云南省2023届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试题（解析版）

2023年云南省第一次高中毕业生复习统一检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答

题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴

好条形码及填涂准考证号.

2.回答选择题时，选出每小题K答案』后，用铅笔把答题卡上对应题目的K答案Il标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它K答案】标号.回答非选择题时，将K答案X写

在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设Z=l+i,则z2-i=()

A.iB.-iC.1D.-1

K答案》A

K解析D

K祥解Il利用复数的乘法可求运算结果.

K详析员z2-i=(l+i)2-i=i,

故选：A

2.设集合A={2,3,q2-2a-3},B={θ,3},C={2,α}.若B三A,A?C{2},则a=()

A.-3B.-IC.1D.3

K答案HB

K解析』

K祥解H根据包含关系结合交集的结果可求”的值.

R详析》因为BgA,故储_2.-3=0,故或a=3,

若α=T,则A={2,3,0},C={2,T},此时A?C{2},符合；

若α=3,则A={2,3,0},C={2,3},此时AC={2,3},不符合;

故选：B

3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在

同一组的概率为()

K答案』A

K解析H

R祥解X利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应

的概率.

K详析D设“甲、乙在同一组”事件A,

教师随机分成三组，每组至少一人的分法为C；=6,

而甲、乙在同一组的分法有1，故尸(A)=2，

故选：A.

4.平面向量α与A相互垂直，已知α=(6,-8),W=5,且人与向量(1,0)的夹角是钝角，贝”=()

A.(—3,—4)B.(4,3)C.(—4,3)D.(-4,—3)

K答案XD

K解析H

6x-8y=0

R祥解》设b=(x,y),则由题意得解出方程，检验即可.

X1+y2-25

ab=Q6x-8y=0

K详析》设b=(x,y),则由题意得，即《

X2+y2=25

解得《

又因为向量夹角范围为［0,兀］，故此时夹角为锐角，舍去；

当/,=(Y,-3)时，此时c°s2c)=M0=-g<O,故此时夹角为钝角，

故选：D.

5.已知点A,B,C为椭圆。的三个顶点，若一ABC是正三角形，则。的离心率是()

√6√3

T

K答案1C

K解析》

K祥解》首先由题得到处=J^行，结合"="2+c2,即可求得e.

K详析H无论椭圆焦点位于X轴或)'轴，根据点A,8,C为椭圆O的三个顶点，

若，ABC是正三角形,则如=]容+万，即。2=3〃，即Y=3,2—2),

即有2∕=3C2,则e?=2,解得e=迈.

33

故选：C.

6.三棱锥A—JBeD中，4。_1平面8。。，BDLCD.若AB=3,BD=I,则该三棱锥体积的最大值为

()

42

A.2B.―C.1D.一

33

K答案』D

K解析D

K祥解11先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得即人平面ACD、3D，AD与AC，。。，从而

2

利用基本不等式求得SACD≤2,进而得到VA_BCD=VB_ACD≤-,由此得解.

K详析Il因为ACL平面BCD,BDU平面BCD,所以AC28。，

又BD±CD,ACCD=C,AC,COu平面ACr),所以BDl平面AC。，

因为ADU平面AC。，所以3DLAT>,

在Rt△•£>中，AB=3,BD=L则AD=<AB?-g=2√∑，

因为AC_L平面BCD,Cf)U平面BCD,所以ACLCD,

在Rtz^ACf)中，不妨设AC=a,CD=∕α>0S>0),则由AC?+。4=AfP得/+〃=&,

所以SAC°=，AeCO=，帅=∕x2M≤；(/+/)=2,

当且仅当α=8且〃+/=8,即α=∕,=2时，等号成立，

112

所以VAYe=%T8=3SA°∙BD≤5X2X1=],

所以该三棱锥体积的最大值为：2.

故选：D.

1)

7.设函数/(x),g(x)在R上的导函数存在，且/'(x)<g'(x),贝熠x∈(α,0)时()

A./(x)<g(x)B./(%)>g(%)

C./(x)+g(α)<g(x)+/S)D./(x)+g(h)<g(x)+∕(b)

K答案，C

K解析》

K祥解D对于AB,利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD,构造函数MX)=/(X)-g(%),利用

导数与函数单调性的关系证得MX)在R上单调递减，从而得以判断.

