2023年重庆市实验中学高一年级下册学期期末复习（一）数学试题（含解析答案）

2022年重庆实验中学高一（下）数学期末复习卷子（一）

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有

一项为哪一项符合题目要求的）

1.设z=-，则Z的虚部为〔）

1-2/

A.-1B.1C.-2D.2

（答案）B

（解析）

（分析）

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数z的虚部.

（详解）••・z=r^=>?因此，复数z的虚部为1.

l-2z（1一2/）（1+2，）5

应选：B.

（点睛）此题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能

力，属于根底题.

2.已知向量：=（一2,1）,%=（2,4）,"=（-4,2）,则以下结论正确的选项是（）

A.allb-al/cB.aHb，a_Lc

C.allb'bileD.«>alIe

（答案）D

（解析）

（分析）

由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果.

（详解）Qcz=（-2,1）,6=（2,4）,c=（-4,2）,则c=2a,a-^=-2x2+lx4=0>b-c=2b-a=0<

因此‘alIe'aA.b>b}_c-

应选：D.

（点睛）此题考查向量的坐标运算，涉及共线向量和向量垂直的坐标表示，考查推理能力，属于根底题.

3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的中意程度的指标，常用区间［0,10］内的一

个数来表示，该数越接近10表示中意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3,4,5,

5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数是（）

A.7B.7.5C.8D.8.5

（答案）C

（解析）

（分析）

先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.

（详解）由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，

因为75%xl0=7.5,

所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.

应选：C

（点睛）此题主要考查分位数的概念和计算，属于根底题.

4.已知复数z=a+bi（a,beR）,假设（1+出）（1—i）=bi,则目=（）

A.73B.2C.V5D.5

（答案）C

（解析）

（分析）利用复数的乘法计算Q+山）（1-7），再利用复数相等得到。力满足的方程组，从而得到复数z,

再利用公式计算其模即可.

（详解）（1+az）（l-z）=bi可化为l+a+（a-l）j=历，

1+。=0a=-\

因为dbwR,故《解得《

a-i=bb=-2'

所以z=—l-2i,故国=收

应选：C.

（点睛）此题考查复数的乘法以及复数相等的条件，此类问题属于简单题.

5.在口Z3C中，角A,B,C所对的边分别是“，b,C,已知“=2bcosC,则口Z8C的形状是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

（答案）A

（解析）

（分析）利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC,求出8与。的关系,

即可推断三角形的形状.

（详解）解：a-2hcosC,由正弦定理可知，sin/=2sin8cosc因为〃+8+C=）,

所以sin（5+C）=2sin8cosC,所以sin8cosC+cos8sinC=2sinBcosC,

即sinBcosC-cos8sinC=0

所以sin（6-C）=0,所以8-C=%r,k&Z,

因为A、B、C是三角形内角，

所以8=C.

所以口/BC是等腰三角形.

应选：A.

6.如图，元件，二例•:=光心;学通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在

M,N之间通过的概率是

A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891

（答案）B

（解析）

（详解）真题分析：电流能通过4,4的概率为89x0.9=0.81,电流能通过4的概率为09,故电流不

能通过也不能通过4的概率为（一0・81乂1-0.9）=0.019,所以电流能通过系统4,4，4的概率

为1-0.019=0.981,而电流能通过4的概率为0.9,所以电流能在M,N之间通过的概率为

（1-0.019）x0.9=0.8829,应选B.

考点：相互独立事件的概率乘法公式.

（方法点睛）此题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式.所求事件的概率与它的对立事件之间概率的

关系，表达了转化的数学思想，属于根底题.求出电流不能通过4,4也不能通过4的概率，用1减去此

概率即得到电流能通过系统4,4,4的概率，再依据电流能通过4的概率，利用相互独立事件的概率乘

法公式即可求得电流在之间通过的概率.

7.已知一组数据不，&，七，七，七的平均数是2,方差是那么另一组数据3玉一2,3X2-2,

3七一2,3X4-2,3/-2的平均数和方差分别为()

12

A.2,-B.4,3C.4,-D.2,1

33

(答案)B

(解析)

(分析)依据平均数、方差的公式计算可得；

(详解)解：x2,…，*5的平均数是2,则再+W+…+/=2x5=10.

