2023-2024学年上海市青浦区九年级上学期期末数学试卷含详解

2023学年第一学期九年级期终学业质量调研

数学试卷

（时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草

稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的

主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.下列图形中，一定相似的是（）

A两个等腰三角形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

2.已知，在Rt^ABC中，/C=90。，BC=12,AC=5,贝1]cosA的值是（）

cB

512512

A.—B.—C.—D.—

1251313

3.如图，在，ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，ZADE=ZC,则下列判断错误是（）

A

A

/?c

A.ZAED=ZBB.DEAC=BCAE

D.=T

C.ADAB^AEAC

ABC

4.下列说法中，正确的是（）

A.ci+（一〃）—0B.如果G是单位向量，那么e=l

如果同二|“，那么〃=匕

CD.如果〃非零向量，且6=-2〃，那么〃〃Z?

5.如图，在一ABC中，点。在边3C上,点E在线段AO上，点凡G在边5C上，且跖〃A3,£G〃AC,则

下列结论一定正确的是（）

A

DGDFDCBDAC

A.---=----B.——0D.-----

ABEGFDGC~DE~~DAFDEG

6.如图，二次函数丁=以2+法+,（。/0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（—1,0）,下列结论：①c=l；

@ab<0；®a-b+c=0；④当%>-1时，y>0.其中正确结论的个数是（）

二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）

7.如果色=±,那么伫2=.

b3b

8.已知线段A3=2，点尸是AB黄金分割点，且那么5P=.

9.已知向量2与单位向量e方向相同，且|a|=3,那么d=.（用向量e的式子表示）

10.如果两个相似三角形的周长的比等于1:3,那么它们的面积的比等于.

11.如果抛物线丁=_?+/«+2的对称轴是直线x=2,那么b的值等于.

12.如果点4（2,%）和点3（3,%）是抛物线丁=必+加（加常数）上的两点，那么％为•（填“>”、“=”、

13.如图，某人沿着斜坡A3方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡A3的坡比，=.

14.如果抛物线丁=依2+法+c（aw。）的顶点在x轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是.（只

需写一个）

15.如图，点G为等腰直角三角形ABC的重心，NAC8=90°,连接CG,如果AC=30，那么CG=.

G

AR

16.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB,8相交于点

O,那么sinNNOZ)的值为

17.如图，在矩形A3CD中，AB=3,AD=4,点E在边A。上，将.CDE沿直线CE翻折，点。的对应点为点

G.延长。G交边AB于点R如果5尸=1,那么OE的长为

18.规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离.如图①当/《MN>90

时，线段用0的长度是点4到线的距离；当/EGN=90。时，线段6G的长度是点鸟到线段的距离;

如图②，在ABC中，NC=90°,AC=35tanB=2,点。为边AC上一点，AD=2DC,如果点。为边

A3上一点，且点。到线段。。的距离不超过逑，设AQ的长为力那么d的取值范围为

5

图①图②

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

]

19.计算:—2sin45°+(cos30°)°+

tan600-V2

20.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、5。相交于点。，BC=2AD,0D=\.

(1)求5。的长；

(2)如果=BC=b'试用〃/表示向量OB.

3

21.如图，在中，AB=AC=5,tanC=—,/B4c的平分线AD交边5c于点。，点E在边AC上,

且EC=2AE,5石与A0相交于点尸.

A

（1）求BC的长;

（2）求所：8b的值.

22.北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥.某校九年级数学兴趣小组开

展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取8、。两点,

在8处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22。，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至。处，在。处测得点A的

仰角为37°,在。处测得地面6D到水面所的距离OE为1.2米（点8、C、。在一条直线上，BD//EF,

DE±EF,AF±EF^求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF.（精确到0.1米）（参考数据：sin22°®0.37,

cos22°«0.93,tan22°«0.40；sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75)

23.已知:如图，在中，点。、E分别在边BC、A5上，A£＞与CE相交于点尸，CD=CE,AC?=人后人台.

