甘肃省2023届高三二模理科数学试题(含答案)

2023年甘肃省第二次高考诊断考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.己知二一=i,i为虚数单位，则Z=（）

l-2i

A.—2+iB.2—iC∙2+iD.—2—i

2.已知集合A={x∣χ2_4χ≤0,χ∈z},β=∙^x∣-l<x<4∣.则ACB=（）

A.[-1,4JB.LO,4）C.{0,l,2,3,4}D.{0,1,2,3}

3.命题p：已知一条直线。及两个不同的平面α,β,若αuα,则“。_1月”是“。，尸”的充分条件;

命题q：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台.则下列为真命题的是（）

A.(-ι∕?)VqB.〃A(W)C.p∕∖qD.Tp7q)

y

4.函数y=-C,的图象大致是（）

∣3-3x∣

5.已知椭圆的方程为二+匕=1（m>0,〃>0）,离心率e=、一，则下列选项中不满足条件的为（）

mn2,,'

22222

A.-X---1^y2^—1B.-V---Fx2~—i1C.-X---Fy2-=iID.-X---1--V--=1

44282

6.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腌，阳马

居二，鳖臊居一，不易之率也.”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一

块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖腌，两者体积比为2：1,这个比率是不变的.如图所示的三

视图是一个鳖腌的三视图，则其分割前的长方体的体积为（）

A.2B.4C.12D.24

7.〃位校验码是一种由〃个“0”或“1”构成的数字传输单元，分为奇校验码和偶校验码，若一个校验码中

有奇数个I,则称其为奇校验码，如5位校验码“01101”中有3个1,该校验码为奇校验码.那么6位校验码

中的奇校验码的个数是()

A.6B.32C.64D.846

a

cost4-∖ɪ

8.若--7---------4=—，则tanα=()

(π\2

1

A.ɪB.3C.—D.-3

33

9.2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察.在科考期间，陈院士

为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”.已知某地大气压强与海平面大气

压强之比为b,〃与该地海拔高度〃（单位：米）满足关系：b=e-kh&为常数，e为自然对数的底）.若科

考队算得A地bαL,海拔8700米的B地621，则A,B两地的高度差约为（ln3≈1.1,ln2αθ.7）（）

23

A.3164米B.4350米C.5536米D.6722米

10.如图所示,边长为2的正三角形ABC中，若8。=BA+X4C(∕l∈[0,l]),AE=AC+ΛCB(2∈[0,l]),

则关于OE∙A6的说法正确的是（）

A.当X=L时，DE∙AB取到最大值

B.当2=0或1时，OE∙AB取到最小值

2

C.3Λ∈[0,l],使得。£・48=0D.VΛ∈[0,l],OEAB为定值

II.已知4，A2是双曲线/一；/=2的左、右顶点，P为双曲线上除AA2以外的任意一点，若坐标原点

。到直线PA，P&的距离分别为4，d2,则4•4的取值范围()

A.(0,1)B.(O,nC.(0,√2)D.(0,√2]

12.若α=Cos——，则以下不等式成立的是()

7

ɪ

A.2rt-i<2aB.√2a<2o^'C.2rt^l<aD.2α^i<(√2)λβα

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”

的二十大精神宣讲主题活动.为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三

个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人.已知该校高三年级共有720名学

生，则该校共有学生______人.

14.已知圆O:/+y2=4,直线l-y^x+b,在区间［—5,5］上任取一个数Z7,则圆。与直线/有公共点的

概率为.

15.我国古代数学名著《孙子算经》卷下的第26题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七

七数之剩二，问物几何？”此题所表达的数学涵义是：一个正整数，被3除余2,被5除余3,被7除余2,

这个正整数是多少？这就是举世闻名的“中国剩余定理若分别将所有被3除余2的正整数和所有被7除余

2的正整数按从小到大的顺序组成数列｛α,,｝和圾｝,并依次取出数列｛《｝和｛〃,｝的公共项组成数列｛%｝,则

；若数列｛4｝满足4=C“-20〃+2(),数歹八，的前〃项和为S“，则§2023=

1,

16.已知函数y=∕(x)满足：当-2Wx≤2时，f(x)=--x2+l,且/(x)=∕(x+4)对任意x∈R都成立,

则方程16∕(x)=4∣x∣+l的实根个数是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

△ABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,SinB=-,且______.

