2023版高考数学一轮总复习12-2推理与证明习题

12.2推理与证明

基础篇固本夯基

考点一合情推理与演绎推理

1.（2021预测押题密卷I卷,3）在华罗庚等著的《数学小丛书》中，有一个重要的正弦函数的

不等式TNg‘…z""Wsin"L"L"",若四边形ABCD的四个内角为A,B,C,D,则

nn

SingntinC+sin"的最大值为（）

4

A.1B.√3C.-D.-

22

答案A

2.（2021河南商丘、新乡部分高中3月联考,4）命题：

①若2a=3b=6,则H=1；

②若20=3b=36,则2⅛

③若2n=3b=216,则⅛⅛

ab2

类比命题①,②,③,可得命题“若m"=r?=t（m,n均为大于1的整数），则，其中t=（）

abκ

A.mknB.mnk

C.kmnD.（mn）k

答案D

3.（2019课标I文,4,5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足

底的长度之比是与（军仁0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此

外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是空.若某人满足上述两个黄

金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

ʌ.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B

4.(2022届安徽六安一中月考三,7)观察算

式：1®1,1®2,2®1,1®3,2®2,3®1,1®4,2®3,3®2,4®1,.......,则式子3®5是第

项()

Λ.22B.23

C.24D.25

答案C

5.(2022届黑龙江佳木斯第一中学调研四,8)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图

3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,第七个叠放的图形中小正

方体木块的总数是()

图1图2图3

Λ.66B.91C.107D.120

答案B

6.(2020课标∏,12,5分)07周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a∣a?…a”…满足

ai∈{0,1}(i=l,2,…)，且存在正整数叫使得ajg=a,(i=l,2,…)成立,则称其为OT周期序列,

并称满足ait=ai(i=l,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的OT序列

aja2∙∙∙an∙∙∙,C(k)=i∑aiai+k(k=l,2,…,mT)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序

mi=l

列中,满足C(k)WXk=I,2,3,4)的序列是()

ə

A.11010-B.IlOll-

C.10001-D.11001-

答案C

7.(2021山西考前适应性测试，14)观察下列各式:

ιi-22-ι

1+2Crl2,

1国也当，

中利争火岑,

2

1也聿衿铝q=⅞1∙

照此规律,当nGN*时,1+洌+必+•••+5/=.

8.（2022届四川内江第六中学9月月考，14）若等差数列｛aj的前n项和为S1,,则S如一产（2nT）a“.

由类比推理可得:在等比数列｛bn｝中，若其前n项的积为P...则P2,,,=.

答案或T

9.（2021呼和浩特一模，15）sir√30°+sin290o+sin2150o=j,sin280+sin2680+sin21280=|.

通过观察上述两等式的共同规律,请你写出一个一般性的命

题.

答案sin2ɑ+sin"（ɑ+60°）+sin2（ɑ+120o）=∣（答案不唯一）

考点二直接证明与间接证明

1.（2022届黑龙江大庆肇州联考,4）用反证法证明命题：“若a2+b2+c2+d2=0,则a,b,c,d都为

0”.下列假设中正确的是（）

ʌ.假设a,b,c,d都不为0

B.假设a,b,c,d至多有一个为0

C.假设a,b,c,d不都为0

D.假设a,b,c,d至少有两个为0

答案C

2.（2021银川一中模拟，6）设x、y、z>0,a=x《b=y+[c=z+1则a、b、C三数（）

yzx

A.都小于2

B.至少有一个不大于2

C.都大于2

D.至少有一个不小于2

答案D

3.（2021河南洛阳期中，2）用反证法证明命题：”设a,b,c为实数,满足a+b+c是无理数，则

a,b,c至少有一个是无理数”时,假设正确的是（）

Λ.假设a,b,c都是有理数

3

B.假设a,b,c至少有一个是有理数

C.假设a,b,c不都是无理数

D.假设a,b,c至少有一个不是无理数

答案A

4.(2022届四川石室中学10月月考,12)设实数a,b满足5a+llb=18ζ7"+9b=15b,则a,b的大小

关系为()

A.a<bB.a=b

C.a>bD.无法比较

答案A

5.(2020北京,21,15分)已知｛%｝是无穷数列.给出两个性质:

①对于｛aj中任意两项a,a(i>j),在｛a,,｝中都存在一项a”,使得

ijaJ

②对于｛an｝中任意一项a,,(n>3),在｛a,,｝中都存在两项ak,a,(k>l),使得a,,4

ai

(1)若a,,=n(n=l,2,…)，判断数列｛aj是否满足性质①,说明理由；

⑵若a.,=2"T(n=l,2,…)，判断数列｛an｝是否同时满足性质①和性质②,说明理由;

(3)若｛aj是递增数歹山且同时满足性质①和性质②,证明：｛aj为等比数列.