(1)求证：△ABDS^ACF；

(2)如果NCED=2NACF,求证：ABEF=AD-AE.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线＞=⑪2+法+1过点4（1,2）和点5（2,1）,与〉轴交于点C.

(1)求。、b的值和点。的坐标；

(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，当NPCB=NACB时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线C4上，设平移后的抛物线的顶点为点D,当△CDP

与jC4P相似时，求平移后的抛物线的表达式.

25._ABC中，，ACB=90°,AC=6,BC=8.点。、E分别在边AB、BC上，连接ED,将线段ED绕

点E按顺时针方向旋转90。得到线段EF.

A

(1)如图1,当点E与点C重合，EDLAB时，AF与ED相交于点。，求的值;

(2)如图2,如果AB=5BD,当点A、E、尸在一条直线上时，求BE长；

(3)如图3,当DA=DB,CE=2时，连接AF,求/AFE的正切值.

2023学年第一学期九年级期终学业质量调研

皿「,、忆、”■

数学试\__rx卷

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.下列图形中，一定相似的是（）

A,两个等腰三角形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形

【答案】C

【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可.

【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意.

B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；

C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；

D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；

故选C.

2.已知，在RtAABC中，NC=90。，BC=12,AC=5,贝UcosA的值是（）

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解.

【详解】解：AB=7AC2+BC2=V52+122=13

eAC5

贝UcosA=-----=—

AB13

故选C.

【点睛】本题考查勾股定理以及三角函数，解题关键是理解三角函数的定义.

3.如图，在中，点。、E分别在边AB、AC上，ZADE=ZC,则下列判断错误的是（

A.ZAED=ZBB.DEAC^BCAE

2

DE

C.ADAB=AEACD,

~BC

°ABC

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

ATyr)pAFS(r)/7\2

证明ADEs,ACB,贝iJNAED=NB,—=—=—，］胆=一,然后利用性质对各选项进行判断

ACBCABSyABC{BCJ

作答即可.

【详解】解：：NADE=NC,ZDAE=ZCAB,

:.ADEs,ACB,

ADDEAESy(

AZAED=ZB,——=——=——，-^=—，

ACBCABSNABC^BC)

：.DEAC^BCAD,ADAB=AEAC,

A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；

故选：B.

4.下列说法中，正确的是()

A.a+(-a)=0B.如果•是单位向量，那么e=l

C.如果同=W，那么a=6D.如果a非零向量，且b=-2a,那么

【答案】D

【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可.

【详解】解：A、a+(-a)=O,所以A错误，不符合题意.

B、如果e是单位向量，那么同=1,所以B错误，不符合题意.

C、如果同=忖，那么a=6,这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意.

D、如果q非零向量，且b=-2a,那么D正确，符合题意.

故选：D.

5.如图，在4ABe中，点。在边5C上，点E在线段A。上，点FG在边上，旦EF//MEG//AC,则

下列结论一定正确的是()

EFACBFDGDFDCBDAC

yV--------------B---------------

AB~EGFD~GCDE~DAFD~EG

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相似三角形对应边成

比例.根据题意得出-DEFsD/RQDEFS,DA。，再逐个判断即可.

【详解】解：A,•：EF//AB,EG//AC,

DEFs.DABQDEFS,DAC,

,EFDEEGDE

"AB-DA'AC-DA)

FFFC1

；•—=—,故A不正确，不符合题意;

ABAC

B、•：EF//AB,EG//AC,

,BF_AEGC_AE

''FD~ED,DG~ED'

故B不正确，不符合题意;

FDDG

C、VEF//AB,EG//AC,

DEFSQAB,DEFSDAC,

DFDEDFDB

.・-----=，贝nq]=，

DBDADEDA

rA7-1rA

当=时，一=—,故C不正确，不符合题意;

DEDA

D、•/EF//AB,EG//AC,

DEFs.DAB,DEFS,DAC,

BDADACAD

9FD~~ED'EG~ED

A（J

*BD_

••―二——,故D正确，符合题意;

FDEG

故选：D.