数据3玉—2,3x,—2,3X3—2,3x4—2,3%—2的平均数是：

T=:[(3X]-2)+(3X2-2)+(3X3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)]=i[3x(x,+x,+...+x5)-10]=4,

22

所以S'?=(x[(3*-2—4>+(3X2-2-4)+...+(3X5-2-4)],

22222

=|X[(3X,-6)+...+(3X5-6)]=9X1[(X1-2)+(x2-2)+...+(x5-2)]=3.

应选：B.

8.我国古代(九章算术)中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童NBC。-EFG”有外

接球，且/8=2&，AD=2啦,EH=屈,EF<，平面N8CQ与平面跖G4间的距离为1,则

该刍童外接球的体积为

C.36兀D.48万

(答案)C

(解析)

(分析)假设。为刍童外接球的球心，连接HF,EG交于点连接交于点O2,由球的几何性

质可知O,。一。2在同一条直线上，由题意可知，平面Z8CZ),0a，平面EFG”,设

O2O=r,利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出厂的值，进而求出外接球的半径，即可求出体

积.

（详解）解：假设。为刍童外接球的球心，连接印"EG交于点0,连接力交于点。2，由球的几

何性质可知。，。一。2在同一条直线上，

由题意可知，O&1•平面488,OO］上平面EFGH,020,=1.

设O2O=r,

在改口OGQ中，OG2=OO；+0.G1,在矩形ERG4中，

EG=y/EF2+FG2=^(V15)2+(V5)2=275.

OC=；EG=SB.

0G2=00：+00=(r+l)2+(V5)2.

222

在口口OB。2中，OB=OO2+O2B,在矩形ZBCD中，

DB=dAD2+AB1=J(2可+(2府=4&-

O2B=^BD=2y/2.

22222

O5=(9<92+(92S=r+(2V2).

设外接球的半径OG=OB=R,

.•.(r+l)2+(V5)-=/+(2亚丁，解得r=l.

则OB=Jl2+(2>/2)2=3.

即火=3.

44

则该刍童外接球的体积/=一%及3=—万x3，=36万.

33

应选：C.

（点睛）此题考查几何体的外接球体积的求法，考查空间想象能力，找到球心是关键，属于中档题.

二、多项选择题（此题共4小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分）

9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为

红色"互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片不全为红色B.2张卡片恰有一张红色

C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色

（答案）BD

（解析）

（分析）此题先写出全部情况：“2张都为红色"、"2张都为绿色"、"2张都为蓝色"、"1张为红色1张

为绿色“、力张为红色1张为蓝色”、力张为绿色1张为蓝色"，再依据选项选择互斥而不对立的事件即

可.

（详解）6张卡片中一次取出2张卡片的全部情况有：“2张都为红色"、"2张都为绿色"、"2张都为蓝

色”、"1张为红色1张为绿色"、力张为红色1张为蓝色"、力张为绿色1张为蓝色"，选项中给出的

四个事件中与“2张都为红色"互斥而非对立“2张恰有一张红色"“2张都为绿色”，其中"2张至少一张为

红色"包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件.

应选：BD.

（点睛）此题考查互斥事件、对立事件，是根底题.

10.已知a,4是两个不重合的平面，m,〃是两条不重合的直线，则以下命题正确的选项是（）

A.假设mLn,mA.a,nlI/3,则

B.假设加_La,n//a,则加_L〃

C.假设a///?,mcza,则加//£

D.假设〃?〃〃，a!1/3,则加与a所成的角和〃与夕所成的角相等

（答案）BCD

（解析）

（分析）依据线面、面面关系的性质定理与判定定理推断即可；

（详解）解：对于A.假设〃?_L〃，mla,nllp,则a或a与夕平行或，a与夕相交不垂直,

故A错误；

对于B：；"//a,,设过〃的平面仅与a交于a,则〃//a,又机_La,加_La,加_L〃，二B正

确；

对于C：•.・&///，・&内的全部直线都与夕平行，且mua,;.c正确;

对于D：依据线面角的定义，可得假设m〃"，alIp,则m与a所成的角和〃与夕所成的角相等，故

D正确.

