2022-2023学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x∣-1≤X<2},B=(x∖x>0},则集合4nB=()

A.(-∞,2)B.[-l,+∞)C.(0,2)D.[-1,2)

2.在复平面内，复数Z对应的点的坐标是(a,1),且满足(l-i)∙z=2,则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是()

A.y=ɪB.y=—x3C.y=x∖x∖D.丫=Iogvc

4.若a<b<0,c>d>0,则一定有()

A.≡>⅞B.D∙那

cacajd；C

5.已知二项式(X+65的展开式中1的系数是10,则实数a=()

A.-1B.1C.-2D.2

6.若Sin(Tr-a)=-∣,cosa>0,则tcma=()

3344

CD

-----

A.4433

7.在平面直角坐标系XOy中，角α与角3均以OX为始边，则“角α与角0的终边关于y轴对称”

是usina=sinβn的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适

当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到

小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中

从顶部下落，则小球落入D区的路线数有()

力BTCTDTETFTG

图2

C.20D.22

9.设抛物线C：y2=2pχ(p>o)的焦点为F,准线为，.斜率为四的直线经过焦点F,交抛物

线C于点4交准线I于点B(4B在X轴的两侧).若∣4B∣=6,则抛物线的方程为()

A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x

10.已知向量落石,二满足I五I=Y∑,IBI=1,位,％)=%(c—a)∙(c—b)=0»则Iml的

最大值是()

A.√2-lB.与iC.等D.√2+l

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.已知数列｛αn｝中，α1=2,αn+1-2an=0(n∈∕V*),则数列｛αn｝的通项公式为.

12.己知双曲线3一1=1的焦点为a,F2,点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为

;若IPFll=4,则∣PF2∣=.

13.在AABC中，a=8,c=7,cosA=—ɪ,贝IJb=,NC=.

14.若直线y=kx+2与圆(X-I)2+y2=α有公共点，贝IJa的最小值为.

15.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为α,O是底面△力BC的中心，用一个平行于底面的

2

平面截三棱锥，分别交PA,PB,PCPA1,B1,CI点(不与顶点P,A,B,C重合).

给出下列四个结论：

①三棱锥。-AlBlCI为正三棱锥；

②三棱锥P-ABC的高为学a；

③三棱锥。-ABlG的体积既有最大值，又有最小值；

④当缪=I时，铝a=/

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

已知函数/^(x)=√5sin23x-cos23x(0<3<2),再从条件①、条件②、条件③中选择一

个作为已知，

(I)求f(x)的解析式；

(∏)当xe[0,自时，关于X的不等式/(x)≤τn恒成立，求实数m的取值范围.

条件①：函数/'(X)的图象经过点©,2)；

条件贰：函数f(x)的图象可由函数g(x)=2s讥2x的图象平移得到；

条件③：函数/'(X)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为宏

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

17.(本小题13.0分)

不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘

锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使

用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄

温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者最关注的两个指标“不沾性、耐磨性”

检测结果的数据如下：

检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性

1品牌1I级I级

2品牌2II级I级

3品牌3I级I级

4品牌4II级II级

5品牌5I级I级

6品牌6II级I级

7品牌7I级I级

8品牌8I级I级

9品牌9II级II级

10品牌10R级II级

11品牌11II级II级

12品牌12II级II级

(用I级代表性能优秀，∏级代表性能较好)

(I)从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能

都是I级的概率；

(∏)从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设X为性能都是I级的品牌个数，求随机变量

X的分布列和数学期望；

(In)从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设Y为性能都是I级的品牌个数，比较随机变

量X和随机变量y的数学期望的大小(结论不要求证明).

18.(本小题14.0分)

如图，在多面体力BCBIG中，侧面ABBIal为矩形，。4_L平面ABB14,CCl_L平面ABC,

AA1=AC=4,CC1=2,AB=3.

(I)求证：CCl〃平面4BB14；

(∏)求直线4G与平面ABC1所成角的正弦值；

(III)求直线4祖到平面ZBG的距离.

Ai

19.(本小题15.0分)

已知椭圆C：盘+A=l(α>b>0)过点(2,0),且离心率是争

(I)求椭圆C的方程和短轴长；

(∏)已知点P(1,0),直线1过点(0,3)且与椭圆C有两个不同的交点4B,问：是否存在直线

使得aPAB是以点P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线，的方程；若不存在，说明理由.