6.如图，二次函数丁=以2+法+式。彳0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（—1,0）,下列结论：①C=l：

②ab<0；©a-b+c=0；④当1>-1时，y>0.其中正确结论的个数是（）

B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】将（0,1）代入解析式，可得c=i,即可判断①，根据抛物线开口方向得。<0,利用对称轴在>轴的右侧得

Z?>0,可得<0，即可判断②;将点（TO）代入解析式可得a-b+c=0,即可判断③,观察函数图象得到x>-l

时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，即可判断④.

【详解】解：二次函数丁=奴2+桁+c（a/o）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（—1,0）,

c=1,a—b+c—Qy故①③正确；

,/根据抛物线开口方向得a<0,利用对称轴在y轴的右侧得b>0,

：.ab<0,故②正确；

观察函数图象得到X〉-1时，抛物线有部分在X轴上方，有部分在X轴下方，则y〉o或y=o或y<o,故④不

正确，

故选：C.

二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）

,„a4，a-b

7.如果——=——，那么---=.

b3b

【答案】|

【分析】本题主要考查了比例的性质，设a=4k,b=3k,将其代入土也进行计算即可.

b

a4

【详解】解：•••一=—,

b3

:.设a=4k,b=3k,

.a—b4k—3k1

"~b~^3k~3'

故答案为：—.

8.已知线段A3=2，点尸是AB的黄金分割点，且那么5P=.

【答案】-1+V?

【分析】本题考查了黄金分割，公式法解一元二次方程.熟练掌握黄金分割，公式法解一元二次方程是解题的关键.

APBP

由题意知，一=——，即3P2+23P—4=0,计算求出满足要求的解即可.

BPAB

ApBP

【详解】解：由题意知，一=——，

BPAB

AB-BPBP,

-------=—，即an3尸+23「一4=0，

BPAB

BP=-2±2^=-l+V5，

2

解得，3P=—l+J?或5尸=—1—石（舍去）,

故答案为：-1+45.

9.已知向量力与单位向量e方向相同，且|。|=3,那么a=.（用向量e式子表示）

【答案】3e

【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键.根据“单位向量是指模等于

1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答.

【详解】解：•••向量&与单位向量e方向相同，|。|=3,

d=3e,

故答案为：3e.

10.如果两个相似三角形的周长的比等于1:3,那么它们的面积的比等于.

【答案】1：9

【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是

解题关键.根据两个相似三角形的周长的比等于1:3,得到相似比为1:3,即可得到它们的面积比等于1:9.

【详解】解：：两个相似三角形的周长的比等于1:3,

•••这两个相似三角形的相似比是1:3,

，它们的面积比等于1:9.

故答案为：1：9

11.如果抛物线y=£+6x+2的对称轴是直线x=2,那么6的值等于.

【答案】-4

【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数丁=依2+灰+。（。/0）的对称轴为直线了=-五即可

解答.

【详解】解：：抛物线丁=/+法+2的对称轴是直线x=2,

:」=2,

2

解得：b=4

故答案为：—4.

12.如果点4（2,%）和点3（3,%）是抛物线y=Y+根（机常数）上的两点，那么％%•（填“>”、“=”、

【答案】<

【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x

的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增

大，在对称轴右边，y随x的增大而减小.据此即可解答.

【详解】解：；y=x?+m,

.,.抛物线对称轴为y轴，开口向上，

...当x>0时，y随x的增大而增大，

：2<3,

•1•M<%，

故答案为：<.

13.如图，某人沿着斜坡A3方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡A3的坡比，=

B

【答案】1：6

【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进的水平距

离，再根据正切的定义求解即可.

【详解】解：根据题意可得：AC=30m,CD=15m,

根据勾股定理可得：AD=siAC2-CD2=15^（m），

•••CD:AD=15:15A/3=1：有，

故答案为：1：6.

