高中数学集合专项练习（含解析）

高中数学集合精选

一.选择题（共6小题）

1.已知集合河={(》，y)ly=f(x)}，若对于任意(％,yt)eM,存在(占，y2)eM,使得

司赴+》必=0成立，则称集合加是"理想集合',给出下列集合：①M={(x,y)|y=U；

X

②M={(x,y)|y=cosx}：③Af={(x,y)|y=e*-2}：④M={(x,y)|y=/gx}.其中所有“理

想集合”的序号是()

A.①③B.②③C.②④D.③④

2.已知f(x)=|x+l|+|x+2|+....+|x+2018|+|x-l|+|x-2|+........+|x-2O18|(xe7?),

且集合〃=伍|/(/-4-2)=，(4+1)},则集合N="(a)laeM}的元素个数有()

A.无数个B.3个C.4个D.2个

3.已知集合R“={X|X=&,x„),x,.e{0,1},i=\,2,”}(〃..2).对于

A=(q,a2,....a”R“,B=也，b2..........2)eR“，定义A与8之间的距离为

d（A,B）=\ax-bx\+\a2-b2\+...\all-bn|=-b:\.若集合M满足：MR3,且任意

/=!

两元素间的距离均为2,则集合M中元素个数的最大值为（）

A.4B.5C.6D.8

4.已知非空集合A,8满足以下两个条件:（i）A,8={l,2,3,4,5,6},哨B=0：（商）

若xeA,则x+lwB.则有序集合对（A,8）的个数为（）

A.12B.13C.14D.15

5.设集合A={(x,y)号耨X-2)?+Vm2},B={{x,y)\2n&+y2机+1},若4]”0,

则实数机的取值范围是()

A.[；,2+V2]B.[2-V2,2+721C.口+事，+«>)D.0

6.已知集合4={(取)|1娜50,啜)50,seN,t&N}.若3=且对任意的(a,b)w3,

（x,y）e3,均有（4-x）（6-y）,,0,则集合3中元素个数的最大值为（）

A.25B.49C.75D.99

二.填空题（共10小题）

7.集合A,8满足久,8={1,2,3,4,5,6,7,8},$8=0,若A,3中的元素个

数分别不是A,3中的元素，则满足条件的集合A的个数为—.(用数字作答)

8.已知集合4=[f,/+1J[t+4,Z+9J,O^A,存在正数几，使得对任意aeA,都有A,

则f的值是—.

9.已知q,a2,4与4，瓦，4是6个不同的实数，若关于x的方程

|尤-q|+|x—4|+|x—4l=|x-/J+|x—4|+|》-々|解集A是有限集，则集合A中，最

多有一个元素.

10.设6,P2,P、..&是平面直角坐标系中的一个正八边形，点月的坐标为(玉，y,)(z=l,

2....8),集合A={y|存在ie{l,2.....8},使得y=yj,则集合A的元素个数可能

为—(写出所有可能的值)

11.若集合A={x|x2-(a+2)x+2-〃<0,xeZ}中有且只有一个元素，则正实数a的取值

范围是—

12.已知集合/={(无>)|/+丫2,,11,若实数2,〃满足：对任意的(x,y)eM,均有

则称(九〃)是集合〃的“可行数对”.以下集合中，不存在“可行数对”的

是-.

①{(4〃)"+〃=1}；②.(4〃)9+§=J；③匹/西一人2)；©

{(Z〃)|/l2=4〃}.

13.已知集合4={*|工=2%-1,keN*],B={x[x=Sk-S,keN*},从集合A中取出机

个不同元素，其和记为S;从集合8中取出〃个不同元素，其和记为T.若S+T,,967,则

"2+2〃的最大值为.

14.已知集合”={幻1082。-3),,0},N={x\y=y/2x-l}f则集合为.

15.若集合A={1,2,3},则其真子集有个.

16.己知集合A={1,2},^={x|(x2+OJC)(X2+ax+2)=0},记集合A中元素的个数为〃(A),

定义皿A,B)=["(A)-〃(B),〃(A)..〃(B),若皿A,B)=1,则正实数a的值是.