3

(1)求Z∖ABC的面积;

（2）若SinASinC=——，求方.

3

在①〃+。2=2,②ΛB∙8C=T这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题满分12分）

某省农科院为支持省政府改善民生，保证冬季蔬菜的市场供应举措，深入开展了反季节蔬菜的相关研究，其中

一项是冬季大棚内的昼夜温差X（C）与反季节蔬菜种子发芽数y（个）之间的关系，经过一段时间观测，获

得了下列一组数据（y值为观察值）：

温差X(℃)89101112

发芽数y（个）2324262730

（1）在所给坐标系中，根据表中数据绘制散点图，并判断y与X是否具有明显的线性相关关系（不需要说明

理由）

（2）用直线/的方程来拟合这组数据的相关关系，若直线/过散点图中的中间点（即点（10,26））,且使发

芽数的每一个观察值与直线/上对应点的纵坐标的差的平方之和最小，求出直线/的方程；

π

己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCO为平行四边形，/%，底面A8CE）,若NABC=々,PA=AB=2,

4

E,F分别为AJ¼B,AsPCD的重心.

（1）求证：所〃平面PBC

（2）当PO_LAC时，求平面PEF与平面以。所成角的正切值.

C

20.（本小题满分12分）

已知椭圆。：与+4=1(。>人>0)的长轴长为4,A,B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A,B的动点，且

ab

.._3

^MA-'iMB=一“

(1)求椭圆C的方程；

(2)若尸为直线x=4上一点，PA,PB分别与椭圆交于C,。两点.

①证明：直线CD过椭圆右焦点8；

②椭圆的左焦点为耳，求的内切圆的最大面积.

21.(本小题满分12分)

己知函数f(x)=ɪ+«Inx(a∈R).

X

(1)当α=4时，求/(x)的零点个数；

(2)若/(x+l)+e'——!一21恒成立，求实数”的值.

%+1

(二)选考题：共10分请考生在第22,23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的

题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂，多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.(本小题满分10分)［选修4-4：坐标系与参数方程］

X=-2+2CoSa

在平面直角坐标系中X。)，，曲线G的参数方程为：\(。为参数，且。£［0,4］),P为曲线G

y=2sinα

TT

上任意一点，若将点P绕坐标原点顺时针旋转标得到点。，点Q的轨迹为曲线C2.

(1)以原点O为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G的极坐标方程；

(2)已知点E(O,-1),直线6r-y-l=0与曲线G交于A，B两点，求∣R4∣+∣EB∣的值.

23.(本小题满分10分)［选修4-5：不等式选讲】

已知/(χ)=∣χ+l∣+∣l-2x∣

(1)求不等式/(x)≤3的解集；

(2)若O<b<q<α,且/(α)=3∕(b),4+/〉加eZ)恒成立，求机的最大值.

2023年甘肃省第二次高考诊断考试

理科数学试题答案及评分参考

一、选择题

1.C2.D3.B4.D5.C6.D7.B8.C9.A10.D

11.A12.A

Ii.解：可知4(一0,0)，Λ(√2,0),设P(X,y),

设kpA∖=k(k≠O,且k≠+V),则Zft4,=:，

故直线PA的方程为辰-y+√∑女=0,直线尸4的方程为X-什-√∑=0,

原点到两直线的距离分别为&=-9Zd,d,=)包=,

√17∑7^√17F

所以4-4=义斗＜四=1，当且仅当左=±1时，"=”成立，但此时两直线平行，这是不可能的，等号不

12l+k22∖k∖

能成立，故选A.

-ΓA∙Clπ2万π、叵<1,

12.可知0<一=cos—<α=cos——<cos-=-

23742

rr

22∙xln2-2：=2%xln2二1),所以当o<χ<ι时，

对于函数/(1)=一，由于广。)=------ɪ——

XXΛ^

、-

卜即2言<一<?

