新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（解析版）

11 ，⋯yn)，记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+⋯(xn+yn-|xn-yn|)].+x1)+(x2+x2)+(x3+x3)+(x4+x4)]=x1+x2+x3+x4为奇数，此时B中有n+1个元素，下证其为满足题意元素最多的集合.i=yi=l，此时M(α,β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．故B为满足题意的集合. nn}的前n项和222=11=1j≤rj+1+rj-1，j=1，2，⋯,m-1，求rn；(Ⅲ)证明：存在0≤p<q≤m，0≤r<s≤m，使得Ap+Bs=Aq+Br.=0，r1=1，r2=1，r3=2.i0123ai213Ai0236i133Bi0147rk0112n≤m且rn∈N，n所以r0=0，r1=1，又因为2rj≤rj-1+rj+1，则rj+1-rj≥rj-rj-1，即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥...≥r1-r0=1，可得rj+1-rj≥1，反证：假设满足rn+1-rn>1的最小正整数为1≤i≤m-1，当j≥i时，则ri+1-rj≥2；当i≤j-1时，则rj+1-rj=1，则rm=(rm-rm-1)+(rm-1-rm-2)+...+(r1-r0)+r0≥2(m-i)+i=2m-i，又因为1≤i≤m-1，则rm≥2m-i≥2m-(m-1)=m+1>m，所以假设不成立，rn+1-rn=1成立，所以rn=0+1×n=n，n∈N.m≥Bm，设Sn=An-Br，1≤n≤m，根据题意可得Sn≥0且Sn为整数，且rK≠m(若rK=m时，Br+1=Bm+1不存在)，则AK-Br≥m，AK-Br+1<0，所以br+1=Br+1-Br=(AK-Br)-(AK-Br+1)>m，所以对任意1≤n≤m，n∈N，均有Sn≤m-1，①若存在正整数N，使得SN=AN-Br=0，即AN=Br，取r=p=0，q=N，s=rN，使得AP+Bs=Aq+Br，②若不存在正整数N，使得SN=0，n3344所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX=SY，即AX-Br=AY-Br，可得AX+Br=AY+Br，取p=X，s=rY，q=Y，r=rX，使得Ap+Bs=Aq+Br，若Am<Bm，设Sn=Br-An，1≤n≤m，根据题意可得Sn≤0且Sn为整数，反证法：假设存在正整数K，使得SK≤-m，则Br-AK≤-m，Br+1-AK>0，所以br+1=Br+1-Br=(Br+1-AK)-(Br-AK)>m，所以对任意1≤n≤m，n∈N，均有Sn≥1-m，①若存在正整数N，使得SN=Br-AN=0，即AN=Br，取r=p=0，q=N，s=rN，使得AP+Bs=Aq+Br，②若不存在正整数N，使得SN=0，n∈{-1，-2，⋯,1-m}，且1≤n≤m，所以必存在1≤X<Y≤m，使得SX=SY，即AX+Br=AY+Br，可得AX+Br=AY+Br，取p=X，s=rY，q=Y，r=rX，使得Ap+Bs=Aq+Br.综上所述，存在0≤p<q≤m，0≤r<s≤m，使得Ap+Bs=Aq+Br.3ai+2，⋯,ai+j(j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n，则称Q为m-连续可表数列.3k为20-连续可表数列，且a1+a2+⋯+ak<20，求证：k≥7.2=11=21+a2=2+1=3，a3=4，a2+a3=1+4=5，由于Q为20-连续可表数列，且a1+a2+⋯+ak<20，所以其中必有一项为负数.55k=⋯=an=0，所以k≥7符合题意，故k≥7.4①a1+p≥0，且a2+p=0；4②a4n-1<a4n(n=1，2，⋯)；{am+an+p，am+an+p+1}(m=1，2，⋯;n=1，2，⋯).n}是否可能为ℜ2数列？说明理由；n}是ℜ05；因为p=2，a1=2，a2=-2，所以a1+a2+p=2，a1+a2+p+1=3，3=-2，所以a3∉{a1+a2+p，a1+a2+p+1}，1≥0，a2=0；m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，4=1 2又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1 2或a1=0. 2 21=0假设n≤k(k≥0)时命题成立.当n=k+1时，4(k+1)+1=a4k+5=aj+(4k+5-j)，利用性质③：{aj+a4k+5-j|j∈N*，1≤j≤4k+4}={k，k+1}，此时可得a4k+5=k+1，j+a4k+6-j|j∈N*，1≤j≤4k+5}={k，k+1}，此时可得a4k+6=k+1，{aj+a4k+8-j|j∈N*，2≤j≤4k+6}={k+1，k+2}，此时可得a4k+8=k+2，{aj+a4k+7-j|j∈N*，1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，此时可得a4k+7=k+1，5=a4×1+1=1；m+n=am+n+p∈{am+p+an+p，am+p+an+p+1}={bmm+bn+1}，由于b1=a1+p≥0，b2=a2+p=0，b4n-1=a4n-1+p<a4n+p=b4n，n}为ℜ0数列，664n+i=n-p(i=1，2，3)，a4n+1=n+1-p；S11-S10=a11=a4×2+3=2-p≥0，S9-S10=-a10=-a4×2+2=-(2-p)≥0，，⋯,a10≤0j≥0(j≥11)，满足题意.⋯,n}，ai+aj，ai-aj两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P.经检验A={1,0,-1{符合题意，综上a+b=-1；不妨设B={-bk,-bk-1,...,-b1,0,a1,a2,...,al{，其中k+l=5，0<a1<...<al,0<b1<...