14.如果抛物线>=依2+桁+4。/0）的顶点在了轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是.（只

需写一个）

【答案】y=x2-2x+l（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，解题的关键是掌握二次函数y=a（x-左）？+"的顶点坐标为（〃,4）.

【详解】解：当。=1,顶点坐标为（1,0）时，

抛物线的表达式为：y=（x—I）?=/一2%+1,

故答案为：y=x2-2x+l（答案不唯一）.

15.如图，点G为等腰直角三角形ABC的重心，/AC8=90°,连接CG,如果AC=36，那么CG=.

【分析】本题主要考查了三角形中心的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形

的中心是三角形三条中线的的交点.延长CG交AB于点E,连接AG并延长，交BC于点、F,过点A作5C的平

行线，交AG延长线于点通过证明&ZM石之一CBE(AAS),得出DE=CE=3,AD=BC,则CD=6,再证

CG1

明，CPUsDAG,推出——=—,即可求解.

CD3

【详解】解：延长CG交A5于点E,连接AG并延长，交5C于点R过点A作的平行线，交AG延长线于

点，

；AC=3曰_ABC为等腰直角三角形，/ACfi=90°，

AB=VAC2+BC2=6，

..•点G为三角形ABC的重心，

ARCE为uWC中线，

：•AE=BE,CE=-AB=3,

2

AD//BC,

：.ND=NBCE,ZDAE=NB,

在，ZME和△CBE中，

ZD=NBCE

<ZDAE=ZB,

AE=BE

,DAE-CBE(AAS),

/.DE=CE=3,AD=BC,

：.CD=6,

AD//BC,

.CFGsDAG,

.CFCFCG1

"AD~BC~DG~2'

,CG1

••一,

CD3

解得：CG=2,

故答案为：2.

16.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点

O,那么sin/3。/）的值为.

【答案】—

5

【分析】如图，C向下2个格点，向右2个格点为E，连接CE,DE,CE〃AB,设正方形的边长为。，由勾

股定理得CE=2&o，DE=ga,CD=Aa，由CE?+,可知CDE是直角三角形，

DE

ZCED=90°,则sinNEC。=—,由C石〃AB,可得sinN3QD=sinNECD,计算求解即可.

CD

【详解】解：如图，C向下2个格点，向右2个格点为E，连接CE,DE,CE〃AB,

设正方形的边长为。，

，CE=J（2a『+（2a『=2亚a，£>£=，/+/=缶,CD=a2+（3a）2=y/lda，

：（2。『+（亿『=10a2=，

；•CE2+DE2=CD2，

；•.CDE是直角三角形，ZCED=90°,

,*/"n_DE逐

••sin/ECD-----——,

CD5

•/CE〃AB,

•••sinZBOD=sinZECD=—，

5

故答案为：且

5

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质.熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定

理，正弦，平行线的性质是解题的关键.

17.如图，在矩形A3CD中，AB=3,AD=4,点E在边上，将_CDE沿直线CE翻折，点。的对应点为点

G.延长。G交边AB于点E如果斯=1,那么OE的长为

3

【答案】一

2

【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正

确作出辅助线，构造相似三角形.过点G作肱V〃AB,MN交AD于点、M,交于点N,先得出

AF=AB-BF=2,通过证明△OMGs/VMF,得出色"=!，则空=,，根据折叠的性质得出

DM2CN2

CG=CD=3,DE=GE,ZCGE=ZCDE=90°,进而求证,则包=也=,，求出

CGCN2

3

GE=—,即可求解.