K详析11对于AB,不妨设/(x)=-2x,g(x)=l,则r(x)=-2,g'(x)=O,满足题意，

若X=Te(。,匕)，则/(x)=2>l=g(x),故A错误，

若X=O∈(α,Z?),则/(x)=O<1=g(%),故B错误；

对于CD,因为/(x),g(x)在R上的导函数存在，且r(x)<g'(%),

令MX)=f(x)-g(%)，则〃(X)=/"(X)-g〈X)<O,

所以MX)在R上单调递减，

因为x∈(α,Z?),即α<x<b,所以，

由Λ(Λ)<〃(a)得f(x)-g(x)<f(a)-^(a),则+g(α)<g(x)+f(a),故C正确；

⅛h(Z?)<Λ(x)/(⅛)-g(b)<f(x)-g(Λ-),则/(x)+g®>g(x)+/®,故D错误.

故选：C.

8.已知α,b,C满足α=log5(2"+3"),C=Iog3(5"—2"),则()

A.∣α-c∣>|z?-c|,|t7-/?|>|z>-c|B.|«-c|≥∣z>-c∣,∣ct-⅛∣≤∣^-c∣

c.∣tz-c∣≤∣z>-c∣)∣tj-z?|≥|z?-c∣D.∣tv-c∣≤∣z?—c∣,∣Λ-⅛∣≤∣∕?-c∣

(答案HB

K解析》

R祥解D构造函数/(x)=[g)+f∣j,利用其单调性，分b>l,b=l,匕<1讨论即可.

K详析Il由题意得5"—2">0,即5">2%贝∣J0<*<1,贝h>O,

㈤

令/(x)=(2]+(1],/(1)=1,根据减函数加减函数为减函数的结论知:

/(x)在R上单调递减,

<2?<3?

当力>1时，可得-+-<1,.∙,2b+3b<5h,两边同取以5为底的对数得

⑶[5

fcfcfcbbb

a=Iog5(2+3")<Iog5S=b,对2+3<5通过移项得5-2>3J

两边同取以3为底的对数得C=IOg3(5"-2")>〃，

所以c>b>α,所以-b<-a,所以c-h<c—α,且c-b>O,c-α>O,

故此时，∣α-c∣>∣6-d,故C,D选项错误,

。=2时，6z=Iog513,C=Iog321,c-b=Iog321-2=Iog3—

b-a=2-Iog513=Iog5且。一力>0,。一。>0,故A错误,

下面严格证明当匕>1时，0<b-a<c-b,

ftz,

⅛-α=⅛-log5(2+3)=log∕^η-^

c-b=l0g3(5"-2>Z?=Iog3

根据函数MX)=E[—仔]在R上单调递增，且MI)=1,

<3/k3/

<5?(2、

则当人>1时，有1<3--

1

.∙.1<—

<1，、b

TlNl/

1I7

5〃5b-2b

下面证明:----<,b>∖

2b+3hr3ft

5h5h-2h

要证:—-------<-----;—

2"+3"3b

即证:15〃<(2&+3&乂5&-2b),等价于证明4Λ+6Λ<10Λ，

bh

即证:I<1,此式开头已证明,

cbcb_Ob

对"-T<左边同除分子分母同除5"，右边分子分母同除3"得

2ft+3h36

1(2Y5(2丫

则0<〃一Q=Iog5<iog<lθg=c-b

5tr5)33Jj

故当》>1时，O<b-a<c-b,则|〃一,<|。一4

(2Y3∖b

当o<z><ι时，可得£+>1..∙,2h+3h>5h,两边同取以5为底的对数得

5/

fcz,bb

a=log5(2+3)>Iog55=b,对2"+3">5通过移项得5"-2"<3J

两边同取以3为底的对数得C=Iog3(5"-2")<。,

所以c<6<",所以-b>-a,所以c-b>c-α,且c-8<0,c-α<0,

故0<Z?—c<α-c,故此时∙，∣α-d>∣∕>-c∣,

下面严格证明当0<。<1时，c-b<b-a<O,

2r3Y

当0<匕<”寸，根据函数/(X)=+,/(1)=1,且其在R上单调递减，可知

$

、

1

[∣J+[∣J>1,则―10<7<1

<0,则(IF(I)