解析⑴若a,,=n(n=l,2,…)，则数列｛a,,｝不满足性质①,可以举反例验证.驾导N*,在数

列｛aj中不能找到一项an(m∈N∙),使得an=∣.

1

(2)若alt=2"(n=l,2,…)，则数列｛an｝能同时满足性质①和性质②.

对于｛an｝中任意两项ai,aj(i>j),

"(2'T)262i-2

,令即可，

a~,j.im=2i-j

所以对于EJ中任意两项ai,%(i>j),在｛aj中存在一项a<m=2i-j),使得孑见,故满足性质

①.

对于｛a“｝中任意一项a“=2"1下面寻求｛an｝中另外两项ak,al(k>l),使得a“且,即

2n,-^,1∕2-22k^'^',即n=2k-l,可令l=∏-2,k=n-l(n≥3),

则此时an=2"'=第凄,故满足性质②.

故数列｛4｝能同时满足性质①和性质②.

4

(3)证明：(i)当产3时，由性质②可知存在两项a,a,使a^(k>l),又因为｛a)是递增数列，

k13町n

所以a3>ak>al,即3>k>l,所以k=2,1=1,此时总a3,满足a1,a2,国为等比数列,即n=3时命题成

立.

(ii)假设n=k(k∈N*,k23)时,命题成立，即｛aj是以q―为公比的各项为正数的等比数列，

由性质①,可取数列中的两项ak,ak,1,则数列中存在一项a-ɪɪ∙ak,所以a=qak,

ak-∖ak-∖

下面用反证法证明当n=k+l时命题也成立，即ara=ak.1.

假设a,≠a,因为｛4｝是递增数列，所以a=-^-=qa>a.,即有a<a<qa,

k1mm%kk1kk+1k

klk

则alq<ak,,<a,q,由性质②,“可以表示为名(s>t),即ak,,=⅛>as>al,所以k+l>s>t,符合条件，

虫的

sll

所以as=a1q,at=a1q

k2slk

所以迄a∣q-τ,所以alq-'<a1q^^'<a,q,

所以k-l<2s-t-l<k,而k,s,t∈N*,所以不存在这样的一组数k,S,t,所以¾=⅛,,即n=k+l时，

命题也成立.

由(i)(ii)可知，ω是等比数列.

考点三数学归纳法

1.(2022届江西靖安中学月考四,6)用数学归纳法证明“1+*+…+4<n(n∈N*)”时，由假设

23Δn-∖

n=k(k>l,k∈N,)不等式成立,推证到n=k+l不等式成立时，不等式左边应增加的项数是()

A.2A^1B.2li-lC.2kD.2k+l

答案C

2.(2021江西宜春联考，14)用数学归纳法证明

(n+l)(n+2).........(n+n)=2n•1•3•5............(2n-l)的过程中，由k到k+1时,右边应增加的

因式是.

答案2(2k+l)

3.(2019浙江,20,15分)设等差数列｛九｝的前n项和为Sn,包=4,a1=S3.数列｛bπ｝满足:对每个

n∈N',S,,+bn,Sn+1÷bn,S^+b”成等比数歹U.

⑴求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式;

(2)记cn=jɪ,n∈N*,iiEH∣:c1+c2+∙∙∙+cn<2√½,n∈N*.

5

解析(1)设数列{aj的公差为d,由题意得a,+2d=4,a,+3d=3al+3d,解得al=0,d=2.

-2-

从而an=2n2,n∈N*.所以Sn-nn,n∈N*.

由Sn+bn,SMbSmb”成等比数列得

2

(Sntl+bn)=(Sn+bn)(Snt2+bn).