/'*)<0,/(X)为减函数，所以/⑴

22

11

所以2"W<2α,A正确；√LZ>2"T,B错误；2a-'>a,C错误；>(√2)æα,D错误.

故选A.

二、填空题

2√2

13.208014.-----

5

15.解：可知｛c,｝是首项为2,公差为21的等差数列，故其通项公式为C“=21〃-19,

1_J11_____1_2023

所以4=n+ι,+2024^2025'2023-4050

<√,,÷1〃+1〃+2

16.解：由题意可知函数y=∕(x)是以4为周期的偶函数,

由于16∕(x)=4∣x∣+lo∕(X)Txl+'

故原方程的实根就是函数y=/(x)的图象与函数y=！∣χ∣+J的图象的交点的横坐标,

416

11ʌ

又可知当2<x≤6时，/(X)=-Z(X-4)9+1=-WX+2x-3,

y

由，

—x+—y=一

y416I16

由图可知，当0≤x≤2时，两函数图象只有一个交点，当2≤x≤6时，两函数图象只有一个交点，又由于两

个函数均为偶函数，故两个函数图象有4个交点，所以原方程有4个根.

三、解答题

2_,2

17.解：(1)若选①片一〃+。2=2,由余弦定理得COSB=--------------,整理得QCCoSδ=l,则cos5>0,

2acJ

又sin3=J,则CoSB=13√2rπιl„1.R6

嬴丁，则S%c=ysm8=千

3r

22√2■

若选②A8∙B(j=-l<0,则COSB>0,又sin8=；,则CoSB=Jl-flI1=学，又ABBC

5

]3-∖∕2jyJ2,

=-CiccosB，得ac=-----=-----，则SAARC=—αcsinB='—

CosB4δasc28

3√2

2

aJ,则bacac则b2

(2)由正弦定理得：—+=2,

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC√24sinB3

V

b=-sinB=-.

22

18.解：（1）由于五个点明显分布在某条直线的附近，因此由散点图可以判断y与X有明显的线性相关关系.

（2）设直线的方程为y—26=MX-10）,即y=H%-10）+26,

则五个X值对应的直线∕上的纵坐标分别为一2攵+26,-k+26,Z+26,2k+26,

若设观察值与纵坐标差的平方和为D,

C∣7VI1

则力=（-2%+3）2+（—左+2）2+（左-1）2+（2%—4）2=10左2-34%+30=10k一一-

1717

所以当Z=历时。取最小值，此时直线/的方程为y=历X+9.

（3）可预测当温度差为15。C时，蔬菜种子发芽的个数约为35.

19.证明：（1）延长PE交AB于M,延长PF交C。于N,

因为E,F分别为和Z∖PCf）的重心，

PEPF_2

所以M,N分别为A8,CC的中点，且~PM~PN~3

又因为底面ABC。为平行四边形，所以MN〃BC〃EF,

又因为BCU平面PBC,EF,平面P8C,所以所〃平面PBe

解（2）（方法一）因为尸A，平面ABC。，所以ACJ

又因为PO_LAC,且PDCPA=P,所以ACJ_平面以。，所以AQ_LAC,

TC71

又因为NABC=―,所以ABAC和ZXACD均为等腰直角三角形，ZBCA=ZCAD=-.

42

又因为N为CQ的中点，所以A3LANLAP,

故如图建立空间直角坐标系，因为B4=AB=2,

易得P(O,0,2),M(1,0,0),N(0,1,0),C(1,L0),PM=(1,0,-2),PN=(0

X—2z—0

设平面PMN的一个法向量为nɪ=(x,y,z),则由々_LPA/,nx工PN,得＜

y-2z=0

令Z=L得力=(2,2,1),

又因为平面PAD的一个法向量为AC=(1,1,0),

AC

I2√2

设平面PEF与平面附。所成二面角的平面角为8,则ICOSeI=∣^∙∣

同∙∣AC∣3

如图所示二面角为锐角，所以tan。=

(方法二)过产作PQ//AD//MN,且PQ=Ar>=MN,连接N。和OQ,

取Ao的中点为“，易知N/7J.平面以。，过，作Ho_LPQ于O,

则NOLPQ,所以ZNOH为平面PEF与平面PAD所成二面角的平面角，

1√2

因为NH=-AC=J,HO=I,

22

所以在RtZXNHO中，VanZNOH=—.