<bk，根据题意{a1-al,...,al-1-al{⊆{-bk,-bk-1,...,-b1{，3=b1+b2=3a1，22,⋯,an{(n≥3(，集合T⊆2iij=1,j≠i例如lT(a2(=dT(a2,a1(+dT(a2,a3(+dT(a2,a4(+⋯+dT(a2,T(a2(的值及lT(a4(的最大值；T(a1(,⋯,lT(an(中任意删去两个数，记剩下的数的和为M，T(a2T(a22(=01(=dT(a4,a3(=1所以lT(a4(最大值为2.T(a1(,⋯,lT(an(中的最大值为lT(ak(，由定义，lT(ak(≤n-1，若存在lT(ak(=lT(am(=n-1，k≠m，m于是除lT(ak(外，剩余的lT(ai(≤n-2由定义，T中恰有C个元素，lT(a1(+⋯+lT(an(=C，设删去的两个数为A，B，则lT(a1(+⋯+lT(an(-A-B≥C-(n-1(-(n-2(=n2-n+3，ij所以M的最小值为n2-n+3.设lT(ai(，i=1,2,⋯,n中的一个最大值为lT(ak(，由lT(ak(<n-1得lT(ak(≤n-2T(au,ak(=1考虑lT(au(=dT(au,a1(⋯+dT(au,ak(+⋯,lT(ak(=dT(ak,a1(⋯+dT(ak,au(+⋯T(au(≤lT(ak(T(au,ak(+dT(ak,av(+ (2)若m为集合A2n6={1,2772n的含有n+2个元素的子集B={n-1,n,n+1,⋯,2n}，B中任意4个元素之和一定不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n即若m为集合A2n先将集合A2n的元素分成如下n组：Ci=(i,2n+1-i),(1≤n)，对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有三组Ci,Ci,Ci同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n-1组：Cj=(j,2n-j),(1≤j≤n-1)，对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有三组Dj同属于集合P，不妨设Dj与Ci无相同元素，此时这4个元素之和[i1+(2n+1-i1)+(2n-j4)]=4n+1， n≤2an-1.不妨设x1<x2<x3<x4<x5.所以x2=x1+1，x4=x5-1，x3=x2+1或x3=x4-1.对于集合C={n+1-x5，n+1-x4，n+1-x3，n+1-x2，n+1-x1}，因为1≤x1<x2<x3<x4<x5≤n，所以1≤n+1-xi≤n，i=1，2，3，4，5，n+1-x5<n+1-x4<n+1-x3<n+1-x2<n+1-x1，因为x2=x1+1，x4=x5-1，x3=x2+1或x3=x4-1.所以n+1-x2=n+1-x1-1，n+1-x4=n+1-x5+1，n+1-x3=(n+1-x4)+1或n+1-x3=(n+1-x2)-1，所以集合C也是自邻集.所以B≠C.对应.当n≥4时，an-1=b2+b3+⋯+bn-1，an=b2+b3+⋯+bn-1+bn，88显然an=an-1+bn.n≤an-1.邻集.此时的自邻集的最大元素为m，可将此时的自邻集分为n-4个；含有最大数为3的集合个数为b3，⋯⋯,含有最大数为n-3的集合个数为bn-3.则这样的集合共有b2+b3+⋯+bn-3个.综上可得bn=b2+b3+⋯+bn-3+bn-1+1≤b2+b3+⋯+bn-3+bn-1+bn-2=an-1，所以bn≤an-1，故n≥4时，an≤2an-1得证.1|f(x1(-f(x2(|<k|x1-x2|，则称f(x(为[a,b[上的“k类函数”.1f(x1(-f(x2(|<1.有1≤x1<x2≤2，2<x1+x2<4，所以2<<3，|f(x1(-f(x2(|=+x1（-+x2=(x1-x2(<3|x1-x2|，(2)因为f,(x(=axex-x-lnx-1，f(x1(-f(x2(|<2|x1-x2|，不妨设x1<x2，则-2(x2-x1(<f(x1(-f(x2(<2(x2-x1(，故f(x1(+2x1<f(x2(+2x2且f(x1(-2x1>f(x2(-2x2，-2≤f,(x(≤2，由f,(x(≤2可转化为a≤，令g(x(=，只需a<g(x(min,(x(=(1+x((lnx-x(，令u(x(=-2-lnx-x，u(x(在[1,e[单调递减，99所以u(x(≤u(1(=-3<0，g,(x(<0，故g(x(在[1,e[单调递减，g(x(min=g(e(=，由f,(x(≥-2可转化为a≥，令h(x(=，只需a≥h(x(max,(x(=(1+x((xlnx-x(，令m(x(=2-lnx-x，m(x(在[1,e[单调递减，,e[使m(x0(=0，即2-lnx0-x0=0，即lnx0=2-x0,x0=e2-x，h(x(max=h(x0(==，故≤a≤.f(x1(-f(x2(|<2|x1-x2|，不妨设1≤x1<x2≤2，当|x1-x2|<时，|f(x1(-f(x2(|<2|x1-x2|<1；当≤|x1-x2|<1时，因为f(1(=f(2(，-1<x1-x2≤-|f(x1(-f(x2(|=|f(x1(-f(1(+f(2(-f(x2(|≤|f(x1(-f(1(|+|f(2(-f(x2(|<2(x1-1(+2(2-x2(=2(x1-x2+1(≤2（-+1（=1，f(x1(-f(x2(|<1.2(2024·山东·高三校联考阶段练习)定义函数fn(x(=1-x+-+⋯+(-1(n(n∈N*(.(1)求曲线y=fn(x(在x=-2处的切线斜率；(3)讨论函数fn(x(的零点个数，并判断fn(x(是否有最小值．若fn(x(有最小值m﹐证明：m>1-ln2；若fn(x(没有最小值，说明理由.【解析】(1)由f(x(=-1+x-x2+⋯+(-1(nxn-1，可得f(-2(=-1-2-22-⋯-2n-1=-=1-2n,所以曲线y=fn(x(在x=-2处的切线斜率1-2n.所以k≤=对任意x∈R恒成立，(x)=，(x)>0解得x<0，或x>4；由g,(x)<0解得0<x<4，故g(x)的最小值为g(0)=-1，(3)f(-1(=-1-1-⋯(-1(=-n，当x≠-1时，f(x(=-1+x-x2+⋯+(-1(nxn-1=-=，因此当n为奇数时，fn(x(=1-x+-+⋯+-，此时f(x(=则f(x(<0，所以fn(x(单调递减.此时fn(0(=1>0，f1(x(=1-x显然有唯一当n≥2时，fn(2(=1-2+-+⋯+-<0且当x>2时，fn(x(=(1-x(+-+⋯+-=(1-x(+-x（+⋯+-x（<1-x，由此可知此时fn(x(不存在最小值.