∕c∖x∕πλ^r

根据函数函数〃(X)=3--在R上单调递增，且MI)=1,

∖3√\3>

则当0<b<l时，0<(g)—(g)<1>

Sh5b-2b

下面证明：白下>Jj,s<i),

2h+3h3h

5h5b-2b

要证:

2h+3h>3〃

即证：15">(2"+3")(5"—2"),等价于证4〃+6〃>10”，

即证：(I)+(I)>1，此式已证明,

对左边同除分子分母同除5J右边分子分母同除3〃得

2l,+3h3〃

故0<0<l时，c-b<b-a<0,贝IJIa-W<|。一4

当b=l时,a=Iog55=l,c=Iog33=1,则Ia-Cl=I8一c∣,∣α—6=∣8-c∣,

综上∣α-c∣≥∣A-c∣,∣α—4≤∣。一c∣,

故选：B.

Rr点石成金口关键［点石成金」：本题的关键在于构造函数∕u)=f∣、x

,利用其单调性及/(D=1,

/

从而得到α4,C之间的大小关系，同时需要先求出。的范围，然后再对匕进行分类讨论.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且/(x),g(x)在(一8⑼单调递

减，贝IJ()

A.Z(∕(l))<∕(∕(2))B.f(g⑴)<f(g(2))

c∙g("l))<g(∕(2))D.g(g⑴)<g(g(2))

R答案』BD

K解析D

K祥解D由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合/(1)</(2),g(0)=O>g(l)>g(2)

逐项判断即可.

K详析》因为/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(…刈上单调递

减，

所以/(x)在［0,+8)上单调递增，g(x)在［0,+8)上单调递减，g(x)在R上单调递减，

所以/(1)<"2),g(0)=0>g⑴>g(2),

所以/(g(l))<∕(g(2)),g(∕⑴)>g(∕(2)),g(g⑴)<g(g(2)),

所以BD正确，C错误；

若∣∕(ι)∣>∣∕(2)∣,则/(/⑴)>/(/⑵)，A错误.

故选：BD

10.已知平面m,平面夕=/,B,D是/上两点，直线ABUa且ABI=B,直线CDU尸且

CDI=D.下列结论中，错误的有()

A.若ABL/,且AB=CD,则ABCQ是平行四边形

B.若M是AB中点，N是CC中点，则MN〃AC

C.若ABA-l,ACLI,则CD在α上的射影是8。

D.直线48,C。所成角的大小与二面角。一/一"的大小相等

R答案』ABD

K解析D

K祥解》由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.

R详析』对于A,由题意，AB,CO为异面直线，所以四边形ABC。为空间四边形，不能为平行四边形,

故A错误；

对于B,取BC的中点”,连接HM则“M是一ABC的中位线，所以“M//AC,

因为HM与MN相交，所以MN与4C不平行，B错误；

对于C,若ABJJ,ACJJ,所以由线面垂直的判定可得/1平面ABC,所以/,BC,

由C万结合面面垂直的性质可得3C_L二，所以点C在平面。内的投影为点。，

所以CD在平面α内的投影为8。，故C正确；

对于D,由二面角定义可得当且仅当AB，/,CD_L/时，直线A8,CO所成的角或其补角才为二面角的大

小，故D错误.

11.质点P和。在以坐标原点。为圆心，半径为1的。。上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.尸的角速

度大小为2rad∕s,起点为：O与X轴正半轴的交点；。的角速度大小为5rad∕s,起点为射线

y=—GMX≥0）与CO的交点.则当Q与P重合时，。的坐标可以为（）

2π.2万5π.5π

ACOS—,sin—B.-cos—,-sin——

9999

π.π

D.-cos—,sɪn—

99

K答案》ABD

K解析U

K祥解》确定点0的初始位置，由题意列出重合时刻，的表达式，进而可得。点的坐标，通过赋值对比选

项即可得解.

Tl

K详析》由题意，点。的初始位置。的坐标为锐角NQ∣OP=],

TrTr2〃

设「时刻两点重合，则5r-2f=g∙+2E,(keN),即，=§+7兀,(左eN),

、

此时点QcosI+5/,sinH+5Z

37

(2π.2π、

当Z=O时，βlcos—,sin—I,故A正确;

,.J.32π.32πΛ5π.5π

当Z=I时，Q∖cos-----,sin---,--即0rlQr-cos—,-sin—故B正确;

(99\99

,八[62π,62πc/兀，冗

当IZ=2时，Q[COS—^―,sin—^―,B∣Jβl-cos—,sin—,故D正确.