三.解答题(共24小题)

17.设及是不小于3的正整数，集合S,,={(4，a2,a„)|a,€{0,1},i=\,2,

n],对于集合S“中任意两个元素A=(q,a2,a„),B=电,b2,....b„).

定乂1:AtB=n—(]at—bf\+\a-,—b21+…+1a”—bn|).

定义2：若4B=0,则称A=(q,a,,...»a“),B=电,b2,...»〃,)互为相反兀素，

记作4=8，或3=耳.

(I)若〃=3,A=(0,1,0),B=(l,1,0),试写出％,B,以及A.3的值；

(II)若A,BwS",证明：A»B+A>B-n；

(UI)设人是小于”的正奇数，至少含有两个元素的集合Mi5.，且对于集合M中任意两

个不相同的元素4=(《，a2,...»an),B=S],b27...»b“),都有A.3="-A,试求集

合M中元素个数的所有可能值.

18.己知全集为实数集R,集合A={x|y=GT+VT工},B={x|log2x>l}.

(1)求人门打，9队1A；

(2)已知集合C={x[l<x<a},若CqA,求实数a的取值范围.

19.设集合A={x|V+4x=0},B={x\x2+2(a+\)x+a2-\=0}

(1)若A0|B=B,求实数a的值；(2)若=求实数a的值.

20.已知集合A={x[融*128},B={y[y=log,x,xe[-,32].

48

(1)若C={x|加+啜/2w-l},Cc(A<B),求实数m的取值范围.

(2)若。={x|x>6〃?+l},且(4-B)fD=0,求实数机的取值范围.

21.已知函数/(、)=—=的定义域为集合A,函数g(x)=(%(-啜k0)的值域为集合8,

VX-12

U=R.

(1)求B；(2)若。={划磅/2^-1).ftCo求实数。的取值范围.

22.已知集合A={x|»->1,xeR},B={x\x2-2x-m<0}.

x+\

(I)当m=3时，求；(H)若ACB={x|-l<x<4},求实数机的值.

23.设集合M=0,1),集合4={(N，x2,x3,...»x„,i=\,2...,n],

集合4中满足条件“阅不|+|吃1+…+1%|m”的元素个数记为S：.

m+l+,

(1)求S；和5；的值；(2)当〃?时，求证：S；)<3"+2-2".

24.已知等差数列{4}的公差de(0,如，数列电}满足2=sin(a“)，集合

S={x|x=2，〃eN*}.

(1)若q=0,4=等，求集合S；(2)若4=|-求d使得集合S恰好有两个元素；

(3)若集合S恰好有三个元素：b,l+T=b„,7是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

25.已知非空集合M满足Mq{0,1,2,〃}(〃..2,〃eN+).若存在非负整数艘七,〃)，

使得当aeM时，均有2%-aeM,则称集合M具有性质P.设具有性质尸的集合M的

个数为了(“).

(1)求/(2)的值；(2)求〃〃)的表达式.

26.已知函数/(x)=V^二^+/g(x+l)的定义域为集合A,函数g(x)=/g(f-2x+a)的定义

域为集合8.

(I)当。=一8时，求A「'B；(II)若4。a8={工|-1<%,3},求。的值.

27.已知集合A=+x-2<0},B={x|x2+2mx+m2-1<0}.

(1)若@4)，B=0,求实数m的取值范围；

(2)若集合A[8中仅有一个整数元素，求8.

28.在集合A={1,2,3,4,2〃}中，任取利(%”,m,"eN")个元素构成集合.若

4的所有元素之和为偶数，则称"为A的偶子集，其个数记为了(〃?)；若、的所有元

素之和为奇数，则称二为A的奇子集，其个数记为g(〃i).令尸Q")=/(m)-g(〃z).

(1)当〃=2时，求P(1),F(2),F(3)的值；(2)求尸(利).

29.已知全集。=/?,集合A={x|f+3x-4,,0),B={x|/n-lMm+\]

(1)若加=1,求@B)「A；(2)若BqA,求机的取值范围

30.设集合8是集合A,,={1,2,3,……,3n-2,3n-\,3〃},的子集.记3中

所有元素的和为S(规定：3为空集时，5=0).若S为3的整数倍，则称3为4”的“和

谐子集”.求:

(1)集合A的“和谐子集”的个数；(2)集合4的“和谐子集”的个数.