当n=2k(k∈N*(时，即当n为偶数时，fn(x(=1-x+-+⋯-+，此时f(x(=由f(x(>0，解得x>1；由f(x(<0，解得x<1则fn(x(在(-∞,1[上单调递减，在(1,+∞(上单调递增，故fn(x(的最小值为fn(1(=(1-1(+-+⋯+-+>0，即fn(x(≥fn(1(>0，所以当n为偶数时，fn(x(没有零点.设h(x(=ln(1+x(-(x>0(，,(x(=-=>0，(x>0(.所以h(x(在(0,+∞(上单调递增，h(x(>h(0(=0，即(x>0(.令x=可得ln>当n=2k(k∈N*(时1-f2k(1(=1-+- n+1 +⋯+- +⋯+-=1+++⋅⋅⋅+-2++⋯+=1+++⋅⋅⋅+-（1++⋯+(+ln=ln=ln2，从而当n为偶数时，fn(x(没有零点，存在最小值m>1-ln2.当n为偶数时，fn(x(没有零点，存在最小值m>1-ln2. 示.(1)已知函数f(x)=ex+alnx-x2，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.1项.我们称该数列为y=f(x)的“n阶导数列”x+alnx-x2，函数定义域为(0,+∞(，[f'ex+-2x，[f'(x)]2=ex--2，[f'(x)]3=ex+，3=ex+>0恒成立，[f'(x)]2在(0,+∞(上单调递增，3=ex+=0，则a=-，设m(x(=-，x∈(0,+∞(，则m'(x(=-exx2(3+x(<0恒成立，且m(x(=-∈(-∞,0(，故存在唯一的x=x0满足a=-，2在(0,+∞(上单调递增；a<0时，存在唯一的x=x0满足a=-，(x)[1=nxn-1，[g'(x)[2=n(n-1(xn-2，⋯,②存在，取h(x(=-ex，a1=h(1(=-e，则[h'(x([n=-ex，则an+1=-en+1，n=-en，an+1-an=en-en+1=en(1-e(<0，4然对数的底数，设函数F(x(=af(x(-g(x(，4(1)若a=e，求函数y=F(x(的单调区间，并写出函数y=F(x(-m有三个零点时实数m的取值范围；2分别为函数y=F(x(的极大值点和极小值点，且不等式F(x1(+tF(x2(>0对任(3)对于函数y=f(x(，若实数x0满足f(x0(f(x0+F(=D，其中F、D为非零实数，则x0称为函数f(x(的“F-D-笃志点”.x>0x>0x<0①已知函数f(x(=②定义在R上的函数f(x(满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得f(m+x(=f(m-x(恒成立或f(m+x(=-f(m-x(恒成立.对于有序实数对(F,D(，讨论函数f(x(“F-D-笃志点”个数的奇偶性，并【解析】(1)F(x(=ef(x(-g(x(=ex+1-ex-e-x-x，F,(x(=ex+1-e+e-x-1=(ex-1((e-e-x(，当x<-1时，ex-1<0，e-e-x<0，故F,(x(>0，函数单调递增；当-1<x<0时，ex-1<0，e-e-x>0，故F,(x(<0，函数单调递减；当x>0时，ex-1>0，e-e-x>0，故F,(x(>0，函数单调递增；(2)F(x(=af(x(-g(x(=a(ex-x(-(e-x+x(，F,(x(=af(x(-g(x(=a(ex-1(+(e-x-1(=x-1((a-e-x(，取F,(x(=0，得到x=0或x=-lna，当x∈(-lna,+∞(时，F,(x(>0，函数在(-lna,+∞(上单调递增，故x1=0是极大值点，x2=-lna是极小值点，F(x1(+tF(x2(=a-1+t(alna+lna-a+1(>0恒成立，F(x1(=a-1<0，F(x2(=alna+lna-a+1<F(x1(<0，故t<0，设h(a(=a-1+t(alna+lna-a+1(，a,(a(=1+t设m(a(=lna+，则m,(a(=-=<0恒成立，故m(a(在(0,1(上单调递减，m(a(>m(1(=1，当t≤-1时，h,(a(=1+tlna+<0，函数h(a(单调递减，h(a(>h(1(=0；a0(=0，(3)①f(x0(f(x0+1(=1有三个不等的实数根，当-1<x0<0时，x0+1>0，故=1，即a=ex+1-x0，令g(x(=ex+1-x(-1<x<0)，则g/(x(=ex+1-1>0在-1<x<0上恒成立，故g(x(=ex+1-x在(-1,0(上则x+(2a+1(x0+a2+a-1=0，由于x+(2a+1(x0+a2+a-1=0至多有两个根，令w(x(=x2+(2a+1(x+a2+a-1，其中Δ=(2a+1(2-4(a2+a-1(=5>0，（2-2-=1，w(x(=x2+(2a+1(x+a2+a-1的图象的对称轴为x=-a-<-，故w(x(=x2+(2a+1(x+a2+a-1在x∈(-∞,-1(上有两个不相等的实数根，②定义在R上的函数f(x(满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得f(m+x(=f(m-x(恒成立，故f(x0(=f(2m-x0(，f(x0+F(=f(2m-x0-F(，因为f(x0(f(x0+F(=D，所以f(2m-x0(f(2m-x0-F(=D，即f(2m-x0-F(f[(2m-x0-F(+F]=D，比较2m-x0-F与x0的大小关系，m(m-+F(=D，则有fm-fm+=D成立，故对于有序实数对(F,D(，函数f(x(“F-D-笃志点”个数为奇数个，同理，对于定义在R上的函数f(x(满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得f(m+x(=-f(m-x(恒成立，故f(x0(=-f(2m-x0(，f(x0+F(=-f(2m-x0-F(，因为f(x0(f(x0+F(=D，所以[-f(2m-x0([⋅[-f(2m-x0-F([=D，即f(2m-x0(f(2m-x0-F(=D0则函数f(x(“F-D-笃志点”个数为奇数个，11(2)在平行六面体ABCD-ABC1D1中，AB=AD=2,AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,N为线段②若=[2,-2,0[，求与夹角的余弦知=+2+3，=-++2，所以+=(+2+3(+(-++2(=3+5，所以+=[0,3,5[；①=++=+-=2+3-=-+2+3，=42+42-8⋅=4+4-4=2，2-42-6⋅+2⋅=-3，—党——党所以与的夹角的余弦值为- =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2．