20.(1)证明：由已知得：α=2,A(-2,0),6(2,0),

设M(AO,%)(/#±2),因为M在椭圆上，所以+=①

No_=3

因为=y。

XO+2⅞-2片一44

将①式代入，得4〃—户《=]2—3%，得Z?=3,所以椭圆C：土+二=L

43

,6t2

(2)①设P(4j)(rWc)),则RPA=二，，/<4：x=—y—2,同理可得氏.B=大，lpɪ%=—ʃ÷2,

6t2βt

x=-y-218/_54-2/

联立方程4

J"5.。’侍修印-27+/

54-2/I8r同理可得。(粤']

则C

27+『'27+产

7

’27-3/闻、't2-9—6/

椭圆的右焦点为E(1,0),KC=

、27+*'27+7)、3+/’3+/

27-3尸-6t18/r2-9

因为二0,

27+»3+/27+r3+r2

说明C,D,尸2三点共线，即直线CQ恒过8点.

②因为直线CO恒过K点，所以CW=4。，

设Z∖CFQ内切圆的半径为r,所以gcCFQ∙r=SGN,

即4。∙r=2c∙>0一,即4r=∣yc-γβ∣,

若内切圆的面积最大，即r最大，也就是IyC-最大，

因为直线CD的斜率不为0,设直线CD的方程为X=W+1,

22

代入~^∙+'=1得：(3/7?÷4^γ2+6mγ-9=0,

—6/71—9

可得%+%=口77,无.%=口77，

3m÷4+4

又因为IyC-yj=/(ye+%)-%%=吧：：：1(*)

令n=y∣府+1(刀≥1),(*)式化为：--^―------,

3π+11

^3n+

n

3

因为九≥1,所以当〃=1时，(*)式取最大值3,则4厂<3,r≤-,

9万

所以得到△(?耳。内切圆面积的最大值为二，当加=O时取得.

16

1144x-l

21.W：(1)当〃=4时，/(x)=±+41nx,则/'(%)=-—-+-=

XXXX

当x∈(θ,;),∕,(x)<0,函数/(x)在(0,；)上单调递减；

当xe(；,+8),f∖χ)>O,函数/(x)在(；,+(»)上单调递增，

所以/(x)而„=/(£(=4(1一ln4)<0,

又/(5)=e3-12>0,/(l)=l<0,所以存在玉∈[θ,;),”\，+8

使得/(X)=∕(Λ2)=O,即/(X)的零点个数为2∙

(2)不等式/(x+l)+e'一一L≥l即为e*+αln(x+l)≥l,

x+1

设F(X)=e"+αln(x+l),x∈(-l,+∞),则于'(x)=e*'+-^―=(丁+De+°

x+lx+l

设g(x)=(x+l)e*+ɑ,Λ∈(-1,+∞),

当α≥0时，g(x)>0,可得尸'(x)>O,则尸(X)单调递增，此时当x→-l时，F(x)→-∞,不满足题意;

当“<0时，由g'(x)=(x+2)e*>0,g(x)单调递增，设g(χ)=O有唯一的零点χ0,即(Xo+l)eλb+α=0,

当x∈(-l,/)时，g(x)<O,可得F(X)<0,R(X)单调递减；

当X∈(/,+8)时，g(x)>O,可得下'(x)>0,尸(X)单调递增，

所以bxn

F(x)min=F(x0)=e(+πln(%0+1)=e*>+cι∖w—=e+aln(-α)—ax0

a1、1

-OXQ+aln(-tz)=-a+x+aln(-α)=-α+(XO+1)—1+ci1∏(-^z)

⅞÷ιl⅞+ι0⅞+ι

If1

因为%+可得——-+

l>0,x0+l≥2——-∙(x0+l)=2,

XO+1yx0+1J

当且仅当XO=O时，等号成立,所以÷(ɪθ÷1)—1≥1,

1

所以一

—ci+(x0+l)-l+aln(-6r)≥-a+aln(α)

玉)