应选：BCD.

11.（多项选择题）2023年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一效劳区从七座以下小型汽车

中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速[km/h）分成六段：[60,65）,

[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如下图的频率分布直方图.以下结论正确的选项

是（）

A.这40辆小型车辆车速的众数的估量值为77.5

B.在该效劳区任意抽取一辆车，车速超过80%的概率为0.35

14

C.假设从车速在[60,70）的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70）的概率为不

D.假设从车速在[60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65）内的概率为:

（答案）ABC

（解析）

（分析）

众数的估量值为最gao的矩形的中点对应的值可推断A；用频率估量概率可推断B；在C中，由题可知,

车速在［60,65）内的车辆数为2,车速在［65,70）内的车辆数为4,运用古典概型的概率计算公式即可推断

C、D.

（详解）解：在A中，由题图可知，众数的估量值为最gao的矩形的中点对应的值笃图=77.5,A正

确；

在B中，车速超过80攵加//2的频率为0.05x5+0.02x5=0.35,用频率估量概率知B正确；

在C中，由题可知，车速在［60,65）内的车辆数为2,车速在［65,70）内的车辆数为4,

运用古典概型求概率得,

C21141

至少有一辆车的车速在［65,70）的概率为尸=1-法=1-京=京，即车速都在［60,65）内的概率为一,

151515

故C正确，D错误；

应选：ABC.

（点睛）此题主要考查概率与统计的综合，考查依据频率分布直方图估量总体的众数、频率，考查古典概

型的概率计算公式，属于根底题.

12.如图，正方体的棱长为1,动点E在线段小G上，F,河分别是45,CD的中点，

则以下结论中正确的选项是（）

A.FM与BCi所成角为45°

B.平面CG尸

C.存在点E,使得平面8EF〃平面CCQQ

D.三棱锥8-CFE的体积为定值

（答案）BD

（解析）

（分析）对A,依据线线角的求法，取尸河的平行线小G分析小G与5G所成角即可;

对B,利用平面几何方法证明8V1C方再证明BM1平面CC[F即可.

对C,依据BF与平面CG有交点判定即可.

对D,依据三棱锥B-CEF以BCF为底,且同底高不变，故体积不变判定即可.

（详解）在A中，因为£M分别是8的中点，所以FMHACHA^，依据正方体的性质可得V48G

为正三角形，故/N与8G所成角为60°,故A错误;

在B中，因为tanN8MC=空=2,tanNCED=殷=2,故N8MC=NCF。,

CMFD

7T

故LBMC+ZDCF=ZCFD+ZDCF=一.故8〃_LC产，又有BMVC.C,

2

所以平面故B正确:

在C中,3/与平面CCQQ有交点，所以不存在点E,使得平面BEFH平面CCRD,故C错误.

在D中,三棱锥8-CEE以面8C尸为底，则高是定值，所以三棱锥8-CEE的体积为定值，故D正确.

应选：BD.

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法从全部职工中抽取容量为50的样本，己知从女职工

中抽取的人数为15,那么该单位的女职工人数为.

（答案）180

（解析）

（分析）依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

15n

（详解）设该单位的女职工人数为〃，则一=——，解得“=180,即该单位的女职工人数为180.

50600

故答案为：180.

（点睛）此题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决此题的关键，比拟根底.

14.已知向量夹角为45。，且同=1,恢一同=亚，则问=

（答案）3行

（解析）

（详解）真题分析：的夹角$cos455=—b，

la-b=4-4—b*b*=10»5=，•

考点：向量的运算.

（思路点晴）平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，-一是利用数量积的定义式，二是利用数量积

的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向

量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数

量积来解决.列出方程组求解未知数.

15.某组合体如下图，上半局部是正四棱锥。-瓦6”，下半局部是长方体/BCD-EEG”.正四棱锥

P—EFGH的高为内，EF=2,AE=\,则该组合体的外表积为

（答案）20

（解析）

（分析）连接EG、FH交于点、O,连接尸O,取EF的中点加，连接、PM,计算出正四棱锥的

斜高PM,利用三角形和矩形的面积公式可求得该几何体的外表积.