若×=x1x2y1y2z2y=2++(-1(---(-1(=3--=(3,-1,-1(.则×=y1z2+z1x2+x1y2-x2y1-z2x1-y2z1=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)，2与y12z1-y1z2,z2x1-z1x2,x2y1-x1y2)，2故S△AOB=22-(2-(2OB——常OBOA 22-(22=2-(z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1(，2=(y1z2-y2z1)2+(z1x2-z2x1)2+(x1y2-x2y1(2，又|OA|2=x+y+z，|OB|2=x+y+z，(⋅(2=(x1x2+y1y2+z1z2(2，2=2-( 2 2 2△AOB3300小值.设顶点A在底面BCD的射影为点F，则F为正△BCD的中心，则BE=BCsin60°=b，BF=BE=×b=b，所以，AF=AB2-BF2=b2-b（2=b，VA-BCD=AF⋅S△BCD， 3因为VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+ 3 S,x-,y-,-=0，即-+--=0，即x+2y-6=0，0为球面上一点，则x+y+z=1，即x0⋅x-x0,y-y0,z-z0=0，即x0x-x0+y0y-y0+z0z-z0=0，即x0x+y0y+z0z=1，np，则dm=OR⋅OS==1=1，RS1+x+y、1-z003=3=， 算金帆排练厅对应几何体体积.(棱台体积公式：V=hS+SS+S)学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数Sx=sinx+等.D=10,DH=46， 所以S上底面=1503,S下底面=,S上底面S下底面==(1-cosx((1+cosx)31=3≤4=. 2时取等号. 2时取等号. S(x(=(sinx+sinx+sin2x(,=≤sin=当且仅当x=π-2x，即x=取等号. ab≤, (x)=(sinx+sinxcosx)2=sinx⋅+sinxcosx⋅32≤+2= 当且仅当sinx=时取等号.2(x(=(sinx+sinxcosx)2=⋅sinx+sinx⋅2cosx2≤=+sin2x-sin2x+2根据二次函数知识可知当sinx=23取得最大值，(x)≤；|F=4|F=4E=fV=4!E=6V=6E=12V=12E=30V=8E=12V=20E=30 2V2=所以总体积为V=V1+6V2=. ×=+11f(x+T)=x+T，Tf(x)=Tx.所以方程组：{y=axy=x有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T，于是对于g(x)=ax有g(x+T)=ax+T=aT⋅ax=T⋅ax=Tg(x)，所以存在非零常数T，即cos(mx+mT)=Tcosmx.故要使cos(mx+mT)=Tcosmx成立，只有T=±1，当T=-1时，cos(mx-m)=-cosmx成立，7．将函数f(x)的图象按向量=(m,n(平移指的是：当m>0时，f(x)图形向右平移m个单位，当m<02(x(-mg(x(-1≤0恒成立，求实数m的取值范围.(2)函数g(x(的最小正周期为T==π.t(=t2-mt-1，t(≤0在[2,3[上恒成立，解得m≥，∴f(x+1)+f(x)=0，f(x+a)+af(x)=sinω(x+a)-1+asinωx-a=0对任意的x都成立，*，令f(x(=0，解得x=+(k∈N).*11(2)由=(-3,1)为h(x)=msin（x-=msinx-mcosx的相伴特征向量知：m=-2.所以φ(x)=h-=-2sin--=-2sin-=2cos.设P=-x2(*)∵-2≤2cosx≤2，∴-≤2cosx-≤-，.又∵-x2≤，f(x)+kf>0，x+>-sin（x+恒成立.所以k>-tan（x+max=-3;k<-tanx+min，由于<x+≤，所以tan（x+的最大值为tan=1，所以k<-tan（x+min=-1 边作等边三角形ABC.设∠AOB=α.即AB=3，于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+23；所以OB+OA≥OC，所以OC≤3，不妨设AB=x，则+=0，解得x=7，所以cos∠AOC==，所以AB=5-4cosα,0<α<π,于是四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=OA⋅OB⋅sinα+AB2=sinα+(5-4cosα)=sinα-3cosα+=2sin(α-+， ，其中为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n，都有f(n+1(>f(n(，则称{An{为T点列.n(2)若{An{为T点列，且a2>a1.=f(n(=⋅=-，f(n+1(-f(n(=---=>0，即f(n+1(>f(n(，n∈N∗,n⋅=an+1-an，因为{An{为T点列，所以f(n+1(-f(n(=an+2-an+1-(an+1-an(>0，n∈N∗,又因为a2>a1，所以a2-a1>0.所以对{An{中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，都有ak+2-ak+1>ak+1-ak，ak+2>ak+1>ak.因为=(1,ak+1-ak(，=(1,ak+2-ak+1(，k+2-ak+1>ak+1-ak，故因为⋅=-1+(ak-ak+1((ak+2-ak+1(<0，kAk+1Ak+2=<0，则∠AkAk+1Ak+2为钝角，所以△AkAk+1Ak+2为钝角三角形；(3)由k<l<m，m≥3.因为{An{为T点列，由(2)知an+2-an+1>an+1-an，n∈N∗,所以am+k-am+k-1>am+k-1-am+k-2，am+k-1-am+k-2>am+k-2-am+k-3，⋯,am+1-am>am-am-1，两边分别相加可得am+k-am>am+k-1-am-1，所以am+k-1-am-1>am+k-2-am-2>⋯>al-al-k，所以am+k-am>al-al-k，所以am+k-al>am-al-k，A=(m-l+k,am-al-k(，又AlAm+k=又AlAm+k=——4n4nnnnk=(ka1n).