31.设集合A={x|-掇k2},B={x\m-\<x<2m+\].

(1)若BuA,求实数机的取值范围；

(2)设实数集为A,若中只有一个整数-2,求实数，"的取值范围.

32.已知集合4=&|(犬-2〃?)。-2〃7+2),,0},其中帆wR,集合8={x|二」,,0}.

x+2

(1)若%=1,求4、，8；(2)若4nB=A,求实数机的取值范围.

33.已知集合A={x|f-2x-8„0},8=[耳±|<0卜U=R.

(1)求A^B；(2)求@A)P|8；

(3)如果非空集合C={x|/n-l<x<2〃z+l},且41c=0,求的取值范围.

34.设函数/(x)=52,-32的定义域为集合A,集合8={》*+依-6<0}.

(1)若。=-5,求A「8；(2)若3走8,且-2走3,求(瘵4)「(涉).

35.已知集合A={xeR|ox?—3x+2=0,aeR].

(1)若A是空集，求。的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求。的值，并把这个元素写出来.

36.已知集合A={x||2x-l|<3},B={x\xl-(a+2)x+2a,,0}.

(1)若a=l,求4[B；(2)若AB=A,求实数a的取值范围.

37.已知全集。=△，A={x[g<2'<4},8={x|log3%,2}.

(I)求A(]B；(II)求的(AB).

38.已知集合4={x|2x-4<0},B={x|0<x<5},全集U=R,求：

(1)AfB；(2)©A"9.

39.设全集是实数集A,A=｛x|g麴k3｝,8=*|/+”0｝.

（1）当a=Y时，求和AB；（2）若（54）「|8=8,求实数。的取值范围.

40.设集合卬由满足下列两个条件的数列｛6｝构成：

①“"+《+2<4田；②存在实数M,使（〃为正整数）

（I）在只有5项的有限数列｛4｝、伯,｝中，其中4=1,生=2,%=3，4=4,a5=5；

伪=1,2=4,打=5,%=4,2=1,试判断数列｛4｝、｛2｝是否为集合W中的元素；

（II）设｛。』是等差数列，S”是其前〃项和，。3=4,53=18,证明数列｛S〃｝eW；并写出

M的取值范围；

（III）设数列｛4JcW,且对满足条件的常数存在正整数3使4=M.

求证：4+[>d—>4+3•

高中数学集合精选解析

参考答案与试题解析

一.选择题(共6小题)

1.已知集合用={。，y)\y=f(x)},若对于任意(%,凹)£加，存在(％,y2)eM,使得

“男+乂%=°成立，则称集合M是''理想集合给出下列集合：①M={(x,y)|y=1}；

X

②/={(x,y)|y=cosx}：③用={(x,y)|y=e、-2}：④知={(x,y)|y=3}.其中所有“理

想集合”的序号是()

A.①③B.②③C.②④D.③④

【分析】对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可.

对于②，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；

对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误：

对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义.

【解答】解：①丫:,是以x,y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90。，

X

在同一支上，任意(X],yJeM,不存在(七，y2)eM,满足好集合的定义；

对任意(％,,在另一支上也不存在(%，,使得+乂为=。成立，

所以不满足理想集合的定义，不是理想集合.

②在函数丫=85丫上存在点(0,1)、4，0),满足士々+x、2=0成立，

满足“理想集合的”，满足条件；

③仞={(x,y)|y=e*-2},如图在曲线上两点构成的直角始存在，

例如取〃(0,-1),N(/〃2,0),

-3-2-1UA1/23x

满足理想集合的定义，所以正确.-3

@M={(x,y)|y=/gx},如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互

相垂直，所以不是理想集合.

【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的

思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题.

2.已知f(x)=|x+l|+|x+2|+...+|x+2018|+|x-l|+|x-2|+....+|x-2018|(XG/?),

且集合M={a|/d-a—2)=/(a+l)},则集合N={/(a)的元素个数有()

A.无数个B.3个C.4个D.2个

【分析】先判断函数f(x)奇偶性，由/(a2-a-2)=/(a+l)进而|/_〃一2|=|4+1|解得a,

另外当1]时/(x)=4074342,联立)][[:+二"；？1得到a的范围，根据/(a)

的解析式可以得到/(a)的个数，从而得到结果.

