高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用

一、选择题

,

1、设f(x0)>0,f(xo)=O,f"(x0)存在，且f"(xo)+f(x0)=-L则()

(A)x。是f(x)的极大值点(B)x。是f(x)的极小值点(C)x。不是f(x)的极值点(D)不能断定X。是否为极值点

2、函数y=f(x)在点x=x()处连续且取得极大值，则f(x)在X。处必有()

(A)f'(xo)=O(B)f"(x0)<0(C)f(Xo)=O且f〃(Xo)<O(D)「炽0)=0或不存在

3、y=^r的凸区间是()

(A)(-8,2)(B)(-a>,-2)(C)(2,+8)(D)(-2,+8)

4、在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的函数是()

.2

(A)f(x)=-^^(B)f(x)=(x+1)2(C)f(x)=xy(D)f(x)=x2+1

X

5、设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，F(x)=f(x)g(x),则F(x)在x=a处()

(A)必取得极大值(B)必取得极小值(C)不取极值(D)不能确定是否取得极值

6、使函数y=[x2(l-x2)满足罗尔定理的区间是()

34

(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)[-y,y]

7、y=xe-2x的凹区间是()

(A)(—02)(B)(-a)-2)©(1,+8)(D)(―1,+8)

8、函数f(x)在x=x0处连续，若X。为f(x)的极值点，则必有().

(A)/U)=0(B)/U)。0(C)八为)=0或广(%)不存在(D)/U)不存在

9、当a=()时，f(x)=asinx+且”上在x=’■处取到极值()

33

TT

(A)l(B)2(C)y(D)0

10、使函数f(X)=tx2(l—x2)适合罗尔定理条件的区可是()

34

(A)[0,1](B)[-l,l](C)[-2,2]-

II、若(x0,f(x。))为连续曲线y=f(x)上的凹弧与凸弧分界点，贝I()

(A)(x(),f(x()))必为曲线的拐点(B)(x°,f(x°))必定为曲线的驻点

(C)x0为f(x)的极值点(D)X。必定不是f(x)的极值

二、填空题

*2

1、曲线y=的凸区间是.

2、函数y=x2、的极小值点是.

x

3、曲线y二—e的凸区间为_____________________.

3+x

4、函数f(x)在［0,3］上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点自=

5、设曲线y=ax3+bx?以点(1,3)为拐点，则数组(a,b)=

6、函数y=x3-3x+l在区间［一2,0］上的最大值为,最小值为

7、函数y=lnsinx在［―,-^-］上的罗尔中值点自二________________.

66

8、y=f+l在区间［1,3］的拉格朗日中值点g=.

9、函数y=x2*的极小值点是.

10、函数y=x-2"的极小值点是。

11、y=x+Jl-x,—5<x<1的最小值为.

I2>y=x-V7的单调减区间是.

13、y=x-arctanx在且仅在区间______________上单调增.

14、函数f(x)=x+2cosx在区间［0,工］上的最大值为.

15、函数y=2x3+x?-4x+3的单调减少区间是.

16、已知点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点，贝a=,b=

1人f(x)=2ex+e-x的单调递减区间为.

三、计算题

1、求函数y=x^-6x?+9x-4的极值和单调区间。

2、求极限lim(-------).

x->iInxx-1

3、求函数y=2x^+x?-4x+3的单调区间、凹凸区间、拐点.

4、设常数k>0,试判别函数/(x)=lnx-?+Z在(。,用)内零点的个数.

a

5、求函数y=x3-6x+10的单调区间和极值

6.lim(-----!——).

xfoXex-1

7.求函数y=在上的最大值与最小值.

8.求曲线y=皿的单调区间和凹凸区间..

X

9.求曲线y=2/+%2—4尤+3的单调区间和凹凸区间.

10.求函数y=xe-x图形的凹凸区间及拐点.

尤=产

11,求曲线｛3的拐点.

y=3t+t3

12、求函数y=x3-6x2+9x-4的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.

13、求函数y=2x3-6x2-18x+27在［1,4］上的最大值、最小值.

14、讨论函数f(x)=ln(l+x2)的单调性和凹凸性

15、讨论函数f(x)=M上的单调性和凹凸性.

X

16、求曲线y=ln(l+x2)的凹凸区间和拐点.

17.求函数y=/—8光2+2在区间［—1,3］上的最大值与最小值.

18.求函数y=x3-3x+l在区间［-2,0］上的最大值和最小值.

19.试确定常数a、b、c的值，使曲线y=x3+ax2+bx+c在x=2处取到极值，且与直线y=-3x+3

相切于点(1,0).

四.综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)

1.证明:当xe(0,巴)时,x>(sinx)(cosx).

2

2、当x>0时，l+xln(x+71+x2)>A/1+X2.

3、证明：arctanx+arccotx=—.

2

4、设(p(x)在［0,1］上可导，f(x)=(x—l)(p(x),求证:存在x(jD(0,1),使f'(X。)=(p(0).

a—baa—

5、试用拉格朗日中值定理证明：当a>b>0时，——<ln-<—

abb

6、证明：当x>0时，ln(l+x)>arCtan：V.