对于②,设k1+k2+k3=，则可得{k1+2k2+5k3=0k1+2k2+k3=0k1+2k2+4k3=0，所以k1+2k2=0，k3=对于③,设k1+k2+k3+k4=，则可得{k1+k2+k4=0k1+k3+k4=0k2+k3+k4=0，解得k1=k2=k3=-k4(+)+k2(+)+k3(+)=，则(k1+k3)+(k1+k2)+(k2+k3)=，+k3=0k1+k2=0k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，则k1+k2+⋯+ki-1α—i-党1+ki+1+⋅⋅⋅+km=，，⋯ki-1，ki+1，m全不为零，所以由l1+l2+⋅⋅⋅+lm=可得=-m—党代入k1+k2+⋅⋅⋅+km=可得k1+k2+⋅⋅⋅+km=，-k1+k2-k1+km=，所以-k1+k2=0，⋯,-k1+km=0，所以==⋅⋅⋅=. 1=1为{an{的伴随数列.(2)若{an{为一个X数列，{bn{为{an{的伴随数列.2=a1-b1=，b3=2-b2=，b4=|a3-b3=n+1=1 ;4 2 2k=1-bk-1=bk-1，得等比数列{bn{的公比q==1.n{为等比数列时，数列{an{为常数列.②当an=1，an+1=1时，bn+1=bn，n=1，an+1=0时，bn+1=bn，n=0，an+1=1时，bn+1=bn，n=0，an+1=0时，bn+1=0，nn+2≤bn，于是有b2019≤b2017≤b2015≤⋯≤b1=，22A-A=〈ai-aj|ai,aj∈A〈，记集合A+A和A-A其元素个数分别为|A+A|，|A-A|.设n(A(=|A+A|-|A-A|.例如当A={1,2{时，A+A={2,3,4{，A-A={-1,0,1{，|A+A|=|A-A|，所以n(A(=0.(2)设A是由3个正实数组成的集合且(A+A(∩A=∅n=n(An(.*n≥0，求数列{an{的通项公式.|A+A|=|A-A|，所以n(A(=0，<a<b<c，n(A,(-n(A(=|A,+A,|-|A,-A,|-(|A+A|-|A-A|(=(|A,+A,|-|A+A|(-(|A,-A,|-|A-A|(因0<a<2a<a+b<2b<b+c<2c，因(A+A(∩A=∅,所以|A,+A,|-|A+A|=4，因-c<-b<-a<0<a<b<c，a-c<a-b<0<b-a<c-a，b-c<0<c-b，A-A={0,a-b,a-c,b-a,c-a{∪{b-c,c-b{，A-A={a,b,-a,-b{∪{0,c,-c,a所以A-A-A-A=6nA-nA=-2所以nA-nA为定值.法2：nA-n(A)=-2.m=ai+aj，于是A+A=(A+A)∪{0,a1,a2,a3{，A+A=|A+A|+4，于是A-A=(A-A)∪{a1,a2,a3,-a1,-a2,-a3{，从而A-A=|A-A|+6，于是nA-n(A)=-2为定值.*，3≥4,a3*，则4<1+a3<2+a3<2a3，1-a3<2-a3<-1<1<a3-2<a3-1,A3-A3={1-a3,2-a3,-1,0,1,a3-2,a3-1{，3=nA3=A3+A3-A3-A3=-1，不符合题意，3=3，猜想an=n，下面给予证明，故Ak+Ak=2k-2+1=2k-1，Ak-Ak=k-1-1-k+1=2k-1，k=nAk=0，符合题意，Ak+1={1,2,k+1{，ak+1∈N*3+ak+1,⋯,k+ak+1{，Ak+1-Ak+1={1-k,2-k,3-k,⋅⋅⋅,0,1,2,⋯,k-1{∪{1-ak+1,2-ak+1,⋯,0,1,⋯,ak+1-1{，若ak+1≥k+2，+ak+1,3+ak+1,⋯,k+ak+1{的元素个数小于+1,2-ak+1,⋯,0,1,⋯,ak+1-1{的元素个数k+1=nAk+1=Ak+1+Ak+1-Ak+1-Ak+1<Ak+Ak-Ak-Ak=nAk=0，k+1=k+1，*n=n故数列{an{的通项公式an=n.n根据条件，m≥3，且Am-1={1,2,⋯,m-1}，Am-1+Am-1={2,4,⋯,2m-2},|Am-1+Am-1|=2m-3，Am-1-Am-1={0,±1,±2,⋯,±(m-2)},|Am-1-An-1|=2m-3，根据假设，am≥m+1.(i)如果am=m+k(k=1,2,⋯,m-3)，那么属于Am+Am但不属于Am-1+Am-1的元素组成的集合是{2m-从而|Am+Am|-|Am-1+Am-1|=k+2.属于Am-Am，但不属于Am-1-Am-1的元素组成的集合是{±(m-1),±m,⋯,±(m+k-1)}，从而|Am-Am|-|Am-1-Am-1|=2(k+1),m=-k<0．矛盾！(ii)如果am=m+k(k≥m-2)，那么对任意i=1,2,⋯,m-1,m,am+ai∉Am-1+Am-1，从而|Am+Am|-|Am-1+Am-1|=m，同样对任意i=1,2,⋯,m-1,±(am-ai(∉Am-1-Am-1且±(am-ai(两两不同，从而|Am-Am|-|Am-1-Am-1|=2m-2,m=-(m-2)<0，矛盾！ <n≤(k∈N*)时，an=(-1)k-1k，记Sn=a1+a2+⋅⋅⋅***k个————————————k(k+1)-Sk(k-1)=-1)k-1k,⋯,(-1)k-1=(-1)k-1⋅k2(k∈N*)，所以S2020=1-22+32-42+52-⋯-622+632-64-64-64-64=1+2+3+⋯+63-256=-256=1760；Sn=S-n-(k+1)=1-22+32-42+⋯+(k-2(2-(k-1(2+k2-n-(k+1(=(1+2+⋯+k(-n-(k+1(=-n-(k+1(=-n⋅(k+1)；Sn=-1-2-3-⋯-k+n-(k+1)=-+n-(k+1)=-n⋅[-(k+1)[；<n≤时，Sn=(-1)k-n⋅k，an=(-1(k-1k,-=k，所以满足条件的n的个数为1+3+5+⋯+63=×32=1024，4+T=an对一切正整数n都成4n是数列{an{的前n项和，若≤t对一i=0”；2=a(3)若无穷数列{an{和{bn{满足bn=an+1-an，且{an{2=1，n=(a1+a2(=2n；当n为奇数时，Sn=(a1+a2(+a1=2n+1，