2

【详解】解：过点G作MN交AD于点、M,交BC于点、N,

:四边形A3CD为矩形，MN//AB,

四边形为矩形，

VBF=1,AB=3,

:♦AF=AB—BF=2,

•/MN//AB,

ADMGSADAF,

GM_DM

AF-AD

24

GM_1

整理得:

DM-5'

.GM1

，♦=—,

CN2

•.二COE沿直线CE翻折得到一CGE,

CG=CD=3,DE=GE,ZCGE=/CDE=90°,

/.ZMGE+ZNGC=90°,

•/ZMGE+ZMEG=90°，

/.ZNGC=ZMEG,

MEG^NGC,

.GEGM_1

”而一/一5'

即二2

32

3

解得：GE=-,

2

18.规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离.如图①当/>90

时，线段用0的长度是点4到线的距离；当/EGN=90。时，线段6G的长度是点鸟到线段MN的距离；

如图②，在中，ZC=90°,AC=35tanB=2,点。为边AC上一点，AD=2DC,如果点。为边

A3上一点，且点。到线段。。的距离不超过逑，设AQ的长为力那么d的取值范围为.

图①图②

【答案】4-175<J<6

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题目所给平面上一点到一个

图形的距离的定义.根据题意进行分类讨论：当点。到线段。C的距离为垂线段时，当点Q到线段。。的距离为

。。时.即可解答.

【详解】解：•••NC=90°,AC=3A/5.tanB=2,

•AC3r-

..nC=----=—VJ,

tan32

根据勾股定理可得：AB=y/AC2+BC2=—,

2

当点。到线段。C的距离为垂线段时，过点。作"工CD于点H,

当述时，

•/QH1CD,ZC=90°,

QH//BC,

:._AQHsqABC,

6A/5

.QH_AQ即亏_AQ

BCAB37515

F2

解得：AQ=6,

•••点Q到线段DC的距离不超过述,

5

：.d<6,

当点。到线段DC的距离为QQ时，过点。作OG，A5于点G,

当°。=述时,

,•"=35AD=2DC,

AD=2A/5,CD=y/5,

•/DG±AB,ZC=90°,

/.ZC=ZZXM=90°,

/.ZB=ZADG

**.tanZADG=tanB=2,

.AG

则r=2,

DG

设DG=x,则AG=2x,

在RtZvl。。中，根据勾股定理可得：DG2+AG2=AD2,

即X2+（2X）2=（2A/5）2,

解得：x=2,

则OG=2,AO=4,

在Rt_DQG中，根据勾股定理可得：QG=^DQ2-DG2=J-22=|75-

A2=4-1V5,

V点。到线段DC的距离不超过述，

5

综上：4—g6<d<6.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

o1

19.计算:-2sin45°+(cos30°)I-I-------------------广

tan60°—J2

【答案】0

【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数

值.先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可.

［详解】解：“1-cot30。）?2sin45°+(cos30°)°]

tan60°-\/2

=A/3-1-A/2+1+A/3+A/2

二0.

20.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、5D相交于点O,BC=2AD,OD=1.

AD

O

BC

(1)求的长；

⑵如果A8="，BC=b，试用a,方表示向量08.

21-

【答案】(1)3(2)—a—b

33

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

(1)根据得出一AOQs-coB,则变=生=工，进而得出06=2,最后根据5D=OB+OD

OBBC2

即可求解；

(2)先得出，则ZM=—,沙，进而得出。3=48+。4=。—工6,由(1)可得变=,，

22220B2

2--2

则03=—进而得出06=—D8,即可求解.

33

【小问1详解】

解："C=2AZ),

.AD1

••=J

BC2

'：AD//BC,

•••AOD^COB,

.OPAD_1

"OB-BC'

•/。。=1,

,1_1

••=一，

OB2

解得：OB=2,

BD=OB+OD=2+1=3；

【小问2详解】

解：：5。=2^£),AD//BC,BC=b>

—11-

：.AD=-BC=-b,

22

--1-

DA=—b,

2

•AB=a，

DB=AB+DA=a——b,

2

OB=—DB,

3

22(1-、21

；.OB=—DB=—\a——b=—a——b.

3312J33

3

21.如图，在中，AB=AC=5,tanC=—,NB4c的平分线A£＞交边BC于点。，点E在边AC上,

且EC=2AE,班与AD相交于点尸.