由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.

故选：ABD.

12.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的

天文计算.图中的AB，AC，BD，CQ都是以。为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中

N,K分别在线段OD,OB,OA上，MNLOB,KNLOB.记α=NAO5,β=AAOC,Y=NBOD,

A.sinβ=sin∕cosi?B.cosβ-cos/cos

.SinKCosrcosJ

C.sina=-------D.cosa=--------------

cosβcosβ

K答案，ACD

K解析』

K祥解》先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CMJ_OD,CKLOA,结合条件中MNLOB,

KNLOB,从而在各直角三角形中得到α,£,7,5的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可.

K详析H因为在矩形MNKC中，KNLMN,

又KNtOB,MNCOB=N,MNQBU面BOD,所以K2V，面BOD,

又0。U面Bor>,所以KNLOD,

因为在矩形肠VKC中，CMHKN,所以CM_L。。，即a0_LMO,

因为M∕V>LO5,KN±MN,KNCoB=N,KN,08U面

所以MNJ_面。43,

又在矩形MZVKC中，MN//CK,所以CK_1_面。43,

又OAU面。W,所以CKj

同时，易知在矩形政VKC中，CM=KN,CK=MN,

对于A,在RteKO中，siny0=-,

MN

在RtAMNO中，sin/=------,

OM

在RtaCMO中，COSb=

OC

,,.UMNOMMNCK.*,L

所rr以SlnyCOs3=-------------=------=------=Sin/o7,故A正确rtr；

OMOCOCOC

OK

对于B,在Rt-CKO中，COSy?=-----,

OC

ON

在RtΛMNO中，cos/=-----,

OM

又CoSB二卷,且在Rt_&VO中，OK为Rt-KTVO的斜边，则QV关OK,

,,ONOMONOK,

所rr以CoSyCos3e=-------------=≠------=cosβo,故B错误o；

OMOCOCOC

KN

对于C,在Rt_KNO中，Sina=-----,

OK

CM

在RtACMO中，Sinb=-----,

OC

CoK,、

又πcosB-----≠O,

OC

包C=也.堡=型KN

=sinα,故C正确;

CoSSOCOKOK^δκ

ON

对于D,在Rt/QVO中,COSa5F

又cos/?=等≠0,COS/=ONCoSS=也

OMOC

所以cose"洸器=器,cos*.=ONOMON

~OM~OCOC

CoSycosδ

所以CoSaCoS尸=COSycos3,即CoSa=—:-----:—,故D正确.

cosβ

故选：ACD.

Kr点石成金J》关键点L点石成金J：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CMLOD,

CKVOA,从而得到α,6,∕,5的正余弦表示，由此得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(I(X),er?).质量指标介于99至101之间的产品为良品,

为使这种产品的良品率达到95.45%,则需调整生产工艺，使得b至多为.(若X-N(4,σ∙2),

则P(IX—“<2CΓ)B0.9545)

K答案D|##0.5

K解析U

K祥解11根据题意以及正态曲线的特征可知，∣X-100∣<2b的解集A=(IOO-2b,100+2b)q(99,101),

即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解.

R详析派题可知，4=100,再根据题意以及正态曲线的特征可知，∣XT()0∣<2cr的解集Aq(99,101),

由|X—100∣<2cr可得，100-2b<X<100+2cr,

100-2σ≥99故“至多为;.

所以《,解得:σ≤Λ

100+2σ≤10122

故K答案H为：ɪ.

14.若P,Q分别是抛物线χ2=y与圆(X—3p+y2=l上的点，则IPQl的最小值为

K答案』√5-l⅛ft-l+√5

K解析H

"羊解11设点P(Xo,片)，圆心c(3,θ),∣PQ∣的最小值即为ICH的最小值减去圆的半径，求出ICH的最

小值即可得解.

R详析》依题可设P(X0,片)，圆心C(3,0),根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知,

∖PQ∖的最小值即为ICPl的最小值减去半径.