因为≤t对一切正整数n恒成立，当n为奇数时，=2+≤3恒成立，故只需t≥3即可；因为{bn{是周期为T的周期数列，bi=0，bn=an+1-ani=0，即(an+1-an(+(an+2-an+1(+⋯+(an+T-1-an+T-2(+(an+T-an+T-1(=0，所以an+T-an=0，即an+T=an因为{an{是周期为T的周期数列，所以an+T=an，即an+T-an=0n+T+1=an+1,an+T=an，即an+T+1-an+1=an+T-an=0n+T+1-an+T=an+1-an，即bn+T=an+T+1-an+T=an+1-an=bn，所以数列{bn{是周期为T的周期数列，因为a1+T-a1=(a1+T-aT(+(aT-aT-1(+⋯+(a3-a2(+(a2-a1(=bT+bT-1+⋯+b2+b1=0，即bi=0n{是周期为T的周期数列，且bi=0，2=an+2=b1(n≥1,n∈N(，3==a,b4==1,b5==,b6==，b7==1,b8==a,b9==a,⋯所以数列{bn{是周期为T=6，11故点A在Ψ的直线y=1上.令f(t)=3t2x0-2t3，则f′(t)=6tx0-6t2=6t(x0-t).0所以f(t)max=f(x0)=x，f(t)∈(-∞,x].所以y0>x;(x>0).2=3t2则过该点的切线方程是y-t3=3t2(x-t)即y=3t2x-2t3.而对任意的t>0，y=3t2x-2t3的确为曲线y=x3(x>0)的切线.故Ω的包络是曲线y=x3(x>0).将2(a-2)x+4y-4a+a2=0整理为a的方程a2+2(x-2)a+4(-x+y)=0，若该方程无解，则Δ=4(x-2)2-16(-x+y)<0，整理得y>+1.猜测Ψ的包络是抛物线y=+1. +1在抛物线y=+1上任取一点,则过该点的切线方程是2(a-2)x+4y-4a+a2=0，而对任意的a∈R，2(a-2)x+4y-4a+a2=0确为抛物线y=+1的切线.故Ψ的包络是抛物线y=+1. 在平面直角坐标系中，若点Mx,y与定点Fc,0(或F-c,0的距离和它到定直线l:x=(或l:x=-22=2c2=12=a2-c2(b>义.这里定点Fc,0是椭圆的一个焦点，直线l:x=称为相应于焦点F的准线；定点F-c,0是椭圆的另一个焦点，直线l:x=-称为相应于焦点F的准线.根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点Mx,y在椭圆+=1(a c,则点Mx,y到准线l:x c-x，所以MF=×-x=a-x=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.2=92=9,c=12=a2-c2=8，所以x1+x2=2，y1+y2=-，MN=，所以直线MN的方程为y+=(x-1(，即y=x-2，(x2+y2=1=-2，得(x2+y2=1解得：x=-1或x=3，=,-或. 均为三元方程F(x,y,z(=0的解；②以三元方程F(x,y,z(=0的任意解(x0,y0,z0(为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F(x,y,z(=0，方程F(x,y,z(=0的曲面为S.已知曲面C的方程为+-(1)已知直线l过曲面C上一点Q(1,1所成角的余弦值.从而存在实数λ,使得=λ,即(x0-1,y0-1,z0-2(=λ(-2,0,-4(，x0-1=-2λy0-1=0，解得x0=1-2λ,y0=1,z0=2-4λ,即点P(1-2λ,1,2-4λ)，λ+-=1-4λ+4λ2+1-[1-4λ+4λ2]=1，从而存在实数t，使得=t，即(x1-2,y1,z1-2(=t(a,b,c(，x1-2=aty1=bt1=2+at,y1=bt,z1=2+ct，即点M(2+at,bt,2+ct)，1-2=ct由点M(x1,y1,z1(在曲面C上，得+-=1，2+b2-t2+(22a-c)t=0，2+b2-t2+(22a-c)t=0恒成立，又直线l的方向向量为=(-2,0,-4)，|=22=.44Fx,y,z=0.①过点Px0,y0,z0，法向量为=A,B,C的平面的方程；2为空间中的两个定点，F1F2=2c>0，我们将曲面Γ定义为满足PF1+PF2=2aa>c的动【解析】(1)①Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，理由如下：设平面上除Px0,y0,z0任意一点坐标为Qx,则⋅=0，即Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，又Ax0-x0+By0-y0+Cz0-z0=0，故过点Px0,y0,z0，法向量为=A,B,C的平面的方程为Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0；②平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，理由如下：由①可得Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，变形为Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0，令D=-Ax0-By0-Cz0，故平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0；+ ++ +由②可得平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0， x-DAy+z-DC x-DAy+z-DC+DB-令-=b,-令-=b,-=c，+++++x2+y+c2+z2F2=2c>0，PF1+PF2=+x2+y+c2+z2所以x2+y-c2+z2=2a-x2+y+c2+z2移项得=2a-x2+y+c2+z2+x2+y+c2+z2，两边平方得x2+y-c2+z2=4a2-4ax2++x2+y+c2+z2，=4a2+y+c2-y-c=4a2+y+c2-y-c2=4a2+4cy，故ax2+y+c2+2x2+a2-c2y2+a2z2=a2a2-c2，两边同除以a2a2-c2得，++2=a2-c2，故曲面Γ的方程为++=1b2=a2-c25=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆+=1(a>b>0)的相似椭圆.5N且OM=F2N，N=4，又点P在F1N的垂直平分线上，=PN，+PF2=PF2+PN=NF2=4>23，满足椭圆定义，∴曲线C的方程为+y2=1. 