对最小值化简得出g（玉））的范围，进而得出k的范围.

4、A

【解析】

由复数除法化复数为代数形式，根据复数概念可得.

【详解】

2+i(2+i)-(-i)2+i

因为——I八2i,所以复数的虚部为-2,

11

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查复数的概念.属于简单题.

5、A

【解析】

由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得：z=(2+i)(l+i)=l+3i,

贝!|恸=布§=JHk

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6、D

【解析】

分析：根据£（力的定义求出£（力的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论.

1,-<1l,x>1

详解：由题意可得，当K，工(X)=：，即力(x)=1C,

—,0<x<l

—>1

,XX

22]

所以M（x）dx=[―+^dx=InxI；+xI；=历1+2-1=1+2ln2

1i44

4

故选D.

点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数人（X）的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定

积分的运算性质，可使得计算简单易行.

7,B

【解析】

分析：设直线方程为x=my+l,联立方程组得出A,B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出IA耳+2忸川关于A,

B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.

详解：抛物线的焦点尸（1,0）,

设直线方程为x=my+l,

联立方程组''=4A,得f—(4m2+2)X+1=O,

x=my+1'

fy,21(y})y2216

设A今,Y今,%，则3=1,二代=二，

I4J14J16X

由抛物线的性质得|A司=3+1,忸目=资+1=$+1,

..."+2|即=?+1+与+2=3+/+票3+2.

=3+20.

4弁

故选：B.

点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

8、B

【解析】

打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。

【详解】

5次中0次：

5次中一次:

5次中两次：前4次中一次，最后一次必中

则打光子弹的概率是+C；x-xW+3xC：x3x］，］=鸟，选B

（4）54444256

【点睛】

本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。

9,A

【解析】

直线x=0x=3,y=0与曲线产炉所围成的曲边梯形的面积为：?办=Q丁*=9.

本题选择A选项.

10、C

【解析】

观察上面各式,％+上》20+;=二+二+二230+4=2+土+2+之24,类比推理即可得到结果.

xx222x2X3333X3

【详解】

I14rx2227rrr33

由题，观察上面各式可得1+上之2,冗+三=±+±+1之3,工+冬=2+2+2+；之4,

XX222X2%3333%3

i64xxxx4,、4

则mix+—；■=—+—+—+—+—rN5,

x44444x4

所以a=4",

故选:C

【点睛】

本题考查类比推理,考查理解分析能力.

11、C

【解析】

根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案.

【详解】

若复数2=%2-%+(%-1)*%€/?)在复平面内对应的点在第一象限，贝“xI〉。，

解得x>l,故“x>l”是“复数z=f-x+(x-l)i(xeR)在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.

故选C.

【点睛】

本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题.

12、D

【解析】

每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有25=32种，应选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⑶卜if

【解析】

通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m的取值范围，于是再解出c的取值范围可得最后

结果.

【详解】

作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是()<〃?V1,而。+人=一2,0<lnc+l<b解得！<c〈l,

e

2、「2、

故—2〈一2c<-一，所以(a+0)c的取值范围是一2,——.

本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合

思想要求较高.

16

14、一,

【解析】

试题分析：由定积分知S=f>lx-(x-2)dx='—x:-—x*-f—xg—8+sl-0=—

°(32JO\3J3

考点：定积分及其几何意义

15、1

【解析】

求出导函数/'(x),并求出导函数的零点，研究零点两侧/'(x)的符号，由此可得.

【详解】

1Y—1

/'(x)=l—=——，由/'(x)=0得X=l,

XX

函数定义域是x>0,当0<x<l时，f\x)<o,当X>1时，/'(x)>0....x=l是函数的极小值点.

故答案为L

【点睛】

本题考查函数的极值，一般我们可先.f'(x),然后求出了'(X)的零点，再研究零点两侧/'(%)的正负，从而可确定是

极大值点还是极小值点.

16>(0,-1)

【解析】

试题分析：椭圆的左焦点为E(-1,0),右焦点为功,0),根据椭圆的定义，归目=2。一归目，+

伊。|=|。0+2。一归目=为+(归。一|尸耳)，由三角形的性质，知归。一|咫4。耳，当P是QE延长线与椭圆的交

点(0,-1)时，等号成立，故所求最大值为:”|。胃—6-30=20

考点：椭圆的定义，三角形的性质.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)巫

10

【解析】

(1)根据正三角形性质得AEJ_8C,即得AELW,再根据平面A8CD得AE_LR1,由线面垂直判定定理得EA_L

平面P4O,即得AE_LP〃；(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向

量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.

【详解】

(1)连接AC,因为底面A8C。为菱形，所以三角形48c为正三角形，所以AEJ_5C,又ADHBC,所以AE_LA。，

则又Ri_L平面ABCD,所以4后_19，由线面垂直判定定理得EA_1_平面A4O,所以AEA.PD

(2)过A作于“，连"E,由(1)得AE_L平面由。

所以E"_LPZ),即E〃=逐，；AE=G，；.AH=血，...24=2以A为原点，AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，

A(0,0,0),E(6,0,0),D(0,2,0),C(百，1,0),P(0,0,2)

:.F(与,I，1)TAE=(6,0,0),AF=.•.平面AE尸的法向量〃?=(0,-2,1)又

/、2m・PD-63而

PD=(0,2,-2),cos。,PD＞=m国=-非乂2叵=一一小所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为

Tip

记

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定和性质及利用空间向量求线面角，属中等难度题.

f44

18、(1)Fy~=1;(2)Q)—，(2)一•

455

【解析】

(1)利用椭圆的离心率公式，通径的长和椭圆中a,b,c的关系，求得a,b,c的值，进而可得椭圆的方程.