【解答】解：•.•函数

/(x)=|x-2018|+|x-2017|+...+|x-l|+|x+l|+...+|x+2017|+|x+2018|,

/(-%)=|-%-2018|+|-^-2017|+...+|-%-1|+|-%+1|+...+|-%+2017|

+1—x+20181=|x—20181+1x—20171+...+1x—11+1x+11+…+|X+20171+1x+20181=f(x),

即函数/(X)是偶函数，

当1]时，7(x)=4074342；

当xe[-2,-1]时，/(x)=-2x+2(3+4+...+2018)=-2%+4074336

若/(/-4-2)=/伍+1),

则/—a-2=a+1①，或a。—〃—2=-(a+1)②；(1"力“之③

-1加+11

由①得—2。—3=(。+1)(。—3)=0,

即3—1)(。-3)=0,解得〃=一1或〃=3；

由②得片-1=0,解得4=1或。=一1；

由③得：上巫领b匕叵

22

综上a=1或：--"3领h-~或a=3；

22

又/(1)=4074342,

当-啜h上手时/(a)=4074342

当口叵”“<]时%)=_为+4074336,有无数个

2

f(3)=4+5+...+2021+2+1+0+1+....+2015=4074348

:.f(a)的值有无数个.

故选：A.

【点评】本题考查了函数性质，方程与不等式的解法，集合的性质，考查了推理与计算能力，

属于难题.

3.已知集合R“={X|X=(为，x2,x„)»Xje{0,1},z=l,2,,〃}(〃..2).对于

A=g,a2,a,”R“,8=(々，b2.....b“)eR”,定义A与3之间的距离为

"(A,B)=|q-仇|+|%-仇|+...|a„-bn|=^|af-bt|.

/=1

若集合M满足：M三R,,且任意两元素间的距离均为2,则集合M中元素个数的最大值为

()

A.4B.5C.6D.8

【分析】由集合的子集得：鸟中含有8个元素，

先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的

点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，

即M=[(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)1或"=1(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)卜得解.

【解答】解：由〃元子集个数得：/中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，

已知集合用中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点,

所以(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)1或

(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,I,1)

故集合M中元素个数最大值为4.

故选：A.

【点评】本题考查了集合的子集及阅读能力，属难度较大的题型.

4.已知非空集合A,3满足以下两个条件

(i)A(jB={l,2,3,4,5,6),4「'B=0；

(ii)若xwA,贝Ux+leB.

则有序集合对(A8)的个数为()

A.12B.13C.14D.15

【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出.

【解答】解：由题意分类讨论可得：若人={1},则8={2,3,4,5,6}；若4={1},则8={2,

3,4,5,6}；若4={2},贝=3,4,5,6)；若4={3},则8={1,2,4,5,6)；

若4={4},则8={1,2,3,5,6}；若4={5},则8={2,3,4,1,6}；若A={6},

则8={2,3,4,5,1}；

若人={1,3},则8={2,4,5,6}；若4={1,4),则8={2,3,5,6}；若4={1,5},

则8={2,3,4,6)；

若4={2,4},则8={1,3,5,6)；若4={2,5},则8={1,3,4,6)；

若&={3,5},则8={1,2,4,6)；

若人={1,3,5},则8={2,4,6).

综上可得：有序集合对(48)的个数为12.

故选：A.

【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

5.设集合A={(x,y)号张口-2)2>},B={(x,y)|2底!k+y2/n+l},若早)8/0,

则实数机的取值范围是()

A.[-,2+V2]B.[2-0,2+72]C.[1+—,+8)D.0

22

【分析】求出使集合A非空的机的范围，再由得圆(X-2)2+/,,/(切。0)与

x+y=2〃?或x+y=2,"+l有交点，利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系求解.