因为|"『=(/—3)2+(片一0)2=父+片-6后+9,xeR,

设,f(尢)=χ4+尤2—6%+9,

(ɪ∖2

∕,(x)=4X3+2x-6=2(x-1)(2/+2x+3)由于2%?+2x+3=21xd—+』＞O恒成立,

I2)2

所以函数/(x)在(一8,1)上递减，在(l,+∞)上递增，即启,=/(1)=5,

所以IepLn=君＞1,即IPQl的最小值为逐-L

故K答案D为：√5-l∙

22355

15.数学家祖冲之曾给出圆周率》的两个近似值:“约率”与“密率，，二X它们可用“调日法''得到：称小

'7113,

34

于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由~j∙＜兀＜］，取3为弱率，4为强率，得

4=詈=g,故%为强率，与上一次的弱率3计算得为=鲁=5，故的为强率，继续计算，…….若

某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值：若某次得到的近似值为弱率，与上

22

一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知。,“=亍，贝!!〃?=；¾=.

47

K答案』①∙6②.—

K解析D

K样解》根据题意不断计算即可解出.

th-^ττ<r-"_3_+£0_£3.ɔ头己品泵

K详析》因为“2为强率，LlJ(儿qNJ1守，Cl^——K∣J(Λ-ι√J√HΛ牛”；

131+34

3133+13_

由I<兀<1可得，«4=y＞3.1415927,即由为强率；

1+4—

,3x16〜3+16_19

rI_、<T/TI<、<__H∏JΓz1寸⅛,/a/、-——6∕>D3∙J1i4m1J57Q乙?7/,S即I〃Ja5¾13田⅛⅛.

151+5—

3193+19_22

由一<π<—可得，％=y＞3.1415927,即以为强率，所以加=6；

161+6—

3223+22_25

由一<π<—可得，a1==y=3.125<3.1415926,即%为弱率；

171+7

252225+2247

由--<兀<---可得，CL.■——,

878+715-

47

故K答案2为：6；—.

16.图为一个开关阵列，每个开关只有“开"和"关''两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻

的开关改变状态.例如，按(2,2)将导致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改变状态.如果要求只改

变（U）的状态，则需按开关的最少次数为

K答案，5

K解析H

K祥解》方法一：根据题意可知，如果要求只改变（Ll）的状态，只有在（Ll）以及周边按动开关才可以使

按开关的次数最少，利用表格即可分析求出.

K详析员方法一：根据题意可知，只有在（Ll）以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因如

下：

假设开始按动前所有开关闭合，要只改变（1,1）的状态，在按动（1,1）后，（1,2）,（2,1）也改变，

下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2,2）,但会导致周边的（2,3）,（3,2）也改变，

因此会按动开关更多的次数，所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次，

这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求.

如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)（2,2）(2,3)(3，1)(3,2)(3,3)

按动（Ll）开开关开关关关关关

按动

开关开开关开关关关

(∣,3)

按动

开关关开开关关关开

（2,3）

按动

开关关开开关开开关

(3,2)

按动

开关关关关关关关关

⑴）

方法二：

要满足题意，按动开关次数必须为奇数，且连续两次按一个方格等于无操作,

按开关顺序无影响，由对称性按表格顺序可设各方格按动次数为

abc

hde

cef

方格（1,1）改变状态的次数为奇数，其它方格改变状态的次数为偶数，

所以，

对（1,1）：α+2b为奇数;对（1,2）或（2,1）：α+b+c+d为偶数;

对（1,3）：b+c∙+e为偶数；对（2,2）：2b+2e+d为偶数；

对（2,3）或（3,2）：Ο+"+64/为偶数；对（3,3）：2e+f为偶数，

根据以上情况，为使开关次数最少，α=l,/=0,J=O,

即l+b+c为偶数，6+c+e为偶数，c+e为偶数，所以可取〃=0，e=l,即

各方格开关次数如下：

101

001

110

具体开闭状态可参照方法一，故按开关的最少次数为5.

故K答案』为：5.

Kr点石成金D本题主要考查学生运用所学知识解决知识迁移问题的综合能力，利用表格分析法简单清晰

直观.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，四边形ABCQ是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC

与BD的交点,AB^AD，440=60°.