（详解）连接EG、FH交于点、O,连接P。，取W的中点M,连接OM、PM,如以下图所示：

在正四棱锥P—EEG”中，PO为该四棱锥的高，则PO=G，

因为四边形EFG”是边长为2的正方形，则OE=*EF=6,PF=PE=不PCP+OE?=逐，

因为M为瓦'的中点，.•.尸A/，ER,：.PM=yjPE2-EM2=2-

1,

因为/£=1,故该几何体的外表积为S=4x-x2x2+4x2xl+22=20.

2

故答案为：20.

16.在口23。中，已知2cos2H=Y；sinZ，假设。=2百，则口48C周长的取值范围为.

23

（答案）（473,4+273]

（解析）

（分析）先由2cos20=X3sinZ化简求出/=也，再利用余弦定理可得12=〃+c2+bc，再结合根

233

本不等式可得a+b+c«4+2jj，而在三角形中有b+c〉。，从而可得结果.

（详解）解：由题意，2cos2—-l=-^-sin?l-l»即cosZ-^^sin/=—1，

233

可化为2Gsin（N-q）=3,即sin（4-7）=日，

TTTT27r

因为0<Z〈%，所以Z--=-,即4=—,

333

设口48。的内角4B,C的对边分别为

由余弦定理得12=〃+°2+bc，

因为6+/z2bc，（当且仅当6=c时取

所以12=〃+/+bc»3bc，即bcW4,

又因为12=〃+/+儿=3+，）2一儿，所以A=（b+c）2-i244,

故b+cV4,则a+b+c44+26

又因为b+c〉a,所以a+6+c〉2a=4ji，

即4G<a+b+cW4+23

故口”。周长的取值范围为（4右,4+2百1

故答案为：（4百,4+2百］

（点睛）此题考查利用余弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变换公式和根本不等式，综合性强，考查

转化能力和计算能力，属于中档题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或推演步

骤）

17.已知向量a=（1,0）,b=（-1,2）.

⑴求力+5的坐标；

II

（2）求a-b.

（答案）⑴（1,2）；⑵2VL

（解析）

（分析）（1）依据向量的数乘运算及加法运算即可得到此题答案；（2）依据向量的模的计算公式即可得

到此题答案.

（详解）⑴因为£=（1,0）,力=（—1,2）,

所以22=（2,0）；

所以2Z+Z=（2,0）+（—1,2）=（1,2）；

⑵因为Z—Z=（2,—2）,

所以«—q=^22+（-2）2=272.

（点睛）此题主要考查平面向量的线性运算以及模的计算，属根底题.

18.四边形力88是圆柱。。|的轴截面，E为底面圆周上的一点，AE=2亚,BE=4,AD=5.

⑴求证：平面为DE；

［2］求圆柱的外表积.

（答案）（1）证明见解析

(2)48万

（解析）

（分析）（1）推导出BE1AD,由此能证明1平面力DE.

（2）利用勾股定理求出从而得到底面圆的半径，由此能求出圆柱的外表积.

（小问1详解）

证明：•••四边形N8CD是圆柱的轴截面，£为底面圆周上的一点，

所以平面/BE,BEu平面48E,所以BEL4D

BEVAE,

;4Dc4E=4,/。,4£匚平面/。£,；.8£_|_平面/。后.

（小问2详解）

解：AE=2y/5,BE=4,AD=5.

AB=^（275J"+42=6,厂=曰=3,

•1•圆柱的外表积：S=2万户+2万r•/£>=2乃x9+2万x3x5=48%.

19.某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩（总分值100分，成绩均为

不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］所得到如下图的频率分布直图

（1）求图中实数。的值；

（2）假设该校高一年级共有640人，试估量该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）假设从数学成绩在40,50）与90,100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数

学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

7

（答案）⑴a=0.03；（2）544人;［3］7.

（解析）

（分析）［1］依据图中全部小矩形的面积之和等于1求解.

［2〕依据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再依据该校高一年级共有学生640人求解.

（3）由频率分布直方图得到成绩在40,50）和90,100］分数段内的人数，先列举出从数学成绩在40,50）

与90,100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生的根本领件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的

绝对值不大于10”的根本领件数，代入古典概型概率求解.