(1)求的长;

(2)求所：6歹的值.

【答案】(1)3C=8；

(2)EF,BF值为一.

3

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的

关键.

3AT)

(1)根据等腰三角形的性质得出ADIBC,BD=CD,根据tanC=—=—,可设AO=3a,CD=4a,

4CD

根据勾股定理得出AC=5a,进而求出a=1,得出A。=3,CD=4,即可得出答案；

(2)先得出二CEGs_G4D,_BEGS_BFD,根据相似三角形的性质得出三=——，再得出EC=—AC,

(JACD3

进而得出三=受=2,由BEGSBFD,得出竺=些=3,即可得出答案.

CACD3BEBG4

【小问1详解】

VAB=AC=5,A£＞平分/斜C,

ADIBC,BD=CD,

324p

在RtAACD中，tanC=——,

4CD

设AD=3a,CD-4a,

由勾股定理得：AC2AD2+CD2,即402=(34)?+(4a)2,

AC-5a—5，解得a=1,

AD=3,CD—4,

BC=BD+CD-8；

【小问2详解】

过E作石G，6c于点G,

由（l）得：ADIBC,

：.EG//AD,

:,CEGs.CAD,BEGsBFD,

,CECG

,,凝一五，

;EC=2AE,

・・.EC=-AC,

3

.CECG2

**C4-CD-3?

由LBEGS-BFD,

.BF_BD_3

••法―茄一"

•••EF-—―1,

BF3

...所：6歹的值为工.

3

22.北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥.某校九年级数学兴趣小组开

展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取8、C两点,

在8处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22。，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至。处，在。处测得点A的

仰角为37。，在。处测得地面3D到水面斯的距离。石为1.2米（点8、C、。在一条直线上，BD//EF,

DE工EF,AF±EF\求浦仓路桥顶部A到水面的距离A尸.（精确到0.1米）（参考数据：sin22°«0.37,

cos22°®0.93,tan22°®0.40；sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75）

【答案】浦仓路桥顶部A到水面的距离A尸约为15.8米.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长5。交■于点G,结合题干的条件，设CG=x米，则

BG=（x+17）米，分别在HJACG和R/LA5G中，利用锐角三角函数表示出AG的长，列出关于无的方程，算出

尤，最后利用AF=AG+FG,即可解题.

详解】解：延长3D交,于点G,如图所示：

由题意得：BGYAF,OE=GF=1.2米，BC=17米,

设CG=x米，则5G=3C+CG=（x+17）米，

在用一ACG中，由题知NACG=37°,

AG=CGtan37°«0.75%（米），

在H_ABG中，由题知NA3G=22°,

AG=BG-tan22°®0.4（x+17）（米），

.­.0.75x=0.4（x+17）,

:.AF=AG+FG=—+1.2土15.8（米），

7

答：浦仓路桥顶部A到水面的距离AF约为15.8米.

23.已知:如图，在A5C中，点。、E分别在边BC、A5上，AD与CE相交于点R,CD=CE,AC2=AE.AB.

（1）求证：△ABD^LACF；

（2）如果NCED=2NACF,求证：ABEF=AD-AE.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）先由AC?=AE.AB，NC4E=44C得到,C4ES*B4C,再根据性质可得NACE=NABC,

由CD=CF和等角的补角相等，得出NBZM=NCF4,即可求证；

ADAF

（2）由△ABZaAACF,得一=—,ZB=ZACF,ZFAC=NDAB,则有

ABAC

AFEF

ZCDF=ZCFD=2ZACF,从而证明4bsECA,可得——=——，故可证明;

ACAE

此题考查了相似三角形的性质与判定.