1+x

7、证明：当x>0时，=^<ln(l+x)<x.

1+X

8、证明：当x>0时，有1+^x>J1+x

2

,3

9、证明当x20时，x-----x--<sinx.

10>证明：若x>0,贝！Jln(l+x)>-------.

1+x

11、证明：当时，x———<ln(l+x)

12、证明：多项式/(%)=%3—3%+1在［0,1］内不可能有两个零点.

13、证明当x>l时，2G>3—-

x

14、证明：当0<x<色时x>sinxcosx

答案：

一、选择

1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A

二、填空

1、［-2,2］

2、x=~%n2

3、(-8,-3)口(一3,-2)

4、2

8、1+3

2

__1_

9、出2

10、---

In2

11、—5+\/6

12、x<-

4

13、-14

14、2+百

6

15、在(-1,—)上单调递减

3

“39

16、.

22

17、(-00,--In2)

2

三、计算题

1、解：令y'=3、2一12工+9=3(尤一3)。一1)=0,可得驻点：xv=l,x2=3....2分

列表可得

函数的单调递增区间为(-co,1)^(3,+8),单调递减区间为(1,3)……5分

极大值为y\x=i=0,极小值y1=3=-47分

新西#[•x-1-xlnx].-Inx-xhix1

2o、角牛：原式=hm----------=hm---------=lim---------=――6分

xfi(x-l)lnx5加尤+]_2r_3inx+x-12

x

?

3、解：令y'=6无2+2x—4=2(3x—2)(犬+1)=。,可得驻点：xx=—l,x2=—....2分

列表可得

函数的单调递增区间为(-8,-l)U(|,+8),单调递减区间为(-11)……4分

又令y»=12x+2=0得三=」....5分

6

所以凸区间为(-吗-4),凹区间为(-上+8).拐点为(-±3竺).……7分

66627

4、解：=……1分

xe

当xe(O,e)时，/'(x)>0,所以/(x)在［0,e］上单调增加；……2分

又/(e)=笈>0,x充分接近于0时，/(e)<0,……3分

故/Xx)在(0,e)内有且仅有一个零点.……4分

同理，/(x)在(e,+8)内也有且仅有一个零点.……6分

5、解：解y'=3/—3x—6=3(x—2)(x+l)=0,可得驻点：xt=—l,x2=2...2分

列表可得

函数的单调递增区间为(ro,-1)—(2,依)，单调递减区间为(-1,2)……5分

极大值为yL=T=：■，极小值y1=2=o7分

6、解：原式=lim^——---2分

xex-x

..4分

£

=lim—-—...6分

x

-0xe+2e2

7、解：当工单调增加时，函数g(%)=5-4元单调减少,

所以函数y(x)=45-4%也是单调减少。...2分

在区间［-1,1］函数y(x)=/5-4%是单调的减函数。

所以当％=-1时，函数取得最大值〉=兀m=3;...4分

所以当％=1时，函数取得最小值〉=为抽=1。...6分

8、解：y=——7—，令丁=0，于是x=e。

x

当Ovxve时,y>0,函数单调增加；

当e<x时，y<0,函数单调减少。……2分

所以函数的单调增区间为：(0,e);

函数的单调减区间为：(e,+oo)。……4分

而y.=21n：―3,令y“二o,于是尤="。...5分

无

33

函数的凸区间为：(0,常)；函数的凹区间为：(潟,+8)。……6分

9、解：因为

y=6x2+2x-4=2(x+l)(3x-2),

,?

2分

所以令y—0,得到xx=—1,x2=—o

函数的单调增区间为：(-00,-1),(1,+00)；

函数的单调减区间为：,4分

又由于

y=12x+2,

于是函数的凸区间为：(-00,-1);

6

函数的凹区间为：(--,+00)o6分

6

10、解：因为：

xxx

y=e~-xe~,y=(x-2)e~2

分

!!l

令y=°,y=°,得到：

X=1，%=2。

所以函数的单调增区间为：(-0,1)，

函数的单调减区间为：(1.+O0)o4分

函数的凸区间为：(。,2),

函数的凹区间为：(2,+oo)。函数的拐点为：(2,2e-?)。6分

ii、解：包=二,也=3(i)

3分

dx2t'dx24/3

令它二=3"2r1)=O得%=_1%=1从而得曲线的可能拐点为

dx4胃

(1,-2)和(1,4),又二阶导数在该两点左右异号。所以(1,-2)和(1,4)为曲线的

拐点……6分

12、解：令＞'=3,-12无+9=3(x-l)(x-3)=0,得X]=l,x?=3.