(详解)•图中全部小矩形的面积之和等于1,

10x(0.005+0.0l+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得。=0.03.

［2］依据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10x(0.005+0.01)=0.85,

:该校高一年级共有学生640人，

•••由样本估量总体的思想，可估量该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640x0.85=544人.

［3〕成绩在40,50)分数段内的人数为40x0.05=2人，分别记为/,B,

成绩在90,100］分数段内的人数为40x0.1=4人，分别记为C,D,E,F.

假设从数学成绩在40,50)与90,100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生，

则全部的根本领件有：(4B),(A,O,(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(8,D),(B,E),(5,F),

(C,D),(GE),

(C,F),(D,E),(。，F),(£,£)共15种.

如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值肯定不大于10.

如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值肯定大于10.

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件

则事件M包含的根本领件有：(4,8),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,用共7种.

7

所求概率为尸(〃)=记.

(点睛)此题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.

20.在口48c中，a2+c2-h2+ac-

(1)求cosB的值；

(2)假设cos/=；,a=8,求6以及SIHBC的值.

(答案)(1)|

(2)b=7,S0/lsc=10V3

(解析)

（分析）（1）利用余弦定理计算可得；

（2）先利用同角三角函数关系式求出角A,8的正弦值，再借助于正弦定理求出力，代入已知条件求出C

,进而求出三角形的面积.

（小问1详解）

解：由余弦定理及己知得：cos§="

（小问2详解）

解：因为A,5为三角形内角,

所以sin/=Vl-cos2A------，sin5=Vl-cos2B=YV3

a♦sin8

由正弦定理得：b=

sinA473

H—2c—15=0，解得c=5或c=-3（舍去）.

21.某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关，第三关的顺序依次闯关，假设闯关成功,分别获

得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励，游戏还规定，中选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏;

也可以选择继续闯下一关，假设有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲第一关，第二

关，第三关闯关成功的概率分别为3选手选择继续闯关的概率均为!，且各关之间闯关成功与否互不

432z

影响.

（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；

（2）求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.

（解析）

（分析）

（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件/,“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件4,

，，前两关闯关成功第三关闯关失败"为事件4,则同,却互斥，由此利用互斥事件概率加法公式能求出选

手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；

(2)该选手所得学豆总个数可能为0,5,15,35,先用相互独立事件同时发生的概率公式计算出总个数

为15和35时所对应的概率，再相加即可.

(详解)(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件4”第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件

4,“前两关闯关成功第三关闯关失败"为事件4,则4，H互斥.

R1

=-X—x]_

'"428

、113

PQ)=P(4)+P(4)=W+记=丘

所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为33.

(2)由题意得该选手所得学豆总个数可能为0,5,15,35,

31211

且“该选手所得学豆总个数为15"的概率为一x—x—x—=—,

42328

“该选手所得学豆总个数为35"的概率为士3x-1x2-x-1x1-=—1.

4232216

113

所以“该选手所得学豆总个数不少于15"的概率为一+7=7.

81616

(点睛)此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法

公式的合理运用，属于中档题.

22.如图，四棱锥P—Z8C。中，PCJ.平面48c0,ABLAD,AB//CD,

PD=AB=2AD=2CD=2,£为P8的中点.

(1)证明：平面NCE_L平面尸8C；

(2)求异面直线CE与尸。所成角的余弦值；

(3)求直线尸〃与平面4CE所成角的正弦值.

(答案)(1)证明见解析

⑵巫

5

⑶显

5

（解析）

（分析）（1）证明平面P8C,利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取R4的中点F,连接EF,证明出四边形C。庄为平行四边形，可得出CE〃。尸，可得知

异面直线CE与尸。所成角为NP。尸或其补角，计算出口尸。尸三边边长，利用余弦定理可求得结果；

（3）过点尸在平面P8C内作PGL直线CE,垂足为点G,连接NG,证明出PGL平面ZCE,可得

知直线产力与平面ZCE所成角为/P/G,计算出PG的长，可求得NPZG的正弦值，即可得解.

（小问1详解）

证明：在底面/6CQ中，AB1AD,ABHCD