数值分析历届考题

03-04学年秋季学期用迭代法求解非线性方程时，可以用二分法来确定初值。把以下二阶常微分方程的初值问题化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改良Euler方法。答：令 那么，其中。 所以用改良的Euler方法表示为：，，，，。〔20分〕给出数据表x012f(x)212f’(x)-1求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。解：先求出满足函数值插值条件，i=0，1，2的二次插值多项式。ixf(x)一阶差商二阶差商102211-132211由牛顿插值公式： 令，其中A是待定常数，那么 ，由条件，代入可得： ； 所以。 其插值余项为，其中。〔20分〕给出数据表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023 用最小二乘法求拟合曲线〔保存3位小数〕。 解：对于曲线，令，，得。 把x，y的数据转换为t，z的数据〔取3位有效数字〕：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00 对于，其法方程组为： ；其中：，，，数据代入后得法方程组为；解得。所以拟合曲线为。〔15分〕确定以下求积公式的系数，，，使公式成为Guass型求积公式。解：通过待定系数法：当时，有 〔1〕当时，有 〔2〕当时，有 〔3〕由此得到一个关于未知数，，的线性方程组：；解得。〔20分〕证明：对任意参数t〔〕以下求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c：。证：令， 那么〔1〕 对作泰勒展开得： 。代入到〔1〕式中：由于 在的条件下。 即对任意参数t，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是。证明：以下求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为。证： 在的条件下将上述两式代入中，可得：由于在的条件下。所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是。05-06学年秋季学期简答题〔每题4分，共20分〕x=0.06020，y=0.0418按四舍五入得到，那么x+y，xy的绝对相对误差限，有效数字各是。答：，；，所以x+y三位有效，；，所以x/y三位有效，给三个等距节点，，，及相应函数值，试导出二阶数值导数的计算公式。答：以这三个点为节点的根本插值多项式为： ，，；求二阶导得：，；设，i=0，1，2。那么。用数值方法求解常微分方程时，怎样选择适宜的步长。答：先选取一个步长h，计算和，如果，那么将步长逐次减半，直到为止。如果对于初始步长h，就有，那么尝试将步长逐次加倍，知道满足的最大步长。〔16分〕给出数据表x123f(x)2412f’(x)3求一个3次插值多项式；并证明其余项公式为解：先求出满足函数值插值条件，i=0，1，2的二次插值多项式。ixf(x)一阶差商二阶差商1122242331283由牛顿插值公式： 令，其中A是待定常数，那么 ，由条件，代入可得： ； 所以。 由插值条件可知，是R(x)的二重零点，和是R(x)的单重零点，所以 ，其中K(x)是待定函数。 令， 当的4阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得， 所以。〔16分〕给出一组数据X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求拟合曲线。解：对于曲线，两边取对数得： 令，，，那么可得到： 把x，y的数据转换为t，z的数据〔取3位有效数字〕：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761.882.012.14 对于，其法方程组为： ；其中：，，，数据代入后得法方程组为；解得。。所以拟合曲线为。〔16分〕用龙贝格方法求以下积分，要求5位有效数字。。解：； ；； ；； 。〔16分〕对于非线性方程f(x)=0，求证：改良的牛顿迭代格式：，k=0，1，…在单根附近是至少三阶收敛的。并判别该方法对重根是几阶收敛。解：〔1〕在单根的情况下，设是的单重根。 ， 所以是的二重零点，，即该迭代格式是三阶收敛的。 〔2〕在重根的情况下，设是的m重根。〔m>1〕 那么，且，，，同理：这时： 由于m为大于1的整数，所以显然，所以在重根情况下题设迭代法线性收敛。06-07学年冬季学期插值型数值积分方法的根本原理是什么，其截断误差是什么。答：根本原理：，其中是的n次插值多项式。截断误差：写出求解非线性方程组，i=1,2,…,n一般迭代法的迭代格式和收敛条件。当，时收敛。把以下二阶常微分方程的初值问题化为一阶常微分方程组的初值问题，并写出数值求解的欧拉格式。答：令 那么，其中。 所以用欧拉形式表示为：，i=0,1,2,…,n-1。〔16分〕给出一组数据x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46 用最小二乘法求拟合曲线。解：对于曲线，两边取对数得：令，，那么可得到： 把x，y的数据转换为t，z的数据〔取3位有效数字〕：x1.001.251.501.752.00z=lny1.631.761.882.012.14 对于，其法方程组为： ；其中：，，，数据代入后得法方程组为；解得。。所以拟合曲线为。〔16分〕用任意一种方法求以下积分，要求5位有效数字。