20.(本小题15.0分)

已知函数/(x)=ex+me~x+(m—I)x,m<0.

(I)当Tn=0时,求曲线y=f(%)在点(0,f(0))处的切线方程;

(∏)讨论函数f(x)的单调性；

(In)当一e≤m<-l时，证明：对任意的尤∈(0,+8),/(x)≥-2恒成立.

21.(本小题15.0分)

已知数列{an}满足：ɑi∈N*,α1≤24,且c⅛+ι=(∏=1,2,…).记集合M=

(kZUn-Z4∙,UnhIZ

{αjl∣n∈N*}.

(I)若%=2,写出集合M的所有元素；

(∏)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

(Iil)求集合M的元素个数的最大值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解:V½=(χ∣-1≤X<2},B=(x∖x>0],

∙∙AΓ∖B={x∣0<%<2}=(0,2),

故选：C.

根据交集的定义直接写出4∩B即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：•・,复数Z对应的点的坐标是(α,l),

ʌz=ɑ+i,

又•・•(1-i)∙z=2,

2

•'・Q+i=-—：=1+i,

IT

故Q=1；

故选：A.

利用复数的几何意义写出Z=α+i,再利用复数代数形式的乘除运算化简即可求a∙

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：y=；在定义域{x∣XH0}不单调，不符合题意；

了=-炉为奇函数且在定义域R上单调递减，符合题意；

y=χ∣χ∣=俨2,产°在定义域R上单调递增，不符合题意；

y=Iogp为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：B.

由已知结合基本初等函数的奇偶性及单调性分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由于：c>d>0,

K1J：ɪ>ɪ>0,

dc

又：a<b<0,

所以：—a>—b>0,

故：一^>一2>0,

dc

所以：ʒd<-c,

故选：D.

直接利用不等式的基本性质求出结果.

本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题

型.

5.【答案】B

【解析】解：二项式(x+》5的展开式中的通项公式为图+]=Cj∙αr∙χ5-2r,

令5—2r=—1,可得r=3,故工的系数是牖∙a，=10,故α=1,

X0

故选：B.

先求出二项式展开式的通项公式，再令X的幕指数等于-1,求得r的值，即可求得展开式中的工的

X

系数，从而求得α的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：TSin(Tr-■α)=Sina=-g,cosa>0,

__________3

ʌcosa=AZl-sin2α=?

则tcma==—ɔ

cosa3

故选：D.

由题意，利用诱导公式求得S讥a的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得CoSa的值，可得Ccma

的值.

本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：①若角α与角夕的终边关于y轴对称，则Sina=S讥充分性成立，

②当a=30。，β—390oH'J',满足Sina=S讥0,但不满足角α与角/?的终边关于y轴对称，；.必要性

不成立，

・・•角α与角0的终边关于y轴对称是Sina=sin/?的充分不必要条件，

故选：A.

根据三角函数的定义判断充分性，利用举实例判断必要性即可求解.

本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：小球落入底部的格子中，共碰到小木钉6次，

要使小球落入D区，则需在6次碰撞中有3次向右落下，有3次向左落下，

所以小球落入D区的路线数有a=20.

故选：C.

由题意可知，要使小球落入。区，则需在6次碰撞中有3次向右落下，有3次向左落下，再结合组合

数定义求解即可.

本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：如图，设抛物线的准线/与X轴交于点K,抛物线与4B

直线的另一个交点为D，

分别过4。作准线［的垂线，垂足点分别为M,N,

设用=m,∖DF∖=n,则MMl=m,IDNl=n,

又AB直线的斜率为旧，.∙.乙4Fx=60°,

4MAB=∆NDB=Z.AFx=60°,

.∙.∣BDI=2∖DN∖=2n,∖AB∖=2∖AM∖,

又MBl=∖BD∖+∖DF∖+∖AF∖=3n+m=6,

••3n+m=2m,2m—6,

τn=3,n=1,.∙∙∣P∕V∣=TI=1,

又易知4BDN"BFK,

.∖DN∖∖BD∖__2

“∣FK∣^IBFl—3,

.∙,p=∖FK∖=^3∖DN∖=3i,

二抛物线的方程为y2=3x.