【解答】解：由题意，A*0,则/…?，.■.名,()或，〃.」；

22

显然

要使Br0,只需圆(x-2y+y2,,小(机工0)与犬+丫=2m或x+y=2m+l有交点，

\2-2m\

BnPn—&—,,I〃/1或-—,,I加I，

.•.2-每版2+&或1一变融？1+—,

22

又,图，0或m.2,2+72.

22

当〃2=0时，(2,0)不在晦山+y1内.

综上，实数机的取值范围是七，2+及].

故选：A.

【点评】本题考查交集及其运算，考查数学转化思想方法，是中档题.

6.已知集合A={(sj)|掇水50,啜:50,seN,rwN}.若BqA,且对任意的(a,b)w8,

(x,)，)eB,均有(a-x)g-y),,0,则集合8中元素个数的最大值为()

A.25B.49C.75D.99

【分析】由题意，集合3中任取两个元素，需满足横坐标之差与纵坐标差的乘积小于0,或

横坐标相等纵坐标不等，或横坐标不等而纵坐标相等.由此可得集合8中元素个数的最

大值.

【解答】解：根据题意，A={(s,f)|l轰650,蹶)50,s《N,teN}.B^A,将A、B

中的元素看成点，其坐标为(s,r),

若对任意的(a,b)e8,(x,y)e8,均有(a-x)(b-y)„0,即(a-x)(b一y)<0或匕=丫或〃=*,

①,全部都属于集合{(1,50),(2,49),……(50,1)},其中元素最多有50个；

②，全部都属于集合{(1,1),(2,2)......(50,50)),其中元素最多有50个.

而(25,25)在①②两种情况中重复，

集合8中的元素最多有50+50-1=99个.

故选：D.

【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是

中档题.

二.填空题（共10小题）

7.集合A,B满足山8={1,2,3,4,5,6,7,8},Ap）B=0,若A,8中的元素个

数分别不是A,B中的元素，则满足条件的集合4的个数为44.（用数字作答）

【分析】分别就集合A中含有0,I,2,3,4,5,6,7,8个元素逐一分析，求和后得答

案.

【解答】解：如果A=0,那么8不在5中，由于=2,3,4,5,6,7,8）,与

题意不符，

如果A中有一个元素，那么1不在A中,A={2},{3},{4},⑸，{6},{7},{8},

当4={2},⑶，{4},⑸，⑹，{8},时,，3中要有7个元素，必含有元素7,与题意不

符，

.-.A={7},B={1,2,3,4,5,6,8}；

若A中有2个元素，那么2不在A中，6在A中，从1,3,4,5,8中任取一个共6中取法；

若A中有3个元素，那么3不在A中，5在A中，从1,2,4,6,7,8中任取2个元素共C：=15

种取法；

若A中有4个元素，那么4不在A中，4也不在3中，与A[,B={1,2,3,…，8}矛盾；

若A中有5个元素，那么5不在A中，3在A中，从1,2,4,6,7,8中任取4个元素共C：=15

种取法；

若A中有6个元素，那么6不在A中，2在A中，从1,3,4,5,7,8中任取5个元素共=6

种取法；

若A中有7个元素，那么7不在A中，3在A中，从1,2,4,5,6,8中任取6个元素共

1种取法；

若A中有8个元素，那么8不在A中，该种情况不存在.

综上，满足条件的所有不同的集合A的个数为44个.

故答案为：44.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键，属

难题.

8.已知集合4=上，z+1],jk+4,t+9],OcA,存在正数/I,使得对任意awA,都有。wA,

则f的值是1或-3.

【分析】，＞0时，当。=f时，一,,1+9;当。=，+9时:2=/(/+9)；当a=1+1时，一..1+4,

aa

当a=，+4FI寸，A=(r+l)(r+4),从而《f+9)=«+l)Q+4),解得，=1；当l+lvOvr+4

时，当aw|7,1+1]时，则一£上，Z+1].当〃£,+4,『+9],当〃=/时，一,,r+1,当

aa

2J

a=，+l时，一../,即4=/Q+l),当a=，+4时，一,,f+9,当a=f+9时，4=Q+4)Q+9),

aa

从而W+l)=Q+4)(r+9),解得r=-3.当£+9v0时,无解.