2

解得bll=y除-SnSn+2).所以bn=∏+∏,∏∈N*.

⑵证明勺阳蒜=后,心二

用数学归纳法证明.

①当n=l时,cl=0<2,不等式成立；

②假设n=k(k∈N*)时不等式成立，即c,+c2+∙∙∙+ck<2√A,那么，当n=kH

时,即当

5+C2+∙∙∙+cll+Ck.K26+L+1",n<2√⅛+l∑<2√Λ+7=⅛7==2√I+2(√ΓΠ^-√I)≈2√⅛TT,

,MkA+l)∖κ^∆)∖A+1VA+1+vÆ

n=k+l时不等式也成立.

根据①和②,得不等式cJC2+・・・+c<2爪对任意n∈N*成立.

一题多解⑵G=昌离=届，nGN*∙

用数学归纳法证明.

①当n=l时，c1=0<2,不等式成立；

②假设n=k(k∈N*)时不等式成立，即c1+c2+c3+∙∙∙+ck<2√A,

那么，当时，只需证明即证

n=k+lc1+c2+∙∙∙÷ck+cku<2√A+1,2√A+Γʌλ<2√⅛+1,

即证fππ⅛77<2(√⅛+T-√⅛)=7^-n-

yj(A+l)(k+2)√A+H√A

因为(k+l)(k+2)>k(k+l),所以X.^7=<^7f=-7=.所以雇+P即当

-∖∣(⅛t-l)(A+2)√⅛+l√⅛+l√A+1+√Aʌ((⅛÷1)(A+2)√A+1+√ZA

n=k+l时，不等式也成立.根据①和②,知不等式c∣+cz+…+cll<2√}j对任意n∈N*成立.

综合篇知能转换

考法归纳推理与类比推理的应用

1.（2021安徽六安第一中学月考,9）分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代

创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法为：

第一次操作是先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶

点的三角形）；第二次操作是在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”；第三次

6

操作是……按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”

图形（如图所示），按上述操作6次后，“谢尔宾斯基”图形中的小三角形的个数为（）

A.3'B.35C.36D.37

答案C

2.（2021云南师大附中适应性考试,9）“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方

法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、

午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字

开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉、

甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…共60个组合,周而复始，

循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2021年是“干支纪年法”中的

（）

A.庚子年B.辛丑年C.乙亥年D.戊戌年

答案B

3.（2022届吉林调研一,3）对于下列数阵:

-1

4-9

16-2536

-4964-81100

它的第12行所有数的和为（）

A.-870B.870C.3081D.-3081

答案B

4.（2021黑龙江齐齐哈尔一模，16）将正整数排成如下数阵:

1

234

56789

10111213141516

7

用a”表示第i行第j列的数,若aij=2020,则i+j的值为.

答案129

5.（2022届河南期中联考，16）某项测试有30道必答题，甲和乙参加该测试,分别用数列｛aj

和｛b,,｝记录他们的成绩.若第k题甲答对,则ak=2,若第k题甲答错,则为=-1;若第k题乙答对，

贝IJbk=2,若第k题乙答错，贝IJbk-l.已知alb,+a2b2+∙∙→a30b30=75,且只有1题甲和乙均答错，则

甲至少答对道题.

答案22

6.（2022届河北邯郸大名一中11月月考，16）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种

几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现.如图所

示,在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,

例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中，从第二行右边的1开始按“锯

齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，则在该数列中,第33

项是.

-1

,2∖1

13-31

141

15—101051

答案153

创新篇守正出奇

创新真假推理型题目的解法

1.（2022届新疆克拉玛依检测三,8）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、

御、书、数,简称“六艺”，某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、

乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的

最后角逐.规定:每场知识竞赛前三名的得分分别为a,b,c（a>b>c）且a,b,c∈M;选手最后得

分为各场得分之和，在六场比赛后，己知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分,且乙

在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是

A.乙有四场比赛获得第三名

B.每场比赛第一名得分a为4

C.甲可能有一场比赛获得第二名

D.丙可能有一场比赛获得第一名

8

答案ʌ

2.（2019课标∏文,5,5分）在“一带一路”知识测