故选:B.

根据抛物线的几何性质，相似三角形，数形结合思想，方程思想，即可求解.

本题考查抛物线的几何性质，相似三角形，数形结合思想，方程思想，属中档题.

10.【答案】C

【解析】解：已知向量五，b<下满足IaI-V∑>IBl=I，b>=,,

则苍∙7=∣α∣∣h∣cos<a,b>=1.∣H+ð∣=J32+2α∙K+K2=√5,

又=。，

则*-0+B)∙"dj=0，

即|研2+1=位+&7≤I2+l∣m∣=遥|小,

当且仅当Z+E与下同向共线时取等号，

≡P∣c∣2+1≤√5∣c∣.

即空wC≤等，

即I列的最大值是粤，

故选：C.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

n

IL【答案】an=2

【解析】解：1■,an+1-2an=0

i

∙∙∙ɑn+1=2αn,即野=2,

又%=2,则数列｛即｝是首项为2,公比为2的等比数列,

n1n

.∙.an=2-2^=2,

n

故答案为：an=2.

根据等比数列的定义和通项公式，即可得出答案.

本题考查等比数列的定义和通项公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

12.【答案】y=±亨X8

【解析】解：已知双曲线3_?=1的焦点为F1，尸2,点P在双曲线上，

则该双曲线的渐近线方程为y=土凫；

又IIPFll-∣PF2∣∣=4,且IPal=4,

则叫=8,

故答案为：y=+^x:8.

由双曲线的性质求解即可.

本题考查了双曲线的性质，属基础题.

13.【答案】3号

【解析】解：Ta=8,c=7,cosA=-ɪ,

由余弦定理得64=+49-2X6X7X(-；)，

即炉+2b-15=0,

b>0,ʌb=3,

VcosA=-；,A∈(0,7T),・•・sinA=

由正弦定理得SinC=也四=7x隼X：=鸟

a782

Vα=8,c=7,.∙∙Λ>C,

"c---3∙

故答案为：3；

利用余弦定理求出b,利用正弦定理求出C即可.

本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题.

14.【答案】5

【解析】解：由题意知直线y=kx+2过定点(0,2),

当点(0,2)在圆上或圆内时，直线y=kx+2与圆总有公共点，

即(0,1)2+22≤a,

解得α≥5,

即ɑ的最小值为5,

故答案为：5.

求出直线y=kx+2所过的定点，当点(0,2)在圆上或圆内时，直线y=kκ+2与圆总有公共点,

列出不等式，即可求得答案.

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

15.【答案】①②④

【解析】解：如图所示:

...用一个平行于底面的平面截三棱锥，

且P-ABC为正三棱锥，。是底面AABC的中心

•••三棱锥。-4IBlCl为正三棱锥，故①正确；

•••正三棱锥P-4BC的六条棱长均为α,。是底面4ABC的中心,

.∙.三棱锥P-4BC的高为PO,

△4BC的高为CD,且CD=苧α,OC=,CD=苧a，

：,PO=Ja2—(ɪɑ)2=BoP故②正确；

•・・4,B1,Cl点不与顶点P,AfB,C重合，

γ—ɑ—flΓ7

-

ʌA1B1=xE(0,a),设。一ABICl的∣¾为∕ι,则一="⅛，得∕ι=g(a-%)，

aTa3

,,χ2,sinχχ2aχj

・•・/(%)=V0-A1B1C1=∣5∆Λ1β1c1Λ=jIry(-ɑ)=τ∣(^)

f(x)=ax—ɪɪ2=τ∣x(2a—3%)»在(0,金上/'(%)>0,(0,a)上/(%)<0,

O4IZ35

所以/(x)在(0,刍上递增，育,a)上递减，故体积在(0,a)上有最大值，无最小值，故③错误;

当的=£时，点4,B,Cl分别为线段PA,PB,PC的三等分点，

rAɔ1

221

ʌA1B1=-ΛB=-a,且ho=]%,

.-0→l]8]C]_.S44]8]C]hθ_4

Yp-ABC拈AABCflP27

故④正确；

故答案为：①②④・

建立正四面体模型，数形结合分析.

本题主要考查几何体的体积，属于中档题.