【小问1详解】

证明：VAC2^AEAB，

.ACAB

"AE-AC）

•/ZCAE=ZBAC,

：.CAE—BAC,

：.ZACE=ZABC,

•/CD=CF,

：.ZCDF=ZCFD,

•/ZBDA+ZFDC=180°,ZAFC+ZDFC=180°,

：.ZBDA=/CFA,

：.△ABD^AACF；

【小问2详解】

证明：由（1）得：AABD^AACF,

ADAF

—=—,ZB^ZACF,/FAC=/DAB,

ABAC

,:CD=CF,

：.ZCDF=ZCFD=2ZACF,

:/FDC=ZB+/DAB,ZCFD=ZFAC+ZACF,

：.ZFAC=ZFCA,ZB=/BAD

：.AF=FC,AD=BD,

VZAEC=ZAEC,ZEAD=ZACE,

：..EAF^,ECA,

.AF_EF

"AC~AEJ

.AD_EF

"AB~AEJ

ABEF=ADAE.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=加+法+1过点4。,2）和点5（2,1）,与y轴交于点C.

(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，当NPCB=NACB时，求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线C4上，设平移后的抛物线的顶点为点O,当△CDP

与uC4P相似时，求平移后的抛物线的表达式.

【答案】⑴a=-l,b=2,C(O,1),

(2)P(3,-2)；

2

(3)y=-(x-9)+10.

【分析】(1)由待定系数法即可求解;

(2)证明NACB=45°=NPCB,则直线CP的表达式为y=-x+L即可求解;

(3)当△CDP与qC4P相似时，证明NAPC=NCDP,得到CR4s.eD。，贝ijpc2=ACCD，即可求

解;

本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的

应用.

【小问1详解】

由题意得:

a+b+l=2a=-1

,o,।J解得:

4〃+2b+1=1b=2

当x=0时，y=l,则C(O,1),

【小问2详解】

CL=-1

由(1)得：＜

b=2

抛物线解析式为y=-x2+2x+l®,

由点3、。的坐标知，5C〃X轴,

由点A、C的坐标知,ZACB=45°=NPCB,

则直线CP的表达式为：y=-x+l@,

联立①②得：一九+1=—/+2%+1，解得：x=0（舍去）或3,

%=3时，y=-2,

则点尸（3,-2）；

【小问3详解】

由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y=x+l,

故设点£>（m,m+l）（m>0）,

由点P、。、C、A的坐标得，PC2=18>AC=O，CD=41m>

当ACDP与_C4P相似时，

VZACP=ZDCP,/CPA丰NCPD,

则ZAPC^ZCDP,

.CPAs^,CDP,

,CPAC

则n——=——，

CDPC

即PC2=ACCD，

即18=0x/〃，

解得：m=9,

则点。（9,10）,

则抛物线的表达式为：y=—（x—97+10.

25.在ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8.点。、E分别在边AB、BC上，连接ED,将线段ED绕

点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF.

图1图2图3

(1)如图1,当点E与点C重合，EDLAB时，AF与ED相交于点O,求的值；

(2)如图2,如果AB=5BD,当点A、E、尸在一条直线上时，求BE长；

(3)如图3,当DA=DB,CE=2时，连接AF，求/AFE的正切值.

3

【答案】(1)-

4

⑵*24+2M或陪24-2M；

55

⑶巴

31

【分析】(1)根据勾股定理得出人5=，402+5c2=10,根据SABc=gAC-3C=gA9CD,求出

CD=y,进而得出AD=,AC2—=不，根据旋转的性质得出〃即=90。，CD=EF=—,则

AB//CF,通过证明，AZX)sFEO,即可求解；

(2)过点D作。5c于点H,求出3"=：,进而得出。"=万二赤=9,CH=BC-BH=—,

555

8ACCE

设BE=x,则CE=8—=x,通过证明.ACESQEHD,得出一=—,求出x的值即可；

5EHDH

(3)以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G,过点D作y轴的垂线，垂足为P,过点F作y

轴的垂线，垂足为点Q,则6(6,0),4(—2,6),。(2,3),用待定系数法求出OE的函数解析式为y=：x,通