【解答】解：当，＞0时，当1+1]时，则4£上+4,t+9],

a

当ae[f+4,f+9]时，则2《上，r+1],

a

即当。=/时，—„z+9；当a=f+9时，—,即；l=，Q+9)；

aa

1J?

当a=f+l时，—..r+4,当a=f+4时，一,,，+l,即4=Q+l)Q+4),

aa

••.fQ+9)=Q+l)(l+4),解得f=l.

当，+lv0v，+4时，当E+l]时，则f+l].

a

2

当a£[r+4,r+9],则，£上+4,r+9],

a

即当。=/时，—„z+l,当a=r+l时，—,.t,即4=/(r+l),

aa

夕J?

即当a=，+4时，一,,，+9,当a=f+9时，一.J+4,即几=«+4)(1+9),

aa

.•/Q+l)=«+4)Q+9),解得,=_3.

综上，f的值为1或-3.

故答案为：1或-3.

【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查

运算求解能力，是难题.

9.已知4,勺，的与4，瓦，A是6个不同的实数，若关于x的方程

|%-4|+|%-%|+|%-々31=1%-41+*-仇1+1%-4I解集A是有限集，则集合A中,最

多有1个元素.

【分析】由题意，可将关于X的方程|%—4|+|人一。21+1工一。3Rx-41+1人一921+“—”3I解

的个数问题转化为/(X)=|X—Q||+|X-%|+|工一。3I，g(X)=l=|x-伪1+1工一〃21+1%-&।两

个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨

论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程

解的个数

【解答】解：令/0)=|工一4|+|%一%|+|工一生|,g(x)=Hx-乙|+|%一人1+1]—4I，

将关于X的方程|+|X-4|+|x-。31=1%-41+1%-伪1+1%-匕3I解的个数的问题转化为

两个函数图象交点个数的问题

不妨令q<的<%<，<b2<b3,

3x-a1一〃2—。3，X>。3

x-a-a+%,。2<x</

由于/(X)=|不一《|+|x-。21+1元一。3l=<}2

-x-a}+4+%，4<x<a2

-3x+a}+4+。3，工<4

3x-b}-b2-b3,x>b3

x-b}-b2+b3,b2<x<by

g{x)=\=\x-bx\+\x-b2\^\x-b31=«

-x-h[+%+<x<h2

-3x+&+b2+4,x<4

考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率

对应相等，两条线段的斜率对应相等.

当4，4，〃3的和与4，〃2，々的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设

中方程的解集是有限集矛盾

不妨令q,a2,生的和小于4，b?,4的和即4+外+4<4+2+4，

—4—a、—q>—b、—b2—4，

两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边/(x)=|x—4|+|%一%1+以-%1的射

线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能.

不妨认为左边f(x)=lx-al\+\x-a2\+\x-a31的射线端点在上，右边射线端点一定在下，

且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：

故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，

故答案为：］

Rx)

【点评】本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化

化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题

10.设P2,P3,凡是平面直角坐标系中的一个正八边形，点"的坐标为（七，y）（i=l,

2,8）,集合A=｛y|存在,2,8｝,使得y=yj,则集合A的元素个数可能

为4或5或8（写出所有可能的值）

【分析】分类讨论可得：①如果46//X轴时，②如果R6//X轴时，③如果与X轴不

平行时，可得集合A的元素个数.

【解答】解：如图所示，

①如果斗鸟//x轴时，可得集合4=｛乂，为，丫4，%｝，此时A的元素个数为4.

②如果《巴//x轴时，可得集合4=｛乂，丫?，为，丫…%｝，此时A的元素个数为5.

③如果［g与x轴不平行时，可得集合人=｛丫］,y2,y?,y4,y5,y6,y?,%｝，此时A

的元素个数为8.

综上可得：集合A的元素个数可能为4或5或8.

故答案为：4或5或8.

【点评】本题考查了集合元素、正八边形、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

11.若集合A={x|x2-(a+2)x+2-〃<0,xeZ}中有且只有一个元素，则正实数a的取值

【分析】因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但

此题行不通；应该把此不等式等价转化为/(x)<g(x)的形式，然后数形结合来解答，需要

注意的是尽可能让其中一个函数不含参数.