16.【答案】解：(I)函数/(久)=√3sin2ωx-cos2ωx=2sin(2ωx-^)f

若选条件①：函数/(%)的图象经过点2),

则2sin,3一芯=2,

**∙-3-不=5+2fcττ(fcEZ),

・•・3=1+3fc(∕c∈Z),

又0<3<2,.•・当攵=0时，ω=1,

••・f(x)=2sin(2x-^)；

若选条件②：函数/(%)的图象可由函数g(x)=2s讥2%的图象平移得到,

则2a)=2,ʌω=1,

：,f(x)=2sm(2x—

若选条件③：函数/(%)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为*

：•2ω=­=2,ʌω=1»

：./(x)=2sin(2x—,

(∏)由⑴可知/(%)=2sm(2x-≡),

当xe[0,刍时，一.≤2xV≤m

乙OOO

.∙.-j≤sin(2x-≡)≤1,即/(x)的最大值为2,

•.・当％∈[0,胃时，关于X的不等式f(%)≤Tn恒成立，

∙∙m≥2,

即实数小的取值范围[2,+8).

【解析】(I)先利用辅助角公式化简"X)的解析式得/(X)=2sin(25-,若选条件①，由/g)=

2可得3=l+3∕c(k6Z),再结合0<α><2,即可求出3的值，从而得到f(x)的解析式：若选条

件②，则2“=2,所以3=1,从而得到/(x)的解析式；若选条件③，则六最所以7=兀，进

而求出3的值，得到f(x)的解析式.

(II)由X的取值范围求出2x-卷的取值范围，结合正弦函数的图象求出/(x)的最大值,从而求出m的

取值范围.

本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

17.【答案】解：(I)“不粘性”性能都是I级的品牌有5个，

记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是I级，

则P。)=昌=盘.

c128

(2)前六个品牌中性能都是I级的品牌有3个，X可能取值为0,1,2,

P(X=。)*/

P(X=I)=等=冬

c6ɔ

P(X=2)=g=/

c6ɔ

・•・X分布列为

X012

131

P

555

E(X)=0×∣1+l3×∣÷2×∣1=l.

(Iil)后六个品牌性能都是I级的品有2个，y可能取值为0,1,2,

P(Y=I)=誓=4；

^=2)=∣=⅛

∙∙∙y数学期望为

F(υ=0×∣+l×⅞+2x⅛=∣<E(X).

【解析】(I)直接计算事件发生概率；

(Il)X可能取值为0,1,2,分别计算出概率，再列分布列，计算期望值;

(IlI)y可能取值为0,1,2,分别计算出概率，计算期望值，再比较大小.

本题主要考查离散型随机变量的期望和分布列，属于中档题.

18.【答案】证明：(I)因为。∙L平面ABBIA1，所以CAL441，

又因为ABBMi为矩形，所以力必_148,

又因为AB,ACU面4BC,所以AAlIlSiABC,

因为CGl平面4BC,所以CC"∕44,

又因为44ιU面B4&B1，

所以CCl〃平面

解：(H)如图，作&C垂直AI于点D,

Ai

又因为AlOU面44C1,所以41。_1_48,

又因为4ιD∙L4Cll,AB,AC1aW∖ABC1,ABnAC1=A,

所以AIDIlSABC1,

所以心乙的力即为直线4的与平面ABG所成的角，

2222

由题意易知A&=4,AC1=√4+2=2√5.A1C1=√4+(4-2)=2√5.

在4A&G中根据余弦定理可得COSNAlCIa=釜=|(

所以直线AQ与平面ABC1所成角的正弦值为Ji-(∣)2=1,

(IIl)由(II)知必。JJffiABCr又易知必当〃面4BCll,

所以4。即为直线4Bi到平面ABCl的距离，

根据CoSZTlICι∙4=|,可得Sin乙4ιC[4=

则SAACI4="G-A1D=TAlC1∙AC1-sin∆AC1A1,解得必。=竿•

【解析】(I)先证明1面4BC,再根据CCι∕∕4¾,AA1c^BAA1B1,即可证明；

(II)作40垂直久于点D,先证明&。_L面ABC1，即可得到NAlClA即为直线&G与平面4BG所成

的角，在^力久口中根据余弦定理可得COSN4ICM,进而求解即可；

(In)由AID_L面〃面ABCl,得到AlD即为直线到平面ABC1的距离,再根据SAAC通=

^AC1■A1D=^A1C1-AC1-SinNACIA]，求解即可.