(I)记圆柱的体积为匕，四棱锥P-ABCD的体积为匕，求3；

(2)设点F在线段AP上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角厂一CD—P的余弦值.

K答案》(1)√3π

⑵返

13

K解析D

K祥解II(I)利用平面几何的知识推得ACl80,进而得到3。=26EC与AC=4EC,从而利用柱体

与锥体的体积公式求得VP匕关于EC,PC的表达式，由此得解；

(2)根据题意建立空间直角坐标系，设ICEl=1,结合Q)中结论与(2)中所给条件得到所需向量的坐

标表示，从而求得平面FCD与平面PC。的法向量〃与相，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得

解.

R小问1详析』

因为ZABD与ZACD是底面圆弧Ao所对的圆周角，

所以NABD=NACD,

因为A6=AT>,所以在等腰Z∖ABO中，ZABD=ZADE>

所以NAJDE=NACD,

因为AC是圆柱的底面直径，所以NAr)C=90°,则NCW+NACD=90°，

所以NCW+NADE=90°,则NA£7)=90°,即ACl8。，

所以在等腰4ABO,BE=DE,AC平分4840,则NCAP=LN84。=30°,

2

所以NADE=60°，则NCr)E=30°，

故在RJCEO中，CD=2EC,DE=√3EC,则3。=2DE=2√^EC，

在RtAAGD中，AC=2CDAEC,

因为PC是圆柱的母线，所以PC_L面ABCr),

,22

所以K=π(gac)∙CP=π∙(2fC)∙PC=4π∙EC∙PC.

111-ΛJT.

V^-×-ACBDPC^-×4EC×2^rECPC=-^-EC2PC，

23263

所以J=6兀.

K小问2详析》

以C为坐标原点，CA方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,

Z八

1'

"τff

/∕v⅛

不妨设ICEl=1,则AC=4EC=4,DE=逝EC=√3，PC=4CE=4,

则C(0,0,0),A(4,0,0),0(1,60),P(0,0,4),

所以CD=(l,G,θ),CP=(0,0,4),PA=(4,0,),

因为∕¾=4",所以Pb=J尸4=(1,0,—1),

则b=CP+P∕=(0,0,4)+(1,0,-I)=(1,0,3),

∖n-CF=Qx+3z=0

设平面/CZ)的法向量〃=(x,y,z),则〈，即

[n∙CD=Qx+λ∕3y=0

令%=—3,则y=z=1,故〃=(―3,V^,1),

[m∙CP=0[4r=0

设平面尸CD的法向量加二(PMr),则＜,叫p+&=0'

[m∙CD=0

令，=-3,则4=百/=0，故机=(—3,75,0),

π

设二面角下一c。一。的平面角为。，易知o＜e＜一,

2

9+32强

所以CoSe=cos(n,m)=---------

'/∖n∖-∖m∖√9+3+l×√9+3^13

因此二面角E—CD—P的余弦值为2叵.

13

18.已知函数/(x)=Sin(C9X+。)在区间单调，其中o为正整数,I噌,且/

(1)求y=∕(χ)图像的一条对称轴；

(2)若/(£)=等，求

7)

K答案》(1)%=—

12

、π

⑵;

K解析H

R祥解II(I)由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；

(2)根据对称轴及函数值确定ox+。的表达式，再结合最小正周期确定0的可能取值，即可得解.

K小问1详析R

因为函数/(X)=sin((υx+°)在区间

所以函数/O)的最小正周期T≥2x

ɪ(冗2兀I7

所以直线x=M>TJ即X咤为y=f(χ)图象的一条对称轴;

K小问2详析』

2TT2兀

由(1)知T≥—，故0二—≤3,由①∈N*，得G=L2或3.

3T

TtTTTT

由X=—为/(x)=sin(3x+0)的一条对称轴，所以一力+0=-+kπ,k∈Z.

12122ll

因为二］二走,所以囚69+夕=q+2&2兀或工69+9="+2%兀,左2，％3eZ，

I6/263~63

TrTrSJTJΓ212

若不公+夕=§+222兀，贝IJ五。=∕+(Z∣-2左2)兀，即口=《+《(用一222)，

不存在整数勺,右，使得。=1,2或3；

,,.Tr2τt-.5τrTt/ʌ.\2]2∕rʌ\

右7①+。=ʒ-+2&兀，则1ɪɪ69=—%+（Kτ—2攵3）兀，即/=一《+-2&f），

不存在整数占,勺，使得0=1或3.当占=2勺+1时，0=2.