3+则离心率e 3+设Qx0QN=⋅=，又+=1⇒y=3-x，QMQN=-kQM≠±.y=k(x+3(,+y2=1,得(1+4k2(x2+83ky=k(x+3(,1+x2=,x1x2=，=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2(2-4x1x2=4(，+=5. A(x11(P=3.②直接写出d(A,B(的最小值≥d(A,B(；P(x,y(满足d(C,P(=r(r>0(，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值.则d(A,C(+d(C,B(=max{|x1-x3|,|y1-y3|{+max{|x3-x2|,|y3-y2|{≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2所以d(A,C(+d(C,B(≥max{|x1-x2|,|y1-y2|{=d(A,B(；(3)设轨迹上动点P(x,y)，则d(C,P(=max{|x-x0|,|y-y0|-x0|或--y0|，所以r=3. A(x1|+|AF2|=(3+22)2+12+(3-22)2+12=(23+6)+(23-6)=43，于是a=23,b=(23)2-(22)2=2，所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设“共轭点对”[A,B[中点B的坐标为B(x,y(，由(1)知，点A(3,1(在椭圆C：+=1上，所以直线l的方程为x+y=0.-3)，设点P(xP,yP(，Q(xQ,yQ(，则+=1+=1+ (xP-xQ)(xP+xQ)+ (yP-yQ)(yP+yQ)4=0，--=，则yP+yQ=-(xp+xQ)，有yPyQ=-xPxQ，线段PQ被直线l平分，而|B1B2|=(-3-3(2+(3+3(2=26，则有SBPBQ=26d，(x+y=m+=1消去y得4x2-6mx+3(m2-4(=0，令Δ=36m2-48(m2-4(=0，解得m=±4，即d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y=-4)的距离4=22，1在平面直角坐标系xOy中，设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),⋯,(n,0)}，Bn={(0,1),(n,1)}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),⋯⋯,(n,2)}，n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X1表示它们之间的距离.(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示).X的概率分布为P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=2)==；P(X=5)==；因为P(X≤n)=1-P(X>n)，所以只需考虑X>n的情况，①若b=d，则AB≤n，不存在X>n的取法；②若b=0，d=1，则AB=(a-c)2+1≤n2+1，所以X>n当且仅当AB=n2+1，③若b=0，d=2，则AB=(a-c)2+4≤n2+4，所以X>n当且仅当AB=n2+4，④若b=1，d=2，则AB=(a-c)2+1≤n2+1，所以X>n当且仅当AB=n2+1，综上可得当X>n，X的所有值是n2+1或n2+4，且P(X=n2+1)=，P(X=n2+4)=可得P(X≤n)=1-P(X=n2+1)-P(X= Cn+4，n2+4)=1-.22令f(t)=-tlog2t-(1-t)log2(1-t)，t∈(0,1)，则f'(t)=-log2t+log2(1-t)=log2-1(, 2 n-1(2) n-1+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，所以Pk=P2⋅2k-2==(k=2,3,⋯,n)，故Pklog2Pk=log2=-，而P1log2P1=log2=--11，于是H(ξ)=整理得H(ξ)n-1+n-1=n-1n-1n-1n-1n-n-1n-1n-1n-1n-1n-1n-2n-2++-+++-+⋯++，+⋯++令Sn=+++⋯+-11+，则Sn=+++⋯++，两式相减得Sn=+++⋯+-=1-n=2-，所以H(ξ)=-11-+Sn=-11-+2-=2-.PX=ak=xk，PY=ak=yk，xk>0，yk>0，k=1,2,⋯,n,xk=yk=1．指标D(X‖Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(X‖Y)=xkln．设X~B(n,p),0<p<1.k=k，则xk=Cpk(1-p)n-k,yk=Cqk(1-q)n-k.所以D(X‖Y)=Cpk1-pn-kln=ln⋅kCpk(1-p)n-k+nln⋅Cpk(1-p)n-k=npln+nln.(2)当n=2时，P(X=2)=p2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=0)=(1-p)2，记f(p)=D(X‖Y)=p2ln3p2+2p(1-p)ln6p(1-p)+(1-p)2ln3(1-p)2=p2lnp2+2p(1-p)ln2p(1-p)+(1-p)2ln(1-p)2+ln3，则f(p)=4plnp+2p+(2-4p)[ln2p(1-p)+1]-4(1-p)ln(1-p)-2(1-p)=2[lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2]，令g(p)=lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2，则g'(p)=+-2ln2>0，所以f'(p)在(3)令h(x(=lnx-x+1，则h'(x(=-1=，当0<x<1时，h'(x(>0，h(x(单调递增；x(<0，h(x(单调递减；所以h(x(≤h(1(=0，即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时，等号成立，1-x，xk-yk=0，则当x>0时，lnx≤x-1，所以ln1-x，xk-yk=0，故D(X‖Y)=xkln≥xk1-=(xk-yk(=当且仅当对所有的k,xk=yk时等号成立.4i4123456789数学成绩xi知识竞赛成绩yi数学成绩xi知识竞赛成绩yi5(yi-(2=149450，(xi-((yi-(=21650.