【解答】解：/-3+2)》+2-〃<0且a>0

x2-2x+2<a(x+1)

令/(x)=x2-2x+2；g(x)=a(x+1)

A={x"(x)<g(x),xeZ}

.•.y=/(x)是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；

而y=g(x)一次函数，图象是过一定点(-1,0)的动直线-

又.xeZ,a>0.数形结合，可得：

23

故答案为：(-,-]

23

【点评】此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参

数取值范围问题.

12.已知集合知=｛*,〉），+优,1｝,若实数％,〃满足：对任意的（x,y）eM,均有

则称（九〃）是集合"的“可行数对”.以下集合中，不存在“可行数对”的

是②③.

①｛（九〃）"+〃=1｝；②.（九〃）*+；=＞；③｛（%〃）|矛-〃2=2｝；④

｛（4〃）心4〃｝.

【分析】此题主要分析出“可行数对”的含义，得出万+4,,1.

【解答】解：由题意知，石2+M2y2融2+〃2],时=｛（4〃）|万+〃2,,1｝表示一个圆及圆

内的点集；

①表示一条直线；②表示一个椭圆；③表示一条双曲线；④表示一条抛物线.

问题转化为判断圆与选项表示的曲线有交点，

具体如下：①中直线与〃所表示的圆有两个交点；②中椭圆与此圆无交点；③中双曲线与

此圆无交点；④中抛物线与此圆有两个交点，所以②③符合题意.

故答案为：②③.

【点评】本题以集合的形式来考查圆与直线、椭圆、双曲线、抛物线有无交点问题.难点：

如何正确把握2和〃的数量关系.

本题的易错点是能否从已知条件“可行数对”中抽象概括出不等式万+〃2,,1,对选顼做逐

一判断即可.

13.已知集合4=｛x|x=2A-l,kwN*）,B=｛x\x=8k-S,keN*｝,从集合A中取出m

个不同元素，其和记为S；从集合3中取出〃个不同元素，其和记为7\若S+7；,967,则

m+2n的最大值为45.

【分析】利用等差数列的前〃项和将S,T分别表示出来，代入不等式，再用基本不等式可

得.

【解答】解：要使m+2〃的值最大，即使S+T,,967时，加在一起的项数最多，应使相加的

项最小.

将集合A,8元素分别按从小到大顺序排列，则集合A为以1为首相，以2为公差的等差

数列，故s=l+(2〃?-l)一二一2,

2

同理，7=()+(8.—8)〃=4〃2_4,

2

967..S+T=nr+4n2-4n,

2

/.968廊2+(2/?-l)2(一+2〃7y,

2

.,.m+2〃-1,,44,

厂.机+2几,45.

故填：45.

【点评】本题考查了等差数列的前〃项公式、基本不等式、集合元素的性质等知识，属于中

档题.

14.已知集合加={》|1082(彳一3),,0},N={x|y=ViI=7},则集合为_弓_:_4]_.

【分析】根据题意，分析可得集合V、N,由交集的定义计算可得答案.

【解答】解：根据题意,集合M={x|log2(尤-3),,0}=(3,4],

.____7

N={x\y=>j2x-1]=[-,+oo),

7

则=4],

故答案为：4，4],

2

【点评】本题考查集合交集的计算，关键是求出集合V、N.

15.若集合A={1,2,3},则其真子集有7个.

【分析】根据集合元素个数和真子集的关系即可判断.

【解答】解：集合A含有3个元素，

其真子集的个数为2?-1=7个.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查集合关系的判断，含有n个元素子集个数为2"个，真子集的公式为2小，

比较基础.

16.已知集合4={1,2}>B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}，记集合A中元素的个数为"(A),

定义皿4,8)=〃⑶-〃(A),〃(A)<〃⑻'右皿AB)=1，则正头数”的值是一2近一

【分析】根据A={1,2),B={x|(x2+ox)(x2+ar+2)=0},且加(A,8)=1,可知集合5要

么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|/+依+1|=1的根的个数进行讨论，

即可求得。的所有可能值，进而可得结论.