此时e=g+2%兀，由IeI<]，得e=].

19.记数列｛4｝的前"项和为T11,且4=l,%=Zι("≥2)∙

(1)求数列｛α,,｝的通项公式；

12n

(2)设巾为整数，且对任意〃eN*,m≥-+-++—,求机的最小值.

4a2a,,

(2)7

K解析H

K祥解》(1)由数列明与(的关系可得%+∣=2%("≥2),再结合等比数列的通项可得解;

12n

(2)利用错位相减法求出一+—++—，结合范围即可得解.

4a24

K小问1详析?

因为q=l,αlt=11(〃22),所以a?=。1=1，

当〃≥2时，an+]=Tn=Tn,l+all=Ian,故α,,=%∙2""=2""(〃22)，

且q=1不满足上式，

故数列｛4｝的通项公式为an=<

R小问2详析]

12n

设S“=一+—+--+一,贝(JH=1,

«1«2%

012n

当“≥2时，Sn=l+2∙2+3∙2-++n∙2-,

n

故:S,,=g+2∙2-∣+3∙2-2+.+n∙2'^,

2n

于是;S"=∣+(2-'+2-2++22^n)-2^'(l-2^)

“∙2~=9+-nS∙2ɔ,I-M

2l-2^,

整理可得5“=7—(〃+2)22^Λ,所以S,,<7,

又工=二>6,所以符合题设条件的，"的最小值为7.

20.一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一

小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.

(1)若N=5000,求X的数学期望；

(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=I5)最大的N的值作为N的

估计值).

K答案D(1)20(2)6666

K解析D

K祥解II(I)首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即

可得到K答案L

「15「485

(2)首先计算出当N<685时，P(X=I5)=0,当N≥685时，P(X=15)=,货黝,

记Q(N)=Gqga,计算,从而得到α(N)的单调性，最后得到其最大值.

K小问1详析］

依题意X服从超几何分布，且N=5000,M=200,n=500,

故E(X)=NX昂=500x2^=20.

n5000

K小问2详析H

当N<685时，P(X=I5)=0,

「150485

、200JN-200

当N≥685时，P(X=I5)-Q5(X)-

「15「485

、

记α(N)=200LN200则

”(N+1)_C需一200Cy

a(N)C)IC‰)

(∕V+1-5OO)(7V+1-200)

(N+1)(N+1—200—485)

(N-∙499)(N-199)

(7V+l)(7V-684)

_TV?-698N+499χl99

-—7V2-6837V-684-'

由解一698N+499×199>N2-683N-684，

499×199+684

当且仅当N<≈6665.7,

15

则可知当685≤N≤6665时，a(N+l)>a(N)i

当N≥6666时，a(N+l)<a(N),

故N=6666时∙，a(N)最大,所以N的估计值为6666.

22

21.已知双曲线C:0一1=1伍>0力>0)过点A(4√Σ,3),且焦距为10.

ab^

(1)求C的方程；

LLIGollHol

(2)己知点B(4√2,-3),D(2√2,0),E为线段AB上一点,且直线OE交C于G,"两点.证明：——=--

IʊɛIIH乜I

22

K答案，(1)—-ɪɪl

169

(2)证明见K解析》

K解析H

工祥解Il(1)根据题意列方程组求出α力,即可得出C的方程；

(2)根据。,E,",G四点共线，要证黑j=^^即证GD∙HE=GE∙OH，设出直线

IGElIHE\

DE：'=邛(x-2√2),G(X1，»),“(孙也)，E(4√∑,r)

,联立直线方程与椭圆方程得出玉+x2,X1X2,

将其4弋入GDHE—GE∙DH，计算结果为零，即证出.

R小问1详析』

ɔɔQ-------------22

由题意可得三一一7=1,2,/+/=10,故α=4,b=3,所以C的方程为工-E=L

a2h~169

R小问2详析）

设E（4√Σ"）,G（XI,力）,"（登，为），

QO-2

当x=4正时，即丝一匕υ=1,解得y=±3,则∣f∣<3,

169

3

双曲线