*i排名的样本相关系数.==参xi2=r==≈≈0.70；r==≈≈0.70；Ri=Si=，R=S=，从而{Ri{和{Si{的平均数都是==.i-(2=R-2Ri+2=R-N2=-=N(N+1)(N-1)同理可得(Si-(2=，由于d=(Ri-Si(2=[(Ri-(-(Si-([2=(Ri-(2+(Si-(2-2(Ri-((Si-(=2⋅-2(Ri-((Si-(，所以ρ=(Ri-((Si-( (Si-(2(Ri- (Si-(2-dN(N+1)(N-1)=1-d.52,⋯,xn的随机变量，分别记作X和Y.条件概率P(Y=xj∣X=xi(,i,j=1,2,⋯,n，描述了输入信号5-p(X=xi(log2p(X=xi(.当n=2时，信道疑义度定义为H(Y∣X)=-p(X=xi,Y=xj(log2p(Y=xj∣X=xi(=-[P(X=x1,Y=x1(log2p(Y=x1∣X=x1(+P(X=x1,Y=x2(log2p(Y=x2∣X=x1(+P(X=x2,Y=x1(log2p(Y=x1∣X=x2(+P(X=x2,Y=x2(log2p(Y=x2∣X=x2([p(Y=0∣X=1(=p(0<ω<1,0<p<1).试回答以下问题：①求P(Y=0(的值；②求该信道的信道疑义度H(Y∣X(的最大值.X123456P 2 5 H(X)=-p(X=xi(log2p(X=xi(=log2=log221-ilog2i=log27+log23-log25-≈2.40.p(Y=0(=p(X=0(P(Y=0∣X=0(+p(X=1(P(Y=0∣X=1(=ω(1-p(+(1-ω(p②由题意，p(Y=0∣X=0(=p(Y=1∣X=1(=1-p.所以，H(Y∣X(=-[P(X=x1,Y=x1(log2p(Y=x1∣X=x1(+P(X=x1,Y=x2(log2p(Y=x2∣X=x1(+P(X=x2,Y=x1(log2p(Y=x1∣X=x2(+P(X=x2,Y=x2(log2p(Y=x2∣X=x2([=-[P(X=x1(p(Y=x1∣X=x1(log2p(Y=x1∣X=x1(+p(X=x1(p(Y=x2∣X=x1(log2p(Y=x2∣X=x1(+p(X=x2(p(Y=x1∣X=x2(log2p(Y=x1∣X=x2(+p(X=x2(p(Y=x2∣X=x2(log2p(Y=x2∣X=x2(=-[ω(1-p(log2(1-p(+ωplog2p+(1-ω(plog2p+(1-ω((1-p(log2(1-p([=-plog2p-(1-p(log2(1-p(;其中x1=0,x2=1.令f(p(=-plog2p-(1-p(log2(1-p(f,(p(=-log2p+p--log2(1-p(+(1-p(=-log2p+log2(1-p(=log2.f,(p)<0,f(p)max=f=1. 1=12-2=10；2=10-3=7；3=8-4=4；4=7-5=2；5=7-5=2；6=7-5=2；⋯⋯所以t2021=2.数a+1和最大数a+2，所以数组的放缩值不会改变.所以当t=2时，tn=tn=1,2,3,...恒成立；ii.当t≥3时，f1a,b,c=a+1,b+1,c-2，所以t1=b+1-a+1=b-a<c-a=t，或t1=c-2-a+1=t-3，n=tn=1,2,3,...的t的取值只能是2.故集合M={2{.k又因为4k=3+1k=3k+C3k-1+⋯+C-131+1,设fia,b,c=ai,bi,ci，i.当ai,bi,ci中有唯一最大数时,不妨设ai≤bi<ci，则ai+1=ai+1,bi+1=bi+1,ci+1=ci-2,所以i+1-ai+1=bi-ai,ci+1-ai+1=ci-ai-3,ci+1-bi+1=ci-bi-3.i-ai,ci-ai,ci-bi是3的倍数,则bi+1-ai+1,ci+1-ai+1,ci+1-bi+1也是3的倍数，所以bi+3≤ci,则ti≥3,ci+1-bi+1=ci-bi-3≥0,所以ai+1≤bi+1≤ci+1,所以ti+1=ci+1-ai+1=ci-ai-3=ti-3.ii.当ai,bi,ci中的最大数有两个时,不妨设ai<bi=ci.则ai+1=ai+2,bi+1=bi-1,ci+1=ci-1,所以i+1-ai+1=bi-ai-3,ci+1-ai+1=ci-ai-3,ci+1-bi+1=ci-bi.i-ai,ci-ai,ci-bi是3的倍数,则bi+1-ai+1,ci+1-ai+1,ci+1-bi+1也是3的倍数，所以ai+3≤bi,则ti≥3,bi+1-ai+1=bi-ai-3≥0,所以ai+1≤bi+1≤ci+1,所以ti+1=ci+1-ai+1=ci-ai-3=ti-3.综上知,当ti≥3时,数列{ti{是公差为3的等差数列.当ti=3时,由上述分析可得ti+1=0,此时ai+1=bi+1=ci+1=.所以存在k=,满足fka,b,c的放缩值tk=0. p-1,⊗;∈{0,1,⋯,p-2{，记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时，m1⊕m2(3)已知n=log(p)ab．对x∈X,k∈{1,2,⋯,p-2{，令y1=a所以ap-1,⊗=210,⊗=1.2,⊗,⋯,ap-2,⊗相异，故a≥2，记n=log(p)ab⊗c,n1=log(p)ab,n2=log(p)ac，n=pm1+b,an=pm2+c，故an+n=pm1+bpm2+c，故an+n≡bc(modp)，设n1+n2=tp-1+s,0≤s≤p-2，则n1⊕n2=s，n≡b⊗c(modp)=bc(modp),其中0≤n≤p-2，故s=n即log(p)ab⊗c=log(p)ab⊕log(p)ac.n=an,⊗+m1p，an=an,⊗+m2p，an,⊗×an,⊗=an,⊗⊗an,⊗+kp，n⋅n=an.⊗⊗an,⊗+m1an.⊗+m2an.⊗+m1m2p+kp，可知an,⊗⊗an,⊗=an⋅n,⊗.2,⊗p-2,⊗两两不同，p-1,⊗=ai,⊗,p-1-ai=aiap-1-i-1可以被p整除，于是ap-1-i-