【解答】解：由于，+6)，+5+2)=0等价于

x2+ax=0©^4x2+or+2=0②，

又由A={1,2},且皿A,B)=1,

，集合5要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1。集合3是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，

/.67=0；

2。集合5是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

即已，

[«2-8=0

解得a=±2\/21

综上所述a=0或a=±2&,

a>0,a=2&,

故答案为2夜.

【点评】此题是中档题.考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理

解与应用.

三.解答题(共24小题)

17.设w是不小于3的正整数，集合S“={(4，a2)...»a„)|a,e{0,1},i=\,2,

n],对于集合S“中任意两个元素A=(q,a2,a„),8=(4，b2,b„).

定乂1:48=〃—(|4—〃|+1a?—a|+…+1a”—dI).

定义2：若4B=0,则称A=(q,a2,%),8=(々，b2,〃,)互为相反元素，

记作4=8，或3=,.

(I)若〃=3,A=(0,1,0),B=(l,1,0),试写出％,B,以及A.3的值；

(H)若A,BeSn,证明：A»B+A^B=n；

(III)设％是小于”的正奇数，至少含有两个元素的集合MgS“，且对于集合M中任意两

个不相同的元素A=(q,a2,a„),B=(4，b2,bn),都有-48=〃-%,试求集

合M中元素个数的所有可能值.

【分析】(I)根据相反元素的定义进行计算即可

(II)根据相反元素的定义分别计算出A.8和A.B,进行计算即可

(III)根据根据相反元素的定义结合条件48=〃-无，利用反证法进行证明求解即可

【解答】解：(I)A=(1,0,1),B=(0,0,1),43=2............(3分)

(H)设A=(q,a,»an),B=(b、,b2»...»或)，A=(玉,々,…,％),

由a；,bt,X/e{0,1),z=1,2,n,可得z=1,2,,n

所以14一占|+3-%|+…+|a“-x“|„n,

当且仅当Ia,-x,|=1,i=\,2,n,即x,.=l-4，z=1,2,…，〃时上式“="成立

由题意可知A»A=n-(|a,-%)|+1a2-x21+...+1an-x„|)=0

即I4一百1+1/-x?|+…+|a“一怎|=〃

所以%=1-4,z=1,2,...,

+A・8=2〃-f||4-bt1+Kl-aJ-^|]=2n-^(|l-^|+|0-^|)=2〃-£(1-2+bJ=2〃-〃=〃.............................................

i=l；=1；=1

(8分)

(III)解法1：假设4=(%,a?，…，a”)，B=也,b29...,勿),C=(q,c2,...,cn)

为集合M中的三个不相同的元素.

贝UA»B=〃一(Iq—4I+1生一4I+…+1〃〃一〃"I)=〃一%

即14—4I+1a2—%I+…+1a”—勿1=%

又由题意可知I4一〃|=0或1,i=l,2,川q-仇I，&一〃21，…，1。〃一21恰有％个

1,与，一个0

设其中4个等于1的项依次为-瓦1,1。皿-九|,…-左个等于0的项依次为

由题意可知A»C=〃_(|%_q|+1/-QI+•••+］。”_。〃I)=〃_女

所以Zu%一%/+El%-%l=^>同理Zl%-q11+slb-J,l=k

/=1j=k+li=lj=k+\

c

所以(A%-„„1+EI每一I)+(>%一c“l+£|bm)-cm,I)=2k

/=1j=k+\i=lj=k+l

即Z(l5I+1%-q“,I)+fI%-%1+X\bn.,-c,“，I=2k

z=lj=k+\j=k+\

ab

因为Ia，w_超,1=1,„,-n,,l=---=la,,,_bmi|=1

由(2)可知之(|4-Cgl+I%-Jl)”

/=1

因为IR…=1"，，，「％」=°

所以El%-%1=E也，一CmJ

j=A+1j=k+l

设XI%-%1=t,也,-C,“,l=p,由题意可知夕eN

j=k+ij=k+\

所以％+2p=2Z,得k=2p与k为奇数矛盾

所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素

/\

当M={1,1,…,1,0,0”..,。，(0,0,…,0}时符合题意

、攵小〃一上个>

所以集合M中元素的个数只可能是2............................