本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题.

19.【答案】解：(I)椭圆C：捻+，=l(α>b>0)过点(2,0),所以今=1,解得α=2；

离心率是e=£=5=%解得c=√∑,所以〃=。2一¢2=4-2=2,

a22

所以椭圆C的方程为胃+t=1，短轴长为2b=2√∑;

42

(U)设存在过点(0,3)的直线[满足题意，当直线/斜率Ar存在时，则直线，的方程为y=依+3,

设直线1与椭圆C交于4(%1/1)、B(X2，丫2)，

y=kx+3

由/y2消去y,整理得(2/+1)/+12/^+14=0,

(τ+τ=1

则ZI=144∕C2-4×14(2∕c2+1)>0,解得k<一曰或k>y>

由根与系数的关系知，χ1+χ2=XlX2=/ɪ;

所以乃+)z2=k(X[+X2)+6=—ɪ+6=2//所以4B的中点为M(XO,y°),

IjJlIX-Ξl±≡2-__V_红艺

则&_2-2必+1'犯一2一2必+1'

所以AB的中垂线为y-急ɪ=-∕(x+∕1),由题意点P(LO)在AB的中垂线上，

所以一急=—―岛’所以2^+3k+l=0,解得k=T或"=一1,由k<一篁k>争

所以无符合条件的k值；

当直线1的斜率不存在时,直线/的方程为X=0,与椭圆交点为4(0,&)，β(0,-√2).

由P(L0)，贝IJlPal=∖PB∖=√3,△PaB是以P为顶点的等腰三角形；

综上，存在直线，为x=0,使得APHB是以点P为顶点的等腰三角形.

【解析】(I)根据椭圆过点(2,0)求出α,再根据离心率求出C和b,即可求出椭圆C的方程；

(∏)设存在过点(0,3)的直线，满足题意，讨论直线，斜率k存在时和直线，的斜率不存在时，求出满足

题意的直线方程即可.

本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是难题.

20.【答案】解：(1)由771=0得/(乃=/一尤，fXx~)=ex-l,

故∕∙(0)=l,/'(0)=0,故切线方程为y=l；

(H)由已知得/^'(x)—ex—me~x+(m—1)=一*m<0,

令/'(X)=0得X=0或ln(-τn),

①当m=OHt√,(x)=ex-l,则X∈(一8,0)时,[(X)<0,/(尤)单调递减,xe(O,+∞)0'f√,(x)>

O,f(%)单调递增;

②当—1<m<。时，ln(—τn)<0»%∈(―8,ln(—m))和X∈(0,+8)时，∕,(χ)>O.f(x)单调递增；

当Xe(In(-m),0)时,f(x)<0,/(%)单调递减；

③当Tn=-I时，∕^'(x)≥O恒成立，f(X)是增函数，

④当m<-1时，ln(一τn)>O,x6(—8,0)和Xe(In(—m),+8)时，f'(x)>O,/(x)单调递增;

当Xe(O,ln(-Tn))时,f'(x)<O,f(x)单调递减;

(Ill)证明：-e≤m<-∙1时，1<—m≤e,可得O<ln(—m)≤1,

由(U)可知,f(x)在(0,ln(-m))递减,在(In(-m),+8)递增，

所以f(x)≥/(ln(-m))=eln(-m)+m×e~lnf∙~m^+(τn—I)In(—m)

=­Tn—1+(m-1)×ɪn(-m)≥-m—1+(τn—1)×1=—2>

故对任意的Xe(O,+8),f(x)≥-2恒成立.

【解析】(I)求出切点，利用导数求出斜率，即可求得切线方程.

(Il)求得/(x),对Jn分类讨论，由此来确定f'(x)的符号，求得f(x)的单调区间.

(IIl)结合(2)求得f(x)在区间(0,+8)上的最小值，证明最小值大于等于-2,即可证得结论.

本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，证明不等式恒成立问题的解

题思路，属于较难的题目.

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21.【答案】解：(I)若的=2,由