(2)①通过联立直线和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出％+X2,X,X2,

再结合向量表示垂直得OAOB=xlx2+yly2=0,进而求解；

②设直线0A的斜率为即.分4工0和勺=0两种情况讨论，当E力0时，通过联立直线与椭圆方程和三角形面积公

式，将面积的最小值问题转化为求函数的最值问题求解，再结合％。=0时的情况，得面积的取值范围，进而求得最小

值.

【详解】

(1)已知椭圆。：，+营=13＞。＞0)的离心率为乎，可知e=£=当，

根据椭圆的通径长为22护=1,结合椭圆中/=尸+o2,

a

可解得a=2/=l,c=G，

故椭圆C的方程为—+/=1.

4-

(2)①已知直线AB的方程为丫=履+利，设A(X1,^),B(x2,y2)

y—kx+m

2，消去y,得（1+4左2卜2+85a+4>-4=0,

与椭圆方程联立有X2,

——+y=1

14-

8km4m2-4

所以X+/一由回

因。4_LO6,所以。4・。8=与％2+,%=0，即（标+1卜也+忌（X]+*2）+〃?2=。，

所以（心）揩*掾+八。・整理得5〃』（口）,

所以Tm—之的值为47

k2+15

y=V

②设直线0A的斜率为即.当为彳0时,则的方程0A为y=V，0B的方程为N-；x

联立得

同理可求得〈

(1+4

故aAOB的面积为S

(1+4%(4+监)

2

令］+储=/«〉1),则S=2.

4/+%—9

令8（，）=_提+：+4=-9（；一3）+与”1）,所以4<g（f）4等.

444

所以§WS<1,当％0=。时,可求得S=l,故《〈SKI,故S的最小值为彳

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程，涉及了椭圆的离心率方程，通径的长和椭圆中a,b,c的关系；考查了直线与椭圆的

位置关系，考查了椭圆中的最值问题；函数中求最值的常用方法有函数法和数形结合法；函数法：利用函数最值的探

究方法，将椭圆中的最值问题转化为函数的最值来处理，解题过程中要注意椭圆中x,y的范围.

19、(1)z=l±2z；(2)|w|>l.

【解析】

分析：（1）利用复数模的定义、互为共朝复数的意义及复数相等的定义即可解出

（2）利用复数模的计算公式即可证明.

详解：(1)设2=。+初(。，beR),则|z『=/+Z?2,(z+7)i=2ai,

由|z『+(z+5)i=5+万得/+〃+2出=5+2。利用复数相等的定义可得

a2+b2=5a=\a=\

解得《或«:.z-l+2i或z=l-2i.

2a=2b=2b=-2

(2)当z=l+2i时,|w|=|zz+w|=|(l+2i)f+7n|=|-2+i+w|=7(m-2)2+l>1,

当z=1-2i时，|w|=|zz+nz|=|(1-2z)z+m|=|2+z+m\=J(/〃+2)2+1>L

综上可得：IM»L

点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共枕复数的意义及复数相等的定义是解题的关键.

20、(1)见解析.

(2)证明见解析.

【解析】

分析：⑴先求导数，再根据二次方程f—2x-m=0根得情况分类讨论：当机<-1时，/'(x)WO..•./(X)在((),+«))

"I

上单调递减.当机>-1时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间，(2)先化简不等式21n^-->1，消1«得

21nx2-x2>-l,再利用导数研究/7(x)=2hu-x,x«l,2)单调性，得其最小值大于T,即证得结果.

详解：(1)由/(x)=-x---+21nx,得

x,m2-X2+2x+mx2-2x-mz,、

/'(JC)=-1+—+-=-------5--------=------3——，xe(On,司.

XXXTX

设g(x)=f-2x-V2,X€(0,+oO).

当机<一1时，即A=4+4/〃W0时，g(x)>0,/'(x)<0.

.•./(x)在(O,”)上单调递减

当相>一1时，即A=4+4〃7>()时，

令g(X)=0，得石=1-J1+〃2,Xj=1+,1+/〃，玉<X?♦

当一1<在<0时,0<X]<x2,

在(0,%)5孙伊)上,/,(x)<0,在(阳,%2)上，/'(x)>0,

.../(X)在(0,无2)上单调递增，在(马,大句上单调递减.

综上，当机4-1时，/(X)在(0,+8)上单调递减，

当一1<加<0时，”X)在((M-JTT同，(1+JI7加+8)上单调递减，在(i-Ji工晟i+JiT痴)上单调递增，

当加NO时，〃力在(0,1+>/17同上单调递增，在(1+J6,向上单调递减.

(2)T/(X)有两个极值点看，x2,且王〈龙2，

二由(1)知g(x)=f-2x-〃?有两个不同的零点X1,x2,

2

%=1-Jl+m,x,=1+y/l+m>且一1</%<0,此时，x2-2X2-m=0,

m.

要证明/(々)=一々一一+21nx2>1一々，只要证明21nx2-->1.

x2x2

■:m=x^-2々,二只要证明2\nx2-x2>-1成立.

Vme(-1