令y”=6x-12=0,得三=2.3分

列表如下

X(-81)X=1(1,2)x=2(2,3)x=3(3,+8)

y+0---0+

y---0+++

y=f(x)单调极大值单调拐点单调极小值单调

增，凹f(l)=0减，凹(2,-2)减，凸f(3)=-4增，凸

1分

13、解：令y'=6x2-12^-18=6(A-+l)(x-3)=0,得驻点苍=-1史［L4］(舍去)，无？=3....3分

比较函数在端点和驻点处的函数值，得函数y=2^_6/-18丈+27在［1,4］上的最大值、最小值为

y«in=-27.=32....6分

14、解：令人)=2=0，”加禽

0,得%=—1,%2=0,X3=1,.....3分

列表如下

X-101

(-00,-1)(-1,0)(0,1)(1,+8)

---0十十+

f'U)

-0+++0-

单调递减拐点单调递减极小值点单调递增拐点单调递增

y=/(x)

凹区间凸区间凸区间凹区间

7分

15、解：f\x)=--=0,得下=%/"(%)=—^=0,得/=/

XX

3

X(0,e)x=e(%/)x=e

/,«+0---

/"«---0+

y=/(x)单调递增，凹函极大值单调递减，凹函拐点(e3单调递减，凸函

e

数数数

6分

4分

16、解：拐点为(-I,ln2),(l,ln2):一

1+X(1+%)

6分

凹区间为(TO,-1)和(1,yo),凸区间为(-1,1)

2分

17、解：由于y'=4丁—16x=4x(x+2)(x—2)-

一

分

所以，函数在［T,3］上的驻点为元=0,%=2o­一

-35分

：二

当x=0时，y=2,x=2时，y=-14分

7

而x=-l时，y=-2,x=3时，y=ll：

分

8

、

所以函数的最大值为H,最小值为T4”

2分

18、解：由于/=3x2-3=3(x+l)(x-l)•-

3分

所以，函数在［-2,0］上的驻点为％=-1o

5分

当x=T时，y=3,而x二一2时，y=--1,x=0时，y=l

6分

所以函数的最大值为3,最小值为-1

2

—|i2=(3.r+2ax+fe)|v_2=12+4a+b=0

dx

曳产3+2。+6=-3

19、解：根据已知条件得4分

dxg

l+a+Z?+c=0

a=-3

解上面方程组得b=07分

c=2

四、综合题

.171

CD证：令F(x)=x-sinxcos%=%一万sin2%，xG(0,—)

显然尸⑶在区间呜上连续的，可导的。并且尸(。)=。.2分

由于

F(x)=1-cos2x，

对于任意的尤£(0,2)，F(x)>0o

2

所以函数砥%)在区间(0,§上单调增函数。4分

于是对于任意的X£(0,工)，有

2

F(x)>F(0)=0,

即为:

x>sinxcosx6分

(2)证：令f(x)=1+.rln(x+Vl+x2)-71+x2,Wi]f(O)=0,/'(x)=ln(x+71+x2)>0(x>0)

所以当x>0时，1+xln(x+71+x2)>71+x2

(3)证：令/(%)=arctan%+arccot%,贝炉'(%)=04分

所以Ax)恒为常数,

又/⑴=(+?=T，从而/(尤)=arctanx+arccot%=6分

(4)证：因为<p(x)在［0,1］上可导，所以f(x)=(xT)<p(x)在［0,1］上连续，在(0,I)内可导。……4分

根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x(,e(0,1),使/'(%)=/⑴一，°)=火0)

8分

1—0

(5)证：设/(x)=lnx,则尸(x)=—……1分

对Ina—Inb用拉格朗日中值定理得Ina—Inb=7'(J)(a—切，其中……4分

ct—b7ci—ba—b二匚1a—baa—b八

而-----</'(4)e(〃—/?)=-----<-----,所以-----<ln-<—--...6分

ababb

(6)证：令/(x)=(l+x)ln(l+x)—arctanx1分

贝U/'(x)=ln(l+x)+l------。……3分

1+x

因为当尤>0时，/,(x)=ln(l+x)+l?—>ln(l+x)>0，……4分

1+X

所以/(九)在(0,+8)上是严格单调连续递增函数，并且/(0)=0,……5分

故当x>0时，/(x)>0,即InQ+x)〉—“。……6分

1+X

(7)证：令/(x)=ln(l+x),/'(x)=——...1分

1+x

对/(%)=ln(l+X)—Ini利用柯西中值定理存在

j£(0,%)使得/(x)=In(l+x)—lnl=7'C)(l+%—1)……3分

x

即111(1+幻=证……4分

YYx

又由于JE(0,x),----<-----<%,所以-----<ln(1+x)<x...6分

1+x1+41+X

(8)证：令/(x)=(l+：x)2-(l+x)

X

八无）=5>o,（x>o）2分

故无>0时，f(x)>/(0)=0BP(1+1A-)2>(1+x),(X>0)...5分

从而1+——X>J1+九6分

,“r3

(9)证：令/(x)=x----sin%

6

因为=——cosx=2sin2---<2(—)2--=0,(x<0)....4分

22222

r3

故无NO时，/(%)K/(0